一类推广的CH方程适定性问题的研究*

龙 琼

(重庆大学 数学与统计学院，重庆 401331)

1993年，美国阿尔莫斯国家实验室的Camassa和Holm[1]从物理角度推导出了一类新的浅水波方程，即Camassa-Holm方程，简称CH方程：

ut-utxx+2bux+3uux=2uxuxx+uuxxx

(1)

在1995年，Fokas[6]通过双Hamilton结构从经典的可积浅水波系统中推导出了新的更为一般的可积系统，即带有立方非线性项的Camassa-Holm方程

(2)

在2012年，Gui[7]指出该方程解的奇异性仅以波裂的形式发生，并在给定初始轮廓值的情形下，描述出它的一个新的波裂运动.

通过对现有经典方程进一步深入的研究，数学家们在不断考虑新的更一般的方程. 最近，Qiao，Xia和Li[8]推导出一类新的带有二次项和立方项的Camassa-Holm方程

(3)

其中b，k1和k2为任意常数. Qiao的研究表明该系统完全可积，具有Lax对、双Hamilton结构，满足无限多的守恒律，更重要的是存在弱纽结解和kink-peakon交叉解，这与经典的CH方程有着本质的不同.可见这类新系统是值得研究的.受文献[4]及上述文献的启发，此处将利用经典的Friedrichs正则化方法和transport方程理论来讨论该方程解在Besov空间中的局部适定性问题.为了方便，下面将问题(3)写成transport方程的形式：

(4)

1 预备知识介绍

(5)

则存在与s，p，d无关的常数C，满足

或者

引理3[9](一维Moser型估计)设1≤p，r≤+∞，下列估计成立.

其中C是不依赖f，g的常数.

2 定理及证明

(6)

其中常数C>0仅依赖于p,r,s.

(7)

其中

由引理1可得

(8)

利用Besov空间中的乘积法则可得

类似地，如下估计式(9)-(12)成立

综上可得

(13)

将式(13)代入式(8)可得

(14)

再结合Gronwall’s不等式可得式(6).证毕.

(15)

并且存在一个时刻T>0，使得(u(n))n∈N满足

(16)

再利用乘积法则对方程(15)中∂xm(n+1)的系数以及等式右边的项进行估计并结合式(16)可得

(17)

(18)

则对任意0≤τ≤t，有

将式(19)及(18)代入式(17)并化简可得

进一步化简得

另一方面，利用Moser估计(见引理3的2))，可得

同理可得

g(u(n+k)，u(n)，m(n+k)，m(n)，m(n+1))

(20)

其中

g(u(n+k)，u(n)，m(n+1)，m(n)，m(n+k))=

注意到方程(20)等价于方程(21)

(21)

其中

(22)

利用引理2可得，对任意t∈[0，T]，有

同理可得

从而

同理有

因此可得

所以

利用归纳法可得

参考文献：

[1] CAMASSA R，HOLM D. An Integrable Shallow Water Equation with Peaked Solitons[J].Phys Rev Lett，1993(71)：1661-1664

[2] CONSTANTIN A，ESCHER J. Well-posedness，Global Existence，and Blow up Phenomena for a Periodic Quasi-linear Hyperbolic Equation[J].Comm Pure Appl Math，1998(51)：475-504

[3] LI Y，OLVER P. Well-posedness and Blow-up Solutions for an Integrable Nonlinearly Dispersive Model Wave Equation[J].J Differential Equations，2000(162)：27-63

[4] DANCHIN R. A Note on Well-posedness for Camassa-Holm Eqution[J].J Differential Equations，2003(192)：429-444

[5] HIMONAS A，MISIOLEK. High-frequency Smooth Solutions and Well-posedness of the Camassa-Holm Equation[J].Int Math Res Not IMRN，2007 (51)：3135-3151

[6] FOKAS A. On a Class of Physically Important Equations[J].Physica D，1995(87)：145-150

[7] GUI G，LIU Y，OLVER P J，et al.Wave-breaking and Peakons for a Modified Camassa-Holm Equation[J].Commun Math Phys,2013,319(3)：731-759

[8] QIAO Z J，XIA B Q，LI J B. Integrable System with Peakon，Weak Kink，and Kink-peakon Interactional Solutions[J].Front Math China，2013,8(5)：1185-1196

[9] OLVER P J，ROSENAU P. Tri-Hamiltonian Duality Between Solitons and Solitary-wave Solutions Having Compact Support[J].Phys Rev E，1996 (53)：1900-1906