尝试 转换 实验 证明 拓展

许雷波

高考数学试卷中选择题、填空题、解答题的最后一题往往是具有较高区分度的题，也是许多老师与学生心目中的难题。这些题目为什么难？一是解题思路较难想到，二是情况很复杂，对学生的思维能力要求较高，三是对学生知识的综合运用能力要求较强。为了攻克难题，在高考中取得好的成绩，一线优秀的教师和学生在备考中花了很多时间进行专门的研究和练习，有了一些很好的想法与经验。在此，笔者把自己求解2013年重庆市高考数学选择题最后一题，即第十题的求解思路与大家分享，以求抛砖引玉。

题：在平面上，AB1⊥AB2，[OB1]=[OB2]=1，[AP]=[AB1]+[AB2]。若

[OP]<[12]，则

[OA]的取值范围是

（A）（0，[52]] （B）（[52]，[72]]

（C）（[52]，[2]] （D）（[72]，[2]]

解：来自文（2）。根据已知条件A、B1、P、B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1、AB2所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系。设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由[OB1]=[OB2]1，得[（x-a）2+y2=1x2+（y-b）2=1]则[（x-a）2=1-y2（y-b）2=1-x2]又由[OP]<[12]，得（x-a）2+（y-b）2<[14]，则1-x2+1-y2<[14]，即x2+y2>[74]，（1）又（x-a）2+y2=1，得x2+y2+a2=1+2ax≤1+a2+x2，则y2≤1；同理由（y-b）2+x2=1，得x2≤1，即有x2+y2≤2（2）由（1）（2）知[74]

在这个解法中，怎样想到以A为原点建立坐标系，怎样想到设|AB1|=a，|AB2|=b……也就是说解题中存着许多学生可能想不到的情况，以这种解法讲给学生听的时候学生可能会听得懂，但自己遇到其他类似情况时可能就不会，形成数学教学中常见的懂而不会现象。如何顺其自然地找到解题思路呢？下面是我的探索过程。

尝试：因为向量的运算具有明显的几何意义，所以看到这个题目以后的第一个想法就是画图。显然，B1，B2在单位圆上，A在以B1B2为直经的圆上，P在以AB1，AB2为相邻两边的矩形的顶点上（由A定P），如图1。因为题中要求的是[OA]取值范围，那么在向量中怎样求模？一种最常用的方法就是求向量的平方。因为[OP]<[12]，|PA|=|B1B2|≤2，所以由[OA]=[OP]+[OA]，得[OA]2=[OP]2+[PA]2+2[OA][OA]cos∠APB1≤[14]+4+2×[12]×2×1=[14]+4+2=[254]，∴[OA]≤[52]。与答案对比，不对，经过分析，原因在于[OP]<[12]。而OP的长度与B1B2的长度是有关系的，当|B1B2|=2时，|OP|=1不符合条件。那么符合条件的点P在哪儿呢？

转换：在刚才尝试中我们是由A定P。可是由于P有约束条件|OP|<[12]。所以由A得到的点P不一定符合条件，但在B1B2固定的情况下，A与P是一一对应的，因此我们可以转而考虑由P定A。由已知条件，P点同时在以O为圆心，[12]为半经的圆内和B1B2为直经的圆上，也就是在弧[MN]上，如图2。

实验：P的位置确定下来了，那么OA的最大值与最小值分别是多少呢？考虑用几何画板软件中的测算功能。先固定B1，B2，让P在[MN]上运动，观察OA值的变化情况。通过实验操作发现：P在M或N点时，OA取到极小值[72]，最大值在O、P、A共线时取得，但不是[2]。接着，固定B1，变动B2的位置，再观察P在上[MN]运动时，|OA|值的变化情况，我们始终发现，P在M、N处取到极小值[72]，而以B1B2为直经的圆过圆心O，且P与O重合时|OA|取到最大值[2]。

证明：刚才是借助几何画板软件这个工具得到答案的，那么这道题具体应如何解答呢？从刚才的实验操作过程我们可以猜想

到满足题意的图是图3

而非图2。为什么呢？这

里关键是对条件

|[OP]|<[12]

的理解，它的等价含义是

0≤

|[OP]|<[12]，只有在图3

中OP的长度才满足这个

条件。知道了这一点，那么此题就很简单了。由图3知，△OPA为Rt△，∠POA=90°，|PA|=|B1B2|=[2]，|OA|2=|PA|2-|OP|2=2-|OP|2。∵0≤|OP|<[12]，∴[72]<|OA|≤[2]。这个解法比文（2）中提供的解法要简单得多。

