四阶时滞微分方程边值问题的正解

汪媛媛, 李永祥

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070)

1 引言及预备知识

记C=C([-τ,0],R),则其按范数构成 Banach 空间.令C+={φ∈C|φ(θ)≥0,θ∈[-τ,0]}.考虑四阶时滞微分方程边值问题

正解的存在性,其中,f:I×C+➝[0,+∞)连续,I=[0,1],ϕ(t)∈C([-τ,0],[0,+∞)),ϕ(0)=0,对∀t∈I,ut(θ)=u(t+θ),θ∈[-τ,0],

本文始终假设:

两端简单支撑的弯曲弹性梁的平衡状态可用四阶边值问题

来描述[1-2],其中,f:[0,1]×R×R➝R连续,关于边值问题(2)以及更广泛的常微分方程边值问题解的存在性,已有许多研究工作[3-11].近年来,伴随着时滞微分方程理论的发展以及其在物理学、自动控制理论、生物学、经济学、人口理论等多门学科中的广泛应用,时滞微分方程边值问题已逐渐成为一个研究的热点[12-25].

对不含时滞的情形,即τ=0时,问题(1)退化为下面的常微分方程边值问题

其中,f:I×[0,+∞)➝[0,+∞)连续.问题(3)已被许多作者研究[3-6],其中,文献[3]给出了其正解的存在性定理.

对含有时滞项的情形,即τ≠0时,宋利梅等在文献[12]中讨论了边值问题

正解的存在性,其中,f是定义在I×C+上的非负连续函数,p(t)是定义在I上的非负可测函数.他们运用锥拉升与锥压缩不动点定理证明了问题(4)正解的存在性.

本文考虑更一般的四阶时滞微分方程边值问题(1).通过对不动点指数的精确计算,证明了只要f0适当小,f∞适当大,或者f0适当大,f∞适当小时,问题(1)至少存在一个正解.

称u(t)∈C4[-τ,1]为问题(1)的一个解,如果u(t)满足下面的条件:

定义线性算子T:C[-τ,1]➝C[-τ,1]为

则算子T是方程(9)的解算子,且T把C[-τ,1]中的有界集映为C[-τ,1]中的有界集.由Gelfand公式得

其中,r(T)是算子T的谱半径,显然r(T)>0.设L=π4-aπ2-b,易见L是线性边值问题(9)对应的最小特征值,因此r(T)=1/L.

引理3T是全连续算子.

证明T的连续性显然,只需证明T的等度连续性即可.

由于G1和G2在[0,1]×[0,1]一致连续,即对∀ε>0,∃η>0,∀t1,t2∈[0,1],当|t1-t2|<η时有

联立以上两式可得

又因为当t∈[-τ,0]时,Au(t)=0;当t∈(0,1)时,Au(t)>0,从而可得A(K)⊂K.由T的全连续性可知A是全连续的.证毕.

引理 5[9]∃γ∈(0,1),使得对∀x∈K,当t∈时,有‖xt‖C≥γ‖x‖.

引理6[3]设A:K➝K全连续,如果μAu≠u,∀u∈∂Kr1,且0<μ≤1时,i(A,Kr1,K)=1,其中,Kr1={u∈K|‖u‖C

引理7[3]设A:K➝K全连续,如果下列条件满足:

则i(A,KR,K)=0,其中,KR={u∈K|‖u‖C

2 主要结果

定理1f是定义在I×C+上的非负连续函数,且f把I×C+中的有界集映为[0,+∞)中的有界集,如果下列条件之一满足:

则边值问题(1)至少存在一个正解.

证明假设条件(H1)成立,则由ϕ(t)≡0,得vt=0,t∈[0,1].

由(H1)的第一个不等式,因为f0<δL,则存在适当的r0,满足0

下证当0<μ≤1时,对∀x∈∂Kr0,有μAx≠x.反设∃x0∈∀Kr0,μ0∈(0,1],使得μ0Ax0=x0,则由A的定义,x0满足

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