标度变换的等价无穷小量应用

2014-08-08宣本金

重庆工商大学学报（自然科学版） 2014年8期

占杨，宣本金

(中国科学技术大学 a.物理学院；b.数学学院，合肥 230026)

所谓“标度变换”是指放大或缩小，即码尺的变化.如果一件事物放大或缩小后，其某种性质不发生改变，就说它具有标度变换不变性.用标度变换法可以很方便地求解很多物理和数学上的问题，并避开积分的繁琐[1，2]，例如求刚体的转动惯量.用标度变换求刚体的转动惯量，实际过程是通过量纲分析得出待求量与哪些物理量有关，并与它们如何相关；再通过放大(缩小)相关物理量(通常是长度)，利用变换中的标度不变性列出方程进行求解.在大一上学期学习微积分课程时，第一作者尝试了用标度变换法，而非洛必达法则或泰勒公式这类需要求导数的方法，求一些极限，取得了不错的效果.通过与宣本金老师的交流，第一作者对这种方法进行了进一步的归纳整理.

1 几个常见函数的等价无穷小量

当x→0时，sinx≈x，tanx≈x，ex-1≈x.但是，x-sinx呢？下面将用标度变换法分别求出几个常见函数的等价无穷小量.计算并不需要用到导数等概念，与力学中利用标度变换法求转动惯量的方法类似，将函数的自变量进行“缩放”.需要指出的是，以下计算是形式上的，因为没有事先证明所求的无穷小量一定有阶数，事实上，并不是所有的无穷小量都有阶数[3].

例1 当x→0时，求x-sinx的等价无穷小量.

解设当x→0时，(x-sinx)≈αxk(α≠0，k≥2，k∈Z+)，故

另一方面，由正弦函数的性质，有

当x→0时

由极限的唯一性，故

例2 当x→0时，求ex-(1+x)的等价无穷小量.

解设当x→0时，ex-(1+x)≈αxk，(α≠0，k≥2，k∈Z+)，故

e2x-1≈α(2x)k+(1+2x)-1

另一方面，由指数函数的性质，有

e2x-1≈[(1+x)+αxk]2-1≈(1+x)2+2(1+x)αxk-1

由以上两式，略去高于k阶的项，化简得

x2+2αxk=2kαxk

2 归纳一般性解法及拓展

设f(x)是一个非线性连续函数，且f(0)=0，例如sinx，ex-1，ln(1+x)等，而g(x)=α1xk1+α2xk2+…+αn-1xkn-1，满足当x→0时，f(x)≈g(x)，即g(x)的这n-1项的系数αi和幂次ki均可由f(x)确定(1≤k1≤k2≤…≤kn-1).在上述2例题的讨论中，即等效于已知g(x)和f(x)，求f(x)-g(x)的等价无穷小量.

设当x→0时，f(x)-g(x)≈αnxkn，则对任意实数λ，有

f(λx)≈g(λx)+αn(λx)kn

另一方面，利用具体函数的性质化简函数f(λx)的形式，如f(λx)=h[f(x)]，然后再利用已知的等价无穷小量关系式，得到函数f(λx)另一种等价形式；最后，利用极限的唯一性，列出一组代数方程组，求解这组代数方程组定出待定的常数.

注意，λ为任意实数，为了计算方便，常取λ=2.为简化计算，可略去高于kn阶的项.下面为了书写方便，以“=”表示，即

h[f(x)]=h[g(x)+αnxkn]=g(λx)+αn(λx)kn

(1)