关于Lozi吸引子结构的讨论

郭 峰, 谢建华

(西南交通大学力学与工程学院,四川成都610031)

1963年美国气象学家E.N.Lorenz[1]在研究对流实验时发现了Lorenz吸引子,1976年法国天文学家M.Hénon[2]在球状星团研究中得到一个两维映射f(x)=(1-ax2+by,x),发现了Hénon吸引子.最近几十年,科学工作者对奇怪吸引子进行了深入地研究,在对其结构和动力学行为的刻画方面取得很大的进展.

Lozi将Hénon映射中较难研究的平方项简化为分段线性项,提出了Lozi映射f(x)=(1-a|x|+by,x),减小了对吸引子中鞍点和鞍型周期点的不稳定流形分析工作的难度.J.Lozi[3]选定参数a=1.7,b=0.5,数值模拟出一个奇怪吸引子.M.Misiurewicz[4]在参数满足以下条件:

对Lozi映射中的奇怪吸引子进行了理论研究,证明了奇怪吸引子为第一象限中双曲不动点X的不稳定流形的闭包,稳定流形在吸引域中是稠密的,并且还证明了吸引子具有稳定的双曲结构.后来T.Tel[5-7]从理论上分析了Lozi映射鞍点的不稳定流形和鞍型周期2点的不稳定流形,而且做了一些关于奇怪吸引子的数值计算.朱照宣等[8]采用对偶线性映射的方法分析了当a=8/5,b=9/25时吸引域的结构.文献[9-10]证明了该映射的吸引域是边界包含在中区域的并和的闭包.证明了对b<0时,映射仍然存在一个奇怪吸引子,进一步得出横截同宿点和弱横截同宿点在吸引子中是稠密的结论.

本文在前人对Lozi映射的研究基础上,对一些细节问题进行了讨论和补充.对该映射的捕获域的构造过程进行了详细地描述.并借助几何图形,将该映射的捕获域和吸引子的结构形象直观地刻画出来.运用测度理论找到了存在奇怪吸引子的一个必要条件.

1 Lozi映射

2 Lozi映射的不动点和特征值

3 捕获域

4 Lozi映射的不稳定流形

5 结论

本文结合前人对Lozi映射的研究,详细地讨论和计算了一些细节上的问题,对该映射的捕获域的构造过程进行了细致地描述.并借助几何图形,将该映射的捕获域和吸引子的结构形象直观地刻画出来,与理论上的分析是一致的.运用测度理论找到了一个正的测度集,其为奇怪吸引子存在的一个必要条件.

[1]Lorenz E N.Deterministic nonperiodic flow[J].J Atmos-pheric Science,1963,20:130-141.

图10 Lozi吸引子(a=1.7,b=0.5)Fig.10 The Lozi attractor(a=1.7,b=0.5)

图11 Lozi映射的正测度集Q(P)Fig.11 The positive measure set Q(P)of the Lozi mapping

[2]Hénon M.A two-dimensional mapping with a strange attractor[J].Commun Math Phys,1976,50:69-77.

[3]Lozi J.Un attracteur etrange du type attracteur de Hénon[J].J Phys(Pairs),1978,39:9-10.

[4]Misiurewicz M.Strange attractors for the Lozi mapping[J].Ann W Y Acad Sci,1980,375:348-358.

[5]Tel T.On the construction of stable and unstable manifolds of two-dimensinal maps[J].Z Phys,1982,B49:157-160.

[6]Tel T.On the construction of invariant curves of periodic-two points in two-dimensinal maps[J].Phys Lett,1983,A94:334-336.

[7]Tel T.Invariant curves,attractors and phase diagram of a piecewise linear map with chaos[J].J Stat Phys,1983,33:195-199.

[8]朱照宣,刘曾荣.一个分段线性Hénon映射吸引集合的结构[J].应用数学与学,1988,9:771-778.

[9]曹永罗.Lozi映射的奇怪吸引子和吸引域的结构[J].数学进展,1996,25:315-319.

[10]Cao Y L,Liu Z R.Strange attractor in the orientation-preserving Lozi map[J].Chaos,Soliton&Fract,1998,9(11):1857-1863.

[11]Milnor J.On the concept of attractor[J].Commun Math Phys,1985,99(2):177-195.

[12]Wiggins S.Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos[M].Berlin:Springer-Verlag,1990.

[13]Benedicks M,Carleson L.The dynamics of the Hénon map[J].Ann Math,1991,133:73-169.