有质量手性费米子的势垒隧穿

潘林峰，曹振洲，程衍富

(中南民族大学 电子信息工程学院，武汉 430074)

费米子是自旋为半整数的粒子,比如自旋为1/2的电子就是最典型的费米子.电子通过势垒的隧穿是量子力学中的基本问题,满足Schrödinger方程的非相对论电子通过势垒时透射概率随势垒的高度和宽度指数衰减[1].因此电子完全通过极高和极宽势垒的现象被认为是完全不可能的,然而1929年Klein[2]发现满足Dirac方程的相对论电子可以完全隧穿势垒,这个效应叫Klein隧穿.对Klein隧穿的理解来自量子场论[3].势垒具有很强的电势从而排斥电子而吸引正电子,导致在势垒内部产生正电子态,它的能量与势垒外面的电子匹配,越过势垒的电子和正电子的波函数连续导致高隧穿效应.这里电子和正电子密切联系,并由Dirac方程的不同分量来描述,这种性质通常叫电荷共轭对称.虽然这个解释能完全说明Klein隧穿,但要从实验上观察这个现象存在很大困难,即相对论电子的完全隧穿要求势垒高度大于粒子的Compton波长,产生如此势垒要求电场E>1016V/cm.以现在的技术手段几乎不可能产生如此大的电场,因此这个效应从实验上不可能被观察,所以人们一直把这个现象称为Klein佯谬.

2004年石墨烯的发现预言了两维无质量Dirac电子的Klein隧穿[4],并且极容易地从实验上观察到这个效应[5],从而真正解决了Klein佯谬问题.石墨烯是具有两个原子基(通常叫子格A和B)的二维晶体薄片[6].石墨烯蜂巢结构由2个三角布拉维晶格组成,因此载流子除了通常的电子自旋外(本文忽略),还有与子格自旋度相联系的赝自旋.因为子格赝自旋,人们把波函数写为子格空间的Dirac双旋量,并且引入粒子的手性,即单层石墨烯中的准粒子是无质量手性费米子.后来发现在多层石墨烯系统中也能推广手性概念,即准粒子为有质量的手性费米子.有质量手性粒子通过势垒的行为与非手性粒子存在很大差异, 它们垂直通过势垒前者表现为反Klein隧穿,后者出现振荡隧穿[7, 8].本文重点讨论有质量手性粒子,通过其在势垒中的传播来理解手性概念,并比较非手性粒子通过势垒的隧穿行为.

1 赝自旋与手性

(1)

它是厄米和幺正算符,本征值为±1.不存在质量项时,螺旋算符与狄拉克-哈密顿量对易,因此与哈密顿量有共同的本征函数,这时我们把螺旋算符和手性看成相等. 比如质量近似为零的中微子为左手粒子,即它们的自旋与它们的动量反平行,反中微子是右手粒子,它的自旋与动量平行.单层石墨烯中的准粒子是无质量Dirac费米子,由石墨烯的晶格结构引入赝自旋σ.赝自旋来自晶格的两个不等价子格A和B,因此可像自旋粒子一样引入手性(螺旋性).因此石墨烯中准粒子的手性也可像方程(1)一样定义为赝自旋在动量方向的投影[9],这里只要把自旋算符s改为赝自旋算符σ即可.对有质量的狄拉克粒子,需要推广无质量粒子的手性概念.比如对多层菱形堆叠石墨烯系统,两能带低能哈密顿量近似为[10]：

HJ=ε(p)σ·nJ=ε(p)[cos(Jφ)σx+

sin(Jφ)σy],

(2)

其中nJ= -(cos(Jφ), sin(Jφ))表示赝自旋极化轴,在二维波矢平面上的极化角φ=arctan(ky/kx),波矢k与动量p的关系为p=ħk.赝自旋矢量σ= (σx,σy)是两维泡利矩阵.在上面的表示中,J表示石墨烯的层数,也叫手性自由度,它联系各层的电子密度,比如对单层J= 1,对双层J= 2,等.

图1 费米圆上赝自旋矢量旋转图Fig.1 Diagram of pseudo-spin vector rotation on the Fermi circle

2 两维有质量手性粒子的势垒隧穿

两维有质量手性粒子最简单的模型出现在双层石墨烯中[12].双层石墨烯由两个单层碳原子耦合而成,它的每层都为蜂巢结构,每层都有两个不等价碳原子A和B. 两层间不同堆叠构成不同的双层系统,天然石墨剥离产生的双层系统为Bernal堆叠,即上层的A2原子正好在下层B1原子的顶上.在多层石墨烯低能哈密顿量中,我们取J= 2,且ε(p) =p2/2m,这里有效质量m≈0.054me[13],me为祼电子质量.那么在能谷K点附近哈密顿量为[14]:

(3)

对K′点附近的低能哈密顿量只需作替换ky→-ky即可.由于我们研究的散射不考虑能谷混合, 今后只考虑对K能谷的散射.

