基于CARE模型的金融市场VaR和ES度量

钟山+傅强

摘要：次贷危机余波未了，欧债危机又风生水起。在此背景下，深入研究金融市场风险的度量方法及其预测防范机制，对推进金融市场改革、维护国家金融安全具有重要的参考价值。本文以期望分位数（Expectile）模型为基础，结合CAViaR模型，构建出条件自回归期望分位数模型（CARE），并以此来计算金融收益序列的VaR和ES，用以度量金融市场风险。通过对上证指数和深圳成指的实证分析发现：CARE模型在对金融收益序列的VaR估计和预测方面，明显优于风险管理实务界主流的RiskMetrics模型，也优于CAViaR模型，而且在ES度量方面也有着非常明显的优势。

关键词：条件自回归期望分位数模型；非对称最小二乘法；动态分位数检验；自举检验

中图分类号：F830.9文献标识码：A文章编号：10035192(2014)03004005doi：10.11847/fj.33.3.40

Abstract:Influence of the subprime crisis has not eliminated，while the European debt crisis is blustering. In this context, an indepth study of the financial market risk has played an important role on the development of Chinas economy. This paper proposes the Conditional Autoregressive Expectile models, which is based on Asymmetric Least Squares and CAViaR models, to estimate VaR and ES. Thus, the financial market risk can be described by CARE models. The empirical results show that CARE models are better than RiskMetrics and CAViaR models in estimating VaR. Furthermore, the CARE models have distinct advantages in estimating ES.

Key words:Conditional Autoregressive Expectile models(CARE); Asymmetric Least Squares(ALS); dynamic quantile test; bootstrap test

1引言

次贷危机余波未了，欧债危机又风生水起。频繁发生金融危机的主要原因在于金融机构对其自身风险的估计严重不足，缺乏相应的风险防范措施。目前，金融机构的风险度量大多采用的是VaR指标，再辅之以其他的分析指标来做补充。然而，计算VaR是在特定假设条件下进行的，如数据分布的正态性等，有时这些假设与现实并不相符，而且VaR只是市场处于正常变动下的市场风险的有效测量，不能处理金融市场处于极端价格变动的情形，如政策变化、股市崩盘、金融危机等。

VaR是目前市场风险度量的主流方法与核心手段，它用于度量某一金融资产组合在既定时间和给定置信水平（通常是1%或5%）时所面临的潜在最大损失。故P(yt≥VaRt)=1-α，即VaRt(α)=-qt(α)，其中yt为金融资产的收益率，α为给定的置信水平，-qt(α)为置信水平α所对应的损益分布的分位数，为了研究方便，一般取其相反数，即VaRt(α)=qt(α)。

一般来说，金融资产的收益分布都具有尖峰厚尾的特征, 而在VaR度量中广泛应用的正态分布与实际金融收益分布之间存在着较大的差距；并且VaR仅度量了损益分布的分位数, 忽略了高于VaR水平的极端情况的损失；此外，Artzner和Delbain等［1］，Acerbi和Tasche［2］指出：VaR不满足次可加性，破坏了风险分散化原理，不是一致风险估计。

Yamai和Yoshiba［3］提出的ES（Expected Shortfall）模型则克服了这些弱点，因而得到了日益广泛的应用。ES被定义为超过VaR水平损失的条件期望值，其表达式为

ESt(α)=E［yt｜yt≥VaRt(α)］(1)

2金融市场VAR和ES度量技术的演变

金融市场风险度量方法主要可分为三类：参数法、半参数法和非参数法。

参数法中应用最广泛的是GARCH模型。这种模型用条件波动和对分布进行假设来估计条件分位数，常被用于预测金融时间序列数据的波动性和相关性［4］，其用于计算ES也是简而易懂的。但参数法却依赖对分布进行的假设，而常用的正态分布、Studentst分布和指数分布等椭圆分布往往与实际金融收益分布有很大的差距，导致VaR和ES度量也与实际值的差距比较大。

钟山，等：基于CARE模型的金融市场VaR和ES度量Vol.33, No.3预测2014年第3期半参数法主要包括极值理论和基于分位数回归法［5］的CAViaR模型等方法。极值理论采用统计方法，通过描述价值变化的尾部统计特征，给出极端条件下的VaR值。但金融收益序列中存在的异方差阻碍了极值理论的直接应用。为了克服这一点，McNeil和Frey［6］提出了超过阀值的极值理论和广义帕累托分布模型，该方法适用于GARCH条件波动模型的标准残差估计，可以很好地估计其分位数，这也为ES度量提供了一种有效的分析方法。Manganelli和Engle［7］的CAViaR模型是在GARCH模型的基础上推出的，与GARCH模型有相似的结构，其四个常用表达式如下

