一类拟线性椭圆型方程三解的存在性

王苏琪, 尹洪辉

(淮阴师范学院 数学科学学院, 江苏 淮安 223300)

一类拟线性椭圆型方程三解的存在性

王苏琪, 尹洪辉

(淮阴师范学院 数学科学学院, 江苏 淮安 223300)

利用Ricceri给出的三解定理,得到了一类含(p(x),q(x))-Laplacian算子的拟线性椭圆型方程弱解的存在性和多解性.

变指数; 椭圆型方程; 三解定理

0 引言

本文中我们将考虑以下椭圆型问题:

(1)

(B)f:Ω×R→R是一个 Caratheodory 函数,对x∈Ω,t∈R有|f(x,t)|≤b(x)+c|t|h(x)-1.

如果p(x)≡p,q(x)≡q(p,q是正实数),方程(1)变形为

(2)

这类方程来源于典型的反应扩散方程

ut=div[H(u)u]+c(x,u)

(3)

其中,H(u)=|u|p-2+|u|q-2．此类问题在物理和相关学科像生物物理、等离子物理、化学反应等学科有广泛应用.在这些应用中,函数u描述了一个集中,在问题(3)右边第一项相应于扩散系数H(u),而第二项是关于吸收和扩散过程的反应项.典型的,在化学和生物应用中,反应项c(x,u)是u的多项式.许多作者研究了问题(3)的静态解,也就是下面方程

-div[H(u)u]=c(x,u).

其中,c(x,u)取各钟不同的函数. Yin和Wen[1]研究了方程(2)在ep(x)=eq(x)=0的情形,即研究了如下问题

(4)

其中,Ω⊆RN(N≥1)是一个具有C1边界的有界域,Ricceri[2]给出的三解定理,作者得到了问题(4)的3个弱解的存在性.对于特殊情况p=q,方程(2)成了典型的p-Laplacian问题.关于这类问题的研究成果相当丰富.

在问题(1)中,当p(x)≡q(x)时,即

(5)

是一个p(x)-Laplacian问题,它来源于非线性弹性理论、电流变体论等[3,4].关于p(x)-增长条件的变分问题的研究是一个新颖而有趣的课题.利用Ricceri[2,5]给出的结果,文献[6]中研究了当ep(x)≡1,μ=0和f(x,t)=|t|q(x)-2t-t时方程(5)3个弱解存在性的问题;Shi和Ding Shi[7]研究了在ep(x)≡1,μ≡0的条件下(5)三解的存在性;Yin研究了方程(5)并中得到类似的结果.在文献[10]中,作者探究了如下问题

(6)

这里Ω∈RN(N≥3)

本文的目的是为了统一和推广文献[1,6,7,10]中的主要结论并将它们拓展到更一般的情况.我们也采用 Ricceri[2]的三解定理来得到方程(1)的多解性,即如下定理:

定理A 设X是一个自反的实巴拿赫空间,区间I⊆R;Φ:X→R一个连续G可导且弱下半连续的C1泛函,在X的每个有界子集中有界,其G导数在X*上连续可逆;Ψ:X→R是G可导的C1泛函,且G导数是紧的．

假设：

(i) 对任意的λ∈I有lim‖u‖→∞(Φ(u)+λΨ(u))=∞;

(ii) 存在σ∈R使,则存在非空集合Λ⊆I及正实数ρ满足以下性质:对任意的λ∈Λ和任意紧的G可导C1泛函J:X→R存在δ>0,对任意的μ∈[0,δ],方程

Φ′(u)+λΨ′(u)+μJ′(u)=0，

在X中至少有3个范数小于ρ的解.利用文献[11]的结论,我们给出一个与定理A等价的定理:

定理B 设X是一个自反的实巴拿赫空间,Φ:X→R一个连续G可导且弱下半连续的C1泛函,在X的每个有界子集中有界, 其G导数在X*上连续可逆;Ψ:X→R是G可导的C1泛函,且G导数是紧的．

假设:

(ii) 存在r∈R及u0,u1∈X使Φ(u0)

则存在非空集合Λ⊆[0,∞),正实数ρ满足以下性质:对任意的λ∈Λ和任意紧G可导C1泛函J:X→R,存在δ>0,对任意的μ∈[0,δ], 方程

Φ′(u)+λΨ′(u)+μJ′(u)=0

(7)

在X中至少有3个范数小于ρ的解.

