复杂表面问题的有限元计算与分析

华沛

（河南城建学院，河南 平顶山 467000）

复杂表面问题的有限元计算与分析

华沛

（河南城建学院，河南 平顶山 467000）

本文通过对复杂接触表面问题、流固耦合方程组以及边界条件切触不确定性的分析详细探讨了复杂表面问题的有限元计算与分析，希望能够为碰撞安全测试中最优接触问题的计算方法研究提供帮助.

复杂接触表面；流固耦合方程组；边界条件切触不确定性；有限元

引言：近年来，随着经济的高速发展，我国在科学技术领域的研究越来越精确化.有限元算法（F E A）在科研测试中也逐渐变得重要.就目前来看，有限元计算法在接触表面问题的数值计算中已经获得广泛的应用，其中较为典型的例子就是在三维立方元模型高性能前处理计算中的应用.三维立方元模型的计算以算法作为分类的标准，分为隐式以及显式，其中隐式算法主要就是求出联立方程组的联解，在计算中常有难以收敛的情况发生，改重算法的优点在于能够对表面接触节点边界条件进行精确的计算.对于显式算法来说，在计算中不需要对联立方程求解，缺点在于受稳定性限制.总之，就目前对复杂表面问题的有限元计算分析来看，立方元相关的计算是主要的研究方向，同时也是力学与经济学等相关领域的随机模型重要的参考对象.

1 复杂接触表面问题

对于复杂接触表面问题主要可以从两个方面进行研究分析，即从确定性模型之上的随机边界条件分析以及蜂窝多孔复合材料的应用和算法结果，下面对此进行简单的分析探讨：

1.1 确定性模型之上的随机边界条件分析

确定性模型之上的随机边界条件分析，主要可以分为三个步骤，第一步就是对于涉及时间变量的初边值问题的分析，对与时间变量初边值的处理基本就是依靠有限元方法求解的基本思想，也就是分开处理涉及到的时间变量以及与空间变量，使用有限元法的离散化对空间变量进行处理计算，从而得到与初值相关的常微分方程组.第二步骤，对第一步骤中有关的时间变量的处理，对于时间变量的处理是不同于空间变量的，时间变量的处理主要是应用差分方法的离散化，从而得到线性代数方程组.第三步，利用确定性模型的工程试验相关的数据库，综合第一步和第二步所得的时间和空间相关变量的初边值可以确定离散系统随机初边值条件，进而对该离散系统进行数学化的运算，进而能够取得相应研究对象，比如像应力、塑性变形率以及常见的碰撞加速度控制等相关的各种分布函数的高精度解.

1.2 蜂窝多孔复合材料的应用和算法结果

对于有限元计算方法在蜂窝多孔复合材料（如图2所示的力学结构图）这种典型复杂表面问题中的应用计算来说，重要的问题是对动力方程中相关的多尺度算法的计算规模的考虑，主要方法就是在蜂窝多孔材料区域耦合方程中，对时间变量做处理时，加强对积分变换的应用，同时对带有关于蜂窝多孔材料的参数的新耦合方程进行合理的多尺度分析，以求得易于计算多尺度的算法.不仅如此，在对蜂窝夹层结构的表面问题进行计算时，可以应用三维网格进行数值计算.

图1 蜂窝多孔复合材料区域上耦合弹塑性方程的算法结果

2流固耦合方程组

在复杂表面问题的有限元计算中，流固耦合方程组也是整个计算中重要的环节，流固耦合方程组是对复杂表面性质进行描述的基础，也是计算的方法之一，下面就从流固耦合方程组的离散系统和复杂接触表面的计算方法这两方面进行简单分析：

2.1 流固耦合方程组

流固耦合方程组对于复杂接触表面的问题来说，主要起到媒介的作用，也就是可以通过流固耦合方程组进行描述的同时，还能对流固耦合方程组进行计算，从研究的角度来说，主要表现在下面的两个方面：在工程材料科学中的相关标准变量的基础之上，以对非牛顿P－T／T方程所表现的处理特性为切入点，分析复杂接触表面的外延以及简单剪切速率的阻力；以Cauchy守恒方程为基础，通过对方程的计算可以得出，在宏观与微观应力场中因素τ分布发生变化时，所产生的弹塑性材料变形的基本情况，其中关于移动边界层在时间节点上的数值结果如图2所示.

图2 三维碰撞模型中接触表面移动边界层，部分时间节点上的结果

2.2 复杂接触表面的计算方法

通过分析可以得知，对复杂表面问题处理时可以以非牛顿耦合方程模型为基础进行探究，具体可以通过非牛顿耦合方程模型随机边界层的特点来分析研究，并以此研究为基础，对相关研究的任意元素的计算进行数值仿真.具体的来说也就是应用人工边界法数值来求解非线性外问题，从而达到对复杂接触表面的计算.但是，应用该种计算方法时应该注意的是，人工边界法数值求解非线性外问题，其基础是在得到人工边界上相对于该非线性问题相关的准确近似的边界条件.该边界条件一般来说就是未知函数及其微商相对于与计算相关的人工边界的非线性积分方程.

3 边界条件切触不确定性

对于复杂接触表面处理的有限元的计算与分析中，边界条件切触的不确定性也是整个计算中的重点难点，下面就从边界条件切触不确定性的边界层特征函数和边界层的外解渐进分析以及内解渐进分析进行阐述：

边界层的特征函数.在复杂表面问题中利用边界层理论对有限元接触边界相关的非线性特征函数基进行探讨，这是对复杂表面问题进行有限元计算的关键点之一.简单的说就是以边界层外解与内解逼近为基础，通过对非线性边界条件的匹配方法，得到跳跃条件特征值谱P与参数R，G，N及χ的关系，进而得到了复杂表面有限元后处理的优化基函数外解的渐近分析.边界条件切触性对于渐近分析，主要就是针对外解问题微分方程（方程一）而言，通过该方程的分析，可得到相关的弹性方程以及耦合方程组在复杂接触表面层厚中当δ→0时，将会丧失方程或方程组的椭圆性，这也就是构造新的空间，去讨论光滑解相关的收敛性.因此，就外解的渐近分析而言，边界层外稳态约束场是好的逼近.

内解的渐近分析.对于内解的渐近分析，主要是对边界层内解的计算，即是通过对非线性相关的耦合方程进行线性变换，同时对傅立叶进行调和分析，在引入新的参数的情况下，将边界相关的三维流体动力学方程转换为一维复空间的阶微分方程，方程如下：

通过对方程的分析与计算，可以确定复杂接触表面的非线性有限元特征函数基，进而能够保证其在复杂表面有限元相关计算中的的稳定与收敛.

4结束语

综上所述，在对复杂表面问题进行有限元计算与分析时，计算的方法和基础就在于去采用流固耦合非牛顿流体方程对复杂表面的初边值求解三维层结构特性，同时可以利用变分原理的摄动问题的有限元方法，在已经研发使用的高性能软件平台对所得数据实现挖掘处理，得到有效的结果.此外，复杂接触表面的有限元计算，还可以利用基于渐近摄动方法，以及边界层理论进行研究，从而得到可解的微分方程特征的函数空间，此种方法也可以用来优化有限元基函数的解，达到对复杂表面问题做有限元计算的目的.

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1673-260X（2014）04-0005-02