间接GARCH(1,1)模型

VaRt(α)=β0+β1VaR2t-1(α)+β2y2t-1(2)

对称绝对值模型(SAV)

VaRt(α)=β0+β1VaRt-1(α)+β2｜yt-1｜(3)

非对称模型(AS)

VaRt(α)=β0+β1VaRt-1(α)+β2(yt-1)++β3(yt-1)-(4)

适应性模型（Adaptive）

VaRt(α)=VaRt-1(α)+β1［I(yt-1<-VaRt-1(α))-α］(5)

其中I(y)为指示函数，yt为金融资产的收益率系列，且yt=rt-E(rt｜yt-1),rt是第t期的回报值，E(rt｜yt-1)是条件期望值，等于一个常数，一般取0，(yt-1)+和(yt-1)-分别代表yt-1的正部和负部。

使用最广泛的非参数法是Monte Carlo模拟法和历史模拟法。Monte Carlo模拟法适用于数据不充分或现有数据不满足参数法要求等情况，对决定市场价格和收益率的情况进行重复模拟，当模拟次数足够多时，模拟分布就趋于真实分布，但其计算复杂，完全依赖计算机；历史模拟法的分布形式完全由数据决定，不会丢失和扭曲信息，ES可用收益均值来估计，这比VaR估计更科学。但历史模拟法的难点是应选择多少个过去时间段，涵盖的数据太少有可能导致很大的抽样误差，数据过多则可能导致估计值对真实分布的反应太慢。

国内关于风险度量的研究主要有：朱国庆，张维等［8］综述了极值理论在科技、工程等领域，特别是在金融风险管理领域的应用；陈学华，杨耀辉［9］从收益率的波动性和分布两方面进行考虑, 建立了计算时变风险值的VaR和ES模型, 结果表明基于广义极值分布的VaR模型能够较好地刻画高频时间序列的尖峰厚尾及杠杆效应等特性，而ES模型则有效地弥补了VaR模型的不足之处；余素红，张世英等［10］对基于GARCH模型和SV模型的VaR度量做了比较，指出SV模型能够更好地拟合金融时间序列尖峰厚尾的特性；魏宇［11］认为与条件正态分布和条件t分布等常用收益分布假定相比，条件EVT分布在测度极端市场风险时表现出一定的优越性。这些研究成果对于深刻认识和把握我国金融市场风险状况都具有积极的现实作用。

3条件自回归期望分位数（CARE）模型

众所周知，尾部概率分位数q(α)，即以分位数为基础的VaR估计值（以下简称QVaR），只取决于极端损失的概率而不是其规模和价值。因此，只要保证尾部分布的概率相同，即便尾部分布完全不同，也能够得到相同的VaR值。而且QVaR是正常市场环境中金融资产的风险衡量，完全忽视了分位点左侧的风险值，当极端损失出现时，QVaR在度量风险时就会出现完全低估风险的情况。而事实上，风险从业人员和监管部门通常更关心的就是在异常波动和极端损失出现的情况下，金融资产所面临的最大潜在风险。

为避免QVaR模型的上述缺点，本文采用以Expectile模型为基础的VaR度量方法(以下简称EVaR)来构建条件自回归期望分位数模型(CARE)。EVaR是以Expectile模型为基础［12］，构建的一种比QVaR更为灵敏的VaR度量方法。由于Expectile模型的二次损失函数的特性，因此EVaR更易于反映极端损失下的潜在风险值。

定义概率分布函数：F(x)=∫x-∞f(y)dy，其中f(x)为概率密度函数，结合非对称最小二乘法（ALS），可构造出Expectile回归模型

minμ(θ) E［｜θ-I(y≤μ(θ))｜［y-μ(θ)］2］(6)

其中θ为ALS参数值。为符合金融实业界使用置信水平α的习惯，μ(θ)是损益分布的期望分位数，定义：对于任意给定的置信水平α∈(0,1)，当θ∈(0,1)时,都有μ(θ)=q(α)，即α=F(μ(θ))。

其最小值的一阶条件为

(1-θ)∫μ(θ)-∞(y-μ(θ))dF(y)+

θ∫+∞μ(θ)(y-μ(θ))dF(y)=0(7)

整理得

(1-2θθ)E［(y-μ(θ))I(y<μ(θ))］=μ(θ)-E(y)(8)

3.1基于Expectile模型的VaR估计

由表达（7）式推得

θ=∫μ(θ)-∞(y-μ(θ))dF(y)∫μ(θ)-∞(y-μ(θ))dF(y)+∫+∞μ(θ)(y-μ(θ))dF(y)

=∫μ(θ)-∞(y-μ(θ))dF(y)∫+∞-∞(y-μ(θ))dF(y)(9)