双层石墨烯系统的载流子是有质量手性费米子,它通过势垒的行为与非手性粒子完全不同.下面考虑有质量手性粒子通过方势垒的隧穿. 假定能量为E的手性费米子(电子)从左边以角度φ入射到宽为D高为V0的方势垒上,如图2所示.

图2 方势垒和各区域波矢与散射角示意图Fig.2 Schematic diagram of square barrier and regional wave vector vs the scattering angle

如果势垒沿x为矩形并沿y轴无限长,则分段常数势函数可表示为：

(4)

假定势垒边缘相当陡峭且在晶格尺度上光滑,则不引起能谷间散射,那么我们只需研究一个能谷K的散射. 由于势函数与坐标y无关,则粒子的波函数可写为ψ(r)=ψ(x)eikyy.二维矩阵表示中,无势垒区域的波函数的x分量满足本征值方程:

(5)

这里E是费米能.式(5)可写为下面的2个微分方程:

(6)

(7)

由(6)、(7)消去ψ2(x)有：

(8)

方程(8)的解为传播波解exp(±ikxx)或者指数增长(衰减)的倏逝波解exp(±kxx).把传播波解ψ1(x)=e±ikxx代入(8)式有:

这里s表示能带指标,E> 0,s= +1;E< 0,s= -1.即双层石墨烯能量色散为二次关系,正如图2所示的抛物线:

(9)

由式(7)有:

可得旋量的第二分量为:

(10)

同理对倏逝波有:

(11)

(12)

这里考虑只有电子传播波入射,反射有传播波和倏逝波.在0

(13)

(14)

上述系数r1,r2,a,b,c,d,t1,t2都为复振幅,我们要求波函数和其导数在x= 0和x=D连续可求出这些系数,在计算过程中取s= 1,s′= -1. 在任意入射角φ下并不能得到透射系数的解析解,它需要用数值解来完成. 而正入射时,φ=θ=0,我们能求出透射系数的解析表示：

(15)

并且t2=r2=a=b=0.那么透射概率为:

(16)

如果D以nm为单位,方程(16)中双曲函数的变量q量级达到107,则T以指数方式衰减很快,几乎完全没有透射.

双层石墨烯在电子正入射时完全没有透射,这通常叫反Klein效应.从波的边界条件可知正入射时a=b= 0,即势垒区域只有倏逝波通道,这种情况下与Schrödinger粒子通过势垒指数衰减完全相同.当然对斜入射粒子,势垒中传输通道是传播波和倏逝波的混合,倏逝波产生指数衰减,而向前和向后的传播波通过Fabry-Pérot干涉产生共振透射[15].

双层石墨烯通过势垒的Klein效应由其手性决定.对K能谷手性指标与能带指标相同,即导带手性为+1,赝自旋方向与波矢方向相同;价带手性为-1,赝自旋与波矢方向相反. 粒子通过势垒界面要求赝自旋守恒.比如对正入射(ky= 0),赝自旋只有x分量σx,赝自旋守恒使图3中只能出现细黑箭头所允许的传输过程,即双层石墨烯中只允许出现反射传输.所以双层石墨烯势垒区域不可能出现传播模,也就是说势垒区域的空穴波矢不是实波矢-k而是虚波矢q=ik.

图3 粒子电子正入射时赝自旋守恒示意图Fig.3 pseudo-spin conservation Schematic diagram while normal incidence

3 两维有质量无手性粒子的势垒隧穿

为了与有质量手性粒子的势垒隧穿进行比较,这里我们只能考虑非手性载流子无隙半导体,这有可能在某种异质结构中实现[16].这个系统的哈密顿量为:

(17)

我们还是取势函数在y方向平移不变,则波函数ψ(x,y)=ψ(x)eikxx.由波函数满足的本征值方程有:

(18)

即:

(19)

设传播波解为ψ(x)=e±ikxx,那么由(19)有:

这里s=±1分别表示导带和价带,波矢kx=kcosφ,ky=ksinφ,而φ为入射角.

这里qy=qsinθ=ky,θ是势垒区域的折射角以及s′=sgn(E-V0).我们也只考虑入射电子的能量小于势垒高度.对x< 0的无势垒区域,波函数为:

ψⅠ(x)=eikxx+re-ikxx,

(20)

在0

ψⅡ(x)=aeiqxx+be-iqxx,

(21)

同理x>D的无势垒区域:

ψⅢ(x)=teikxx,

(22)

上述系数r,a,b,t都为复振幅.利用波函数其及导数在界面x=0和x=D连续可得出透射系数t:

(23)

则透射概率T=|t2|为:

T=|t1|2=

(24)

下面通过图解透射概率(24).由方程(24)知当满足共振条件qxD=nπ,N=0,±1,±2,…，势垒能完全透射,如图4所示. 图4表示斜入射时透射概率T与入射角φ的关系,其中E/V0=0.2(粗实线), E/V0=0.7(细实线)，D=100nm.由图可见当入射粒子的能量增加时，透射概率T与入射角φ呈明显的不对称性.