1 预备知识

Lp(x)(Ω)中的范数定义为

那么(Lp(x)(Ω),|·|p(x))即为巴拿赫空间,称为变指数Lebesgue空间.

定义

W1,p(x)(Ω)={u∈Lp(x)(Ω);|u|∈Lp(x)(Ω)}.

对任意的u∈W1,p(x)(Ω),定义范数

‖u‖p(x)=|u|p(x)+|u|p(x).

由文献[12]可知W1,p(x)(Ω),Lp(x)(Ω)都是自反可分的凸巴拿赫空间.

我们给出如下命题:

命题1[3-12]设Lp0(x)是Lp(x)的共轭空间.则对任意的u∈Lp(x)(Ω)和v∈Lp0(x),有

(i) |u|p(x)<1(=1;>1)⟺ρ(u)<1(=1;>1);

(iii) |u|p(x)→0(∞)⟺ρ(u)→0(∞).

当ep(x)，满足(A)时,定义

其上范数定义为

容易发现,在W1,p(x)(Ω)中‖·‖ep等价于‖·‖p(x),下面本文将在W1,p(x)(Ω)中用‖·‖ep替代‖·‖p(x)．

由命题2有下列不等式，若

(8)

若

(9)

(10)

对任意的u∈X, 定义:

‖u‖=‖u‖ep+‖u‖eq.

定义Φ:X→R,

(11)

则对任意的u,v∈X有

定义

则对任意的u,v∈X有

若对任意的v∈X,有

成立,则称u∈X是方程(1)的一个弱解.

下面我们运用定理A或定理B得到方程(1)弱解的存在性和多解性.

2 主要定理的证明

首先给出下列结论:

引理1 若Φ如式(11)中定义的,则(Φ′)-1:X*→X存在且连续.

证明 首先,Φ′一致单调.事实上,对任意的ζ,η∈RN,有下列不等式(见文献[9])

所以有

(Φ′(u)-Φ′(v),u-v)≥

即Φ′是一致单调的.

对任意的u∈X,若‖u‖ep≥‖u‖eq且‖u‖ep≥1,由式(8)有

这意味着Φ′是强制的.若‖u‖eq≥‖u‖ep时,结论仍然成立.

通过常规讨论可知Φ′是同胚.应用定理[17],即完成证明.

引理2 如果条件(A)、(B)成立,则对任意的λ∈R,Φ(u)+λΨ(u)是强制的.

证明 对∀t,由|f(x,t)|≤b(x)+c|t|h(x)-1和 Young 不等式,有

Φ(u)+λΨ(u)=

此外,我们假设F(x,t)满足

定理1 假设(A)、(B)和(C)满足,则存在一个非空集合Λ⊆[0,∞)和正实数σ满足以下性质:对任意的λ∈Λ和任意Caratheodory 函数g:Ω×R→R,若对任意γ>0有

sup|t|≤γ|g(·,t)|∈L1(Ω),

则存在δ>0,对任意的μ∈[0,δ],方程(1)在X中至少有3个范数小于σ的弱解.

证明 由引理1知(Φ′)-1是有定义且连续的.由f,g的定义可知Ψ和J是有意义的且连续G可导的泛函,其G导数是紧的.接下来我们利用定理B来证明这个结论,即证明定理B的3个条件成立.

由引理2可知对任意λ>0,Φ(u)+λΨ(u)在X中是强制的,故定理B中的(i)成立.

由(C) 存在|ξ|>1,对任意的x∈Ω,有

|ξ|p-‖ep‖1≥1,|ξ|q-‖eq‖1≥1,

且F(x,ξ)>0．设α=min{d,M},其中d=min{dp,dq},则有

(12)

令u0=0,u1=ξ和

易得

Φ(u1)>r>φ(u0)．

所以定理B的(ii)是满足的.

‖u‖∞≤min{dp‖u‖ep,dq‖u‖eq}≤d

(13)

则有‖u‖∞≤α.

最后

(14)

由Ψ的定义和文献[6],有

(15)

则定理B的(iii)是满足的.

