线偏振光通过透明平板介质的强度分析

万建杰,鄢建军

(西北师范大学 物理与电子工程学院,甘肃 兰州 730070)

线偏振光通过透明平板介质的强度分析

万建杰,鄢建军

(西北师范大学 物理与电子工程学院,甘肃 兰州 730070)

光通过透明平板介质时会在其上下表面发生反射和折射现象。光的本质是电磁波，由于电磁波是横波，所以光具有偏振的特性,研究偏振光传播过程中振幅和强度的变化对分析偏振态的改变具有重要意义。以最简单的偏振光——线偏振光为例，利用菲涅耳公式对线偏振光入射透明平板介质后振幅和强度的变化进行了讨论。

透明平板介质;线偏振光;菲涅耳公式

光入射到平板介质时，在上表面会发生反射和折射，进入透明平板介质的光同样会在下表面发生反射和折射，如图1所示。设平板介质外的折射率为n1，平板介质的折射率为n2，其中n1

图1 光入射到透明平板介质的基本过程Fig.1 The basic processes from incident light on transparent plate

为简单起见，我们只讨论线偏振光入射的情形，同时不考虑光在介质表面和内部的吸收和色散现象。要研究反射光和折射光的振幅和强度，可以使用菲涅耳公式[1-2]：

(1)

(2)

(3)

(4)

1 偏振面与入射面垂直的线偏振光

设入射线偏振光的振幅为As1，入射光在介质上表面发生反射，该反射光的振幅满足

(5)

对于平板介质上表面而言，当i1→0时，

对于上表面的折射光而言，其振幅满足

(6)

同样可知，当i1→0时，

另一方面，对进入平板介质内的光而言，在介质下表面会再次发生反射和折射。由于平板上下表面相互平行，所以此后各次反射的入射角就等于光通过介质上表面时的折射角i2。根据公式(1)和(6)，下表面的第一次反射光振幅应满足

(7)

根据上式可知，当i1→0时，

对下表面的折射光而言，由于它是上表面折射光传播到下表面而再次发生的折射现象，由公式(3)和(6)可得下表面折射光振幅

(8)

根据上式可知，当i1→0时，

为了更加直观和系统地理解光在经过介质后的振幅变化情况，这里进一步假设n1=1，n2=1.5，并在图2中给出了偏振面与入射面垂直的线偏振光经过介质时产生的一系列光线的强度随入射角的变化曲线。

图2 强度比和2随入射角的变化曲线Fig.and 2along with the incident angle

从上式可以看出，偏振面与入射面垂直的线偏振光以布儒斯特角入射到透明介质时，上表面反射光的强度大约是入射光强度的14.8%，下表面透射光的强度约为入射光强度的72.6%。图3给出了偏振面与入射面垂直的线偏振光以布儒斯特角入射到透明介质时的图示。

图3 偏振面与入射面垂直的线偏振光以布儒斯特角入射的情形Fig.3 The case for the incidence of linear polarized light with polarization plane perpendicular to the incident plane at Brewster’s angle

2 偏振面与入射面重合的线偏振光

设入射线偏振光的振幅为Ap1，入射角为i1，由菲涅耳公式(2)可得

(9)

对于平板介质上表面而言，当i1→0时，

对于上表面的折射光而言，根据菲涅耳公式(4)可得

(10)

同样可知，当i1→0时，

另一方面，对进入平板介质内的光而言，在介质下表面仍会发生反射和折射。由于平板上下表面相互平行，所以此后各次反射的入射角就等于光通过介质上表面时的折射角i2。根据公式(2)和(10)，下表面的第一次反射光振幅应满足

(11)

对下表面的折射光而言，由于它是上表面折射光传播到下表面而再次发生的折射现象，由公式(4)和(10)可得

(12)

根据上式可知，当i→0时，

通过上述分析表明，偏振面与入射面重合的线偏振光以布儒斯特角通过透明平板介质后出射的仍然是偏振面与入射面重合的线偏振光，且振幅与最初入射光相同，仅传播方向产生一个横向平移。