图4 斜入射时透射概率T入射角φ的关系Fig.4 T-φ curves while oblique incidence

对正入射(φ = 0),透射概率T是势垒宽度D的函数,如图5所示. 图5中E/V0= 0.3(粗实线), E/V0=0.2(细实线),从图5知道, 有质量非手性粒子正入射时既不像无质量手性粒子一样透射概率总为1[4],也不像有质量手性粒子那样透射概率总为0,它的值在0到1之间振荡.振荡周期与势垒高度V0,入射粒子能量E和势垒宽度D都有关.

图5 正入射时透射概率T与势垒宽度D的关系Fig.5 T-D curves while normal incidence

4 小结

本文研究了有质量手性和非手性费米子通过势垒的隧穿概率.有质量手性粒子对应的系统为双层石墨烯,这里由于层和子格引起赝自旋而粒子具有手性.对K能谷导带中手性为+1,价带中手性为-1,对K′能谷手性则相反.当满足Dirac方程的粒子通过高度为V0的势垒时,正入射粒子完全被反射,这就是反Klein隧穿.而斜入射的粒子由于在势垒区域出现传播和倏逝波的混合,倏逝波使透射振幅衰减而传播波在界面的干涉产生Fabry-Pérot共振隧穿.两维有质量无手性粒子可以出现在无隙半导体中,正入射时粒子完全隧穿随势垒宽度呈周期变化,斜入射也出现共振隧穿.它的表现与手性粒子完全不同,即不会出现Klein隧穿和反Klein隧穿.

参 考 文 献

[1] Merzbacher E. Quantum Mechanics [M]. 2nd ed.New York: John Wiley & Sons Inc, 1970: 81- 114.

[2] Klein O. Die reflexion von elektronen an potential sprung-nach der relativistischen dynamik von Dirac [J]. Z Phys, 1929, 53:157- 165.

[3] 周邦融. 量子场论 [M]. 北京:高等教育出版社, 2008: 55-81.

[4] Katsnelsio M I, Novoselov K S, Geim A K. Chiratun-nelling and Klein paradox in graphebne [J]. Nat Phys, 2006 , 2: 620- 625.

[5] Huard B, Sulpizioet J A, Stander N,et al. Transport measurements across a tunable potential barrier in graphene [J]. Phys Rev Lett, 2007, 98: 236803.

[6] Castro-Neto A, Guinea F, Peres N M R ,et al. The electronic properties of grapheme [J]. Rev Mod Phys, 2009, 81: 109.

[7] Cao Zhenzhou, Cheng Yanfu , Li GuanQiang. Massive Dirac electron tunneling through a time-periodic potential in single layer grapheme [J]. Physics Letters A, 2011, 375: 4065- 4069.

[8] Cao Zhenzhou, Cheng Yanfu, Li Guanqiang. Strain-controlled electron switch in grapheme [J]. Appl Phys Lett, 2012, 101: 253507.

[9] Goerbig M O. Electronic properties of graphene in a strong magnetic field [J]. Rev Mod Phys, 2011, 83:1193.

[10] Tworzyd lo J, Trauzettel B, Titov M, et al. Sub-Poissonian shot noise in graphene [J]. Phys Rev Lett, 2006, 96: 246802.

[11] Park C-H, Marzari N. Berry phase and pseudospinwinding number in bilayer graphene[J]. Phys Rev B, 2011 , 84: 205440.

[12] Edward McCann , Mikito Koshino. The electronicproperties of bilayer graphene[J]. Rep Prog Phys, 2013, 76: 056503.

[13] McCann E, Abergel D S L, Falko V I. Electrons in bilayer graphene[J]. Solid State Commun, 2007, 143: 110.

[14] Novoselov K S, McCann E, Morozov S V, et al.Unconventional quantum Hall effect and Berry′s phase of 2π in bilayer graphene[J]. Nature Phys, 2006, 2: 177.

[15] Allain P E, Fuchs JN. Klein tunneling in graphene: optics with massless electrons [J]. Eur Phys J B, 2011, 83: 301-317.

[16] Teissier R, Finley JJ, Skolnick MS, et al. Experimental determination of gamma-X intervalley transfer mechanisms in GaAs/AlAs heterostructures [J]. Phys Rev B, 1996, 54: 8329-8332.