定理B的所有条件均满足.由定理B可知存在一个开区间Λ⊆[0,∞)和正实数σ,使对任意λ∈Λ,存在δ>0,对任意的μ∈[0,δ],方程(1)在X中至少有3个范数小于σ的弱解.

注1: 在方程(1)中,如果取f(x,u)=(|u|h(x)-2u-u),其中h(x)∈C+(Ω),2

当|u|<1时,有F(x,u)<0,且有lim|u|→∞F(x,u)→+∞,即满足定理1的条件.特别地,如果假设p(x)=q(x)≡p,μ=0和ep(x)=eq(x)≡1,此时方程(1)是文献[6]中的情况.

[1] Yin H H, Wen J.Three solutions for a class of quasilinear elliptic equation involving thep-q-Laplace operator[J]. Math Meth Appl Sci,2014,37(3): 428-434.

[2] Ricceri B. A three critical points theorem revisited[J]. Nonlinear Anal,2009,70(9):3084-3089.

[3] Ruzicka M. Electro-rheological Fluids:Modeling and Mathematical Theory,Lecture Notes in Math[M]. Springer-Verlag, Berlin,2000.

[4] Zhikov V V. Averaging of functionals of the calculus of variations and elasticity theory[J]. Math Ussr Izv,1987,29(1):33-36.

[5] Ricceri B. On three critical points theorem[J].Arch Math,2000,75(2):220-226.

[6] Mihailescu M. Existence and multiplicity of solutions for a Neumann problem imvolving thep(x)-Laplaceoperator[J]. Nonlinear Anal,2007,67(5):1419-1425.

[7] Shi X Y,Ding X H.Existence and multiplicity of solutions for a generalp(x)-Laplacian Neumann problem[J]. Nonlinear Anal,2009,70(10):3715-3720.

[8] Yin H H.Existence of three solutions for a Neumann problem involving thep(x)-Laplace operator[J]. Math Meth Appl Sci,2012,35(3):307-313.

[9] 尹洪辉,刘英.一类含p(x)-Laplace算子的拟线性椭圆方程三解的存在性[J].淮阴师范学院学报:自然科学版,2012,11(2),111-116.

[10] Bonanno G, Candito P.Three solutions to a Neumann problem for elliptic equations involving thep-Laplacian[J]. Arch Math,2003,80(4):424-429.

[11] Bonanno G.A minimax inequality and its applications to ordinary differential equations[J].J Math Anal Appl,2002,270(1):210-219.

[12] Fan X L,Zhao D. On the spacesLp(x)(Ω)andWm,p(x)(Ω)[J]. J.Math Anal Appl,2001, 263(2):424-446

[13] Kovacik O, Rakosnik J.On the spacesLp(x)(Ω)andWk,p(x)(Ω)[J]. Czechoslovak Math,1991,41(4):592-618.

[15]FanXL.Solutionsforp(x)-LaplacianDirichletproblemswithsingularcoefficients[J].JMathAnalAppl,2005,312(2):464-477.

[16]FanXL,JiC.ExistenceofinfinitelymanysolutionsforaNeumannprobleminvolvingthep(x)-Laplacian[J].MathAnalAppl, 2007,334(1):248-260.

[17]ZeiderE.NonlinearFunctionalAnalysisanditsApplications.II/B:NonlinearMonotoneOperators[M].NewYork：Springer,1990.

[责任编辑：李春红]

Three Solutions for a Class of Quasilinear Elliptic Equations

WANG Su-qi,YIN Hong-hui

(School of Mathematical Sciences, Huaiyin Normal University, Huaian Jiangsu 22300, China)

Based on a three critical points theorem given by ricceri, this paper establish the existence and multiplicity of the weak solutions to a class of quasilinear elliptic equation involving (p(x),q(x))-Laplacian operators.

variable exponent; elliptic equations; three critical points theorem

2014-09-07

江苏省高校自然科学基金资助项目(12KJB110002)

尹洪辉(1977-),男,江苏淮安人,副教授,博士,主要从事偏微分方程及其应用研究． E-mail: yihh@hytc.edu.cn

O175

A

1671-6876(2014)04-0287-06