几个圆锥曲线切线问题的统一性质

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(金陵高级中学 浙江长兴 313100)

●蔡小雄

(杭州第十一中学 浙江杭州 310014)

圆锥曲线中的切线问题是近几年竞赛、高校自主招生考试的考查热点之一，但教材中关于切线问题涉及较少.以下基于有心二次曲线的统一特征，对有关切线问题进行探讨，以飨读者.

1 有心二次曲线的统一特征

(1)定义相似:圆和椭圆、双曲线的定义都可以围绕动点到定点的距离展开.

(3)图像的对称性相似:圆和椭圆、双曲线的图像均为中心对称和轴对称图形.

2 有心二次曲线切线问题的2个引理

证明设切点P(x0,y0)，切线斜率为kl，因为kl和kOP存在，则x0≠0且y0≠0.

当y>0时,曲线为

当y<0时，曲线为

同理可得

结论成立.

这一结论可用点差法直接证明，此处略.

3 有心二次曲线的切线性质及切点关系的推广

基于上述有心二次曲线的统一特征及引理，不难得出如下结论：

这里给出统一证明，下面就不分类表述了.

证明当曲线的切线斜率kl和直线OP的斜率kOP存在时,由引理1可得

即

从而切线方程为

即

证明设A(x1,y1)，B(x2,y2),由性质1得切线PA,PB的方程分别为

显然点P(x0,y0)为PA,PB的交点，从而

推论切线和邻边所成的角等于三角形其余2条边所夹的角.

图1

y-y0=k(x-x0)，

则直线AC的方程为

y-y0=-k(x-x0).

(n+mk2)x2+2km(y0-kx0)x+

同理可得

因此

从而kBC+kl=0.由kBC+kl=0及kAB+kAC=0可直接得出推论.

4 有心二次曲线上阿基米德三角形的推广

由抛物线的弦和过弦的端点的2条切线所围成的三角形常被称作为阿基米德三角形.笔者将该三角形迁移到有心二次曲线上，不妨统称为“阿基米德三角形”.于是有以下结论：

图2

若曲线为椭圆或双曲线，且直线AB过焦点F，则点F的轨迹为该曲线的相应准线.

若曲线为椭圆或双曲线，且点P在该曲线的一条准线上，则直线AB过该曲线相应的焦点F.

化简整理得 (qnx-pmy)x0+my-mnq=0.

图3 图4

又因为∠PFA和∠PFB均为锐角，所以∠PFA=∠PFB.

牛顿说：“每一个目标，我都要它停留在我的眼前，从第一道曙光初现开始，一直保留，慢慢展开，直到整个大地光明为止.”笔者在有心二次曲线统一特征的基础上，通过探究，得到了一系列美妙的切线性质，但这绝不是全部.我们有理由相信，随着研究的深入会有更多、更美妙的规律与性质展现在我们面前，期待我们的“砖”能引来更多的“玉”，期待数学探究的魅力能给数学学习带来更多的乐趣！