即μ(θ)=λE(y｜y>μ(θ))+(1-λ)E(y｜y≤μ(θ))，其中

λ=θ［1-FY(μ(θ))］θ［1-FY(μ(θ))］+(1-θ)FY(μ(θ))

=θ(1-α)θ(1-α)+α(1-θ)

可以认为μ(θ)是当y>μ(θ)时的加权平均概率，是E(y｜y>μ(θ))与E(y｜y≤μ(θ))之间的平衡值，即

EVaR(α)=λE(y｜y>μ(θ))+(1-λ)E(y｜y≤μ(θ))

λ=θ(1-α)θ(1-α)+α(1-θ)(10)

3.2基于Expectile模型的ES估计

由表达（8）式推得

E(y｜y<μ(θ))=(1+θ(1-2θ)F(μ(θ)))μ(θ)-

θ(1-2θ)F(μ(θ))E(y)(11)

又α=F(μ(θ))，联立（1）式和（11）式，可得

ES(α)=(1+θ(1-2θ)α)μ(θ)-θ(1-2θ)αE(y)

考虑到时间序列的变动，而条件ES是建立在t-1期的基础上的，故第t期的条件期望分位数μt(θ)与ESt(α)之间的关系可以表示为

ESt(α)=(1+θ(1-2θ)α)μt(θ)-θ(1-2θ)αE(yt)(12)

由于现实中金融资产的平均收益率大多趋近于0，故可以认为E(yt)=0，简化起见，(12)式可化为

ESt(α)=(1+θ(1-2θ)α)μt(θ)(13)

3.3条件自回归期望分位数（CARE）模型

由于CAViaR模型有着很多的优点：完全避开了收益分布的假设，直接从分位数的角度进行风险建模，只要有历史收益率和设定一个置信水平，通过一定的回归方法和优化算法，就可以直接计算出VaR值，不仅考虑了收益的类聚性，也很好地处理了收益序列的尾部分布。所以我们考虑使用CAViaR模型来构建条件自回归Expectile模型。

考虑到模型的简化和实用性，本文选取间接GARCH(1,1)CAViaR模型和SAVCAViaR模型为基础构建CARE模型。以间接GARCH(1,1)CAViaR模型为例，将(2)式线性变换

VaR2t(α)=β0+β1VaR2t-1(α)+β2y2t-1(14)

则间接GARCH(1，1)CARE模型可以表示为

EVaR2t(θ)=β0+β1EVaR2t-1(θ)+β2y2t-1(15)

结合表达（13）式可以推出条件ES模型

ES2t(α)=γ0+γ1ES2t-1(α)+γ2y2t-1(16)

其中γi=［1+θ(1-2θ)α］2βi(i=0,2),γ1=β1。同理可得，SAVCARE模型

EVaRt(θ)=β0+β1EVaRt-1(θ)+β2｜yt-1｜(17)

条件ES模型

ESt(α)=γ0+γ1ESt-1(α)+γ2｜yt-1｜(18)

4实证分析与检验

为检验CARE模型对于中国股市风险的稳定性，本文选取上证指数和深圳成指每日收盘价作为样本。鉴于2005年5月9日证监会推出了股权分置改革，实现了中国股市的第二次革命，故选择时间跨度为2005年5月9日到2012年8月29日，其间包含了次贷危机和欧债危机两个重要的金融事件，所有数据均来自新浪财经的公共数据库。考虑到突发事件等因素，剔除交易日不重合的数据，每种指数均得到T=1795组有效数据。

两种指数日收益率序列的基本统计描述显示：偏度为负，说明收益率分布不对称，呈左偏；峰度都大于3，说明收益率的尾部比正态分布要厚；分布都呈现尖峰厚尾的特征，说明如果用一般的正态分布是不能准确模拟股市真实情形的；ADF检验结果表明：两个股市收益率显著拒绝单位根的零假设，说明两个序列都是平稳时间序列，可以进行进一步的分析和计量建模。

4.1参数估计

表1给定的置信水平下的ALS参数θ（×100）值

置信水平α1%5%CARE模型GARCH(1，1)

模型SAV模型GARCH(1，1)

模型SAV模型上证指数0.15620.14391.7411.623深圳成指0.20670.19831.8541.905

由于现实中金融收益序列分布呈现尖峰厚尾的特征，常用的正态分布、偏t分布等椭圆分布不能准确拟合金融收益序列的特征，故本文采用步长为0.001的三次样条插值的方法来近似估计不同置信水平下的两种CARE模型的最佳ALS参数值。具体参数估计值详见表1。