图4给出了偏振面与入射面重合的线偏振光经过介质时产生的一系列光线的强度随入射角的变化曲线,其中假设n1=1，n2=1.5，入射光强度为1。从图4可知，对于偏振面与入射面重合的线偏振光的入射而言，上表面反射光的强度随入射角的增大先缓慢减小后急剧增大;上表面折射光的强度随入射角增大而单调减小，和偏振面与入射面垂直的线偏振光一样均在正入射时取最大值0.64。下表面反射光的强度既存在最小值又存在最大值，取最大值0.028时入射角约为80.2°;下表面的透射光强度先缓慢增大后急剧减小，并且透射光强取最大值1时，上表面反射光和下表面反射光的强度均为最小值0，对应的入射角即布儒斯特角56.3°。另外，对于给定的入射角，进入介质上表面的折射光的强度远远小于其它光的强度。

图4 强度比和2随入射角的变化曲线Fig.2and 2 along with the incident angle

图5 偏振面与入射面重合的线偏振光以布儒斯特角入射的情形Fig.5 The case for the incidence of linear polarized light with polarization plane parallel to the incident plane at Brewster’s angle

3 线偏振光入射到透明平板介质的总效果

根据不完全归纳法可得

(13)

(14)

(15)

(16)

图6 入射光通过透明平板介质的传播过程Fig.6 The complete processes from incident light on transparent plate

其中，下标1表示在介质上表面透出的折射光，下标2表示介质内的反射光，下标3表示在介质下表面透出的折射光。[反]、[折]表示反射和折射关系，规定n=0与无上标的符号等价。

具体地说，对于偏振面与入射面重合的线偏振光而言，从上表面透出的折射光的振幅满足

(17)

从介质下表面透出的折射光的振幅满足

(18)

对偏振面垂直于入射面的线偏振光而言，从上表面透出的折射光的振幅满足

(19)

从下表面透出的折射光的振幅满足

(20)

根据(17)、(18)和(19)、(20)式，图7给出偏振面与入射面垂直和偏振面与入射面重合的线偏振光在经过介质时的各光强度随入射角的依赖关系。

从图7可以看出，对应不同偏振状态的各曲线都具有相同的变化趋势。一方面，当偏振面与入射面垂直的线偏振光入射时，上表面和下表面出射光的强度在特定的入射角度下都存在最大值，而当偏振面与入射面重合的线偏振光入射时，随着入射角的增大，上表面和下表面出射光的强度先出现最小值后出现最大值，其中最小值出现的入射角均相同即布儒斯特角；另一方面，各强度比曲线随着n值的增加都呈急剧下降的趋势，各曲线的最大值位置随n值的增大均向入射角增大的方向移动。

4 结论

本文使用菲涅耳公式详细分析了线偏振光通过透明平板介质的强度随入射角的变化情况，特别是对正入射、掠入射和以布儒斯特角入射的3种特殊情况分别做了讨论，并将以布儒斯特角入射时的反射光和折射光用偏振光图示法定性地表示在光路图中。文中得到的线偏振光的振幅和强度的结论不仅可以用于系统分析其它类型偏振光通过透明平板介质时反射光和折射光偏振态的改变，还有助于进一步讨论偏振光的干涉现象。此外，本文使用菲涅耳公式对线偏振光入射透明平板介质后振幅和强度的分析还可以为一些实际应用，如电磁波进入平板材料所发生的反射和折射，提供一种简单易行的分析思路。

图7 各光线强度比随入射角的变化曲线Fig.7 The ratio of intensity of all the linear polarized light along with the incident angle

[1] 姚启钧.光学教程[M].4版.北京:高等教育出版社,2008:30-31,216-222.

[2] 赵凯华,钟锡华.光学[M].北京:北京大学出版社,1984:245-251,257-261.

(责任编辑：张英健)

Analysis on the Strength of Linear Polarized Light through Transparent Plate Medium

WAN Jianjie,YAN Jianjun

(College of Physics and Electronic Engineering, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070, China)

Reflection and refraction phenomenon take place at the top and bottom surfaces of the transparent plate when light crosses through it. Light is the electromagnetic wave essentially, which is transverse wave, so the light has polarization characteristic. The discussions on the changes of amplitude and strength in the propagation of polarized light play an important role in the analysis of the change of polarization state. In this paper, as the simplest example, the changes of amplitude and strength of the linearly polarized light are discussed in detail by using the Fresnel formula.

transparent plate; linearly polarized light; Fresnel formula

2013-11-01

国家自然科学基金青年项目(11204243);西北师范大学青年教师科研能力提升计划(NWNU-LKQN-10-7);西北师范大学“本科生学术能力提升计划”资助课题

万建杰(1982-)，男，甘肃天水人，副教授，博士，主要研究方向为原子与分子物理。

O435.1

A

1671-5322(2014)02-0001-06