为了较好地估计出模型的未知参数，选取固定长度滚动时间窗的样本外预测法，结合对尾部分布没有要求的分位数回归法，来估计模型的未知参数βi(i=1,2,3)：将数据样本划分为“估计样本”与“预测和检验样本”两部分。其中，估计样本包含前1200个交易日的数据，而预测和检验样本则包含最后595个交易日的数据；在给定的置信水平下，对每个股指收益率重复进行595次不同的模型估计，从而每个股指在每个置信水平下都获得了595个未来一天的样本外VaR预测；再用分位数回归法估计出每个股指在给定置信水平下的参数值。表2和表3分别给出了间接GARCH(1，1)CARE模型和SAVCARE模型的相关参数估计值。表2给定的置信水平下间接GARCH(1，1)CARE模型的参数估计值（圆弧括号内为标准误差）

置信水平α1%5%系数βiθ×100β0β1β2θ×100β0β1β2上证指数0.15620.0656

(0.0149)0.8430

(0.0007)0.026

(0.0021)

1.439

0.0836

(0.0234)0.6853

(0.0011)0.022

(0.0123)深圳成指0.20670.1312

(0.0173)0.8699

(0.0006)-0.0005

(0.0023)1.9830.1601

(0.0279)0.7804

(0.0009)0.0012

(0.0041)

表3给定的置信水平下SAVCARE模型的参数估计值（圆弧括号内为标准误差）

置信水平α1%5%系数βiθ×100β0β1β2θ×100β0β1β2上证指数0.17410.0357

(0.0023)0.9154

(0.0006)-0.047

(0.0011)1.6230.0454

(0.0039)0.9237

(0.0011)-0.0104

(0.0021)深圳成指0.18540.0449

(0.0025)0.9296

(0.0005)-0.0048

(0.0011)1.9050.0503

(0.0043)0.9108

(0.0010)-0.0161

(0.0020)

4.2模型的检验及评价

直观起见，我们采用间接GARCH(1,1)CARE和SAVCARE模型，将两个股指在1%和5%的置信水平下分别进行样本外的动态VaR和ES预测。结果表明：两个模型的VaR和ES都能够较好地刻画出收益率的时变波动特征，但VaR模型低估了极端损失情况下股票的市场风险，即实际损失值明显超过VaR值的次数相对较多；而ES模型则更好地拟合了股票市场风险的倾向，实际损失值明显超过ES值的次数相对较少。

为进一步分析CAREVaR模型的稳定性，本文采用 Kupiec［13］提出的检验VaR碰撞失败率的似然比检验（LRTest）法以及Engle和Manganelli［14］提出的动态分位数（DQTest）检验法（一般选择K=7，q=5，即一个周5个交易日）。为使结果具有可比性，我们把CAREVaR模型与风险管理实务界主流的RiskMetrics模型和CAViaR模型一起做返回检验。在1%和5%的置信水平下，VaR的p值检验结果表明CARE模型比RiskMetrics模型和CAViaR模型在VaR估计方面更为精确。究其原因，金融风险管理实务界主流的RiskMetrics模型，由于其假设金融时间序列是正态分布，与实际金融时间序列的尖峰厚尾特征不吻合，故很难得到精确的动态VaR预测；CAViaR模型不需要对分布进行假设，直接对分布尾部建模，在VaR 的估计和预测上有着明显的优点，能够很好地得到精确的动态VaR预测，但由于VaR完全忽视了分位点左侧的风险，故存在低估市场风险的弊端。

为了检验CAREES模型的稳定性，本文采用McNeil，Frey和Embrechts［15］提出的自举检验（Bootstrap Test）法。由于CAViaR模型并没有相应的ES估计模型，故选取现行风险度量中常用的两种ES极值模型——GARCH Students t EVT和GARCH Skewt EVT模型一起做返回检验，结果显示：CARE模型的检验p值略大于用极值理论（EVT）构建的GARCH模型的检验p值，且显著大于置信水平，这说明了CARE模型能够更好地度量和预测收益序列的动态ES值。

5主要结论

本文以Expectile模型为基础，结合CAViaR模型构造出条件自回归Expectile模型（CARE），完全避开了对收益分布的假设，直接从分位数的角度进行风险建模，采用三次样条插值的方法，近似估计出最优的ALS参数值，再使用滚动窗口的动态分位数回归法来估计未知参数，使得模型具备了CAViaR模型的优点，能够较好地度量和预测收益序列的VaR值，而且只需要进行简单的变形，就可以转变成条件ES度量模型。通过对上证指数和深圳成指的实证分析发现：CARE模型在对金融收益序列的VaR估计与预测方面，明显优于金融风险管理实务界主流的RiskMetrics 模型和CAViaR模型，而且在ES度量方面也有着非常明显的优势。

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