拓展：刚才我们是针对图3得到了[72]<|OA|≤[2]，如果题目画出来的图是图2，此时|OA|范围是多少呢？自然而然地就把原题进行了拓展：在平面上，[AB1]⊥[AB2]，|[OB1]|=|[OB2]|=1，[AP]=[AB1]+[AB2]若（1）[13]<|[OP]|<[12]（2）r<|[OP]|<[12]，试分别求|[OA]

|的取值范围？

此时实际上是将题目条件|[OP]|<[12]变为[13]<|[OP]|<[12]或r<|[OP]|<[12]。在画出来的图2中，∠POA不是直角，不能用刚才的方法求解。但在△OO1B1中，∠OO1B1=90°，|O1P|=|O1B1|，|OO1|2=|OB1|2-|O1B1|2=1-|O1B1|2=1-|O1P|2。在△OPA中，O1是|PA|的中点，∴2（|OO1|2+|O1P|2）=|OP|2+|OA|2，∴|OP|2+|OA|2=2，|OA|2=2-|OP|2。当[13]<|[OP]|<[12]时，可求得

[72]<|OA|<[133]，当r<|[OP]|

<[12]时可求得[72]<|OA|<

[2-r2]。当然，这时也可建

立如图4所示的坐标系求

解。此时，B1（1，0），设

p（acosφ，asinφ），B2（cosθ，sinθ）则可求得|OP|=a，A（1+cosθ-acosφ，sinθ-asinφ）。由[PB1]·[PB2]=0，cosθ-acosφ-acosθcosφ-asinθsinφ=-a2，|[OA]|2=（1+cosθ-acosφ）2+（sinθ-asinφ）2=a2+2+2cosθ-2acosφ-2acosθcosφ-2asinθsinφ=2-a2，下面做法同上。

在文（2）中指出此题是难题，面对难题我们怎么办？从刚才的探索中我们看到首先应该从常规的思路入手，掌握通性通法（比如向量问题我们经常要利用其运算的几何意义，画出图形，然后数形结合用代数方法解决几何问题），熟记常用的结论（如拓展题解法一中就用到三角形中线长的计算公式），熟练应用信息技术（如运用几何画板软件画出图形，找到最值和思路），善于变通和转化（将向量问题转变成几何问题，几何问题转变成代数问题），象此文标题所说的那样经过尝试、转换、实验、证明、拓展等程序，许多时候能突破难点，起到柳暗花明的效果，从而提高自己的解题能力。

[参 考 文 献]

[1]李柏青.活用信息技术突破数学教学难点[J].中学数学教学参考，2013（11）.

（责任编辑：张华伟）

高考数学试卷中选择题、填空题、解答题的最后一题往往是具有较高区分度的题，也是许多老师与学生心目中的难题。这些题目为什么难？一是解题思路较难想到，二是情况很复杂，对学生的思维能力要求较高，三是对学生知识的综合运用能力要求较强。为了攻克难题，在高考中取得好的成绩，一线优秀的教师和学生在备考中花了很多时间进行专门的研究和练习，有了一些很好的想法与经验。在此，笔者把自己求解2013年重庆市高考数学选择题最后一题，即第十题的求解思路与大家分享，以求抛砖引玉。

题：在平面上，AB1⊥AB2，[OB1]=[OB2]=1，[AP]=[AB1]+[AB2]。若

[OP]<[12]，则

[OA]的取值范围是

（A）（0，[52]] （B）（[52]，[72]]

（C）（[52]，[2]] （D）（[72]，[2]]

解：来自文（2）。根据已知条件A、B1、P、B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1、AB2所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系。设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由[OB1]=[OB2]1，得[（x-a）2+y2=1x2+（y-b）2=1]则[（x-a）2=1-y2（y-b）2=1-x2]又由[OP]<[12]，得（x-a）2+（y-b）2<[14]，则1-x2+1-y2<[14]，即x2+y2>[74]，（1）又（x-a）2+y2=1，得x2+y2+a2=1+2ax≤1+a2+x2，则y2≤1；同理由（y-b）2+x2=1，得x2≤1，即有x2+y2≤2（2）由（1）（2）知[74]

在这个解法中，怎样想到以A为原点建立坐标系，怎样想到设|AB1|=a，|AB2|=b……也就是说解题中存着许多学生可能想不到的情况，以这种解法讲给学生听的时候学生可能会听得懂，但自己遇到其他类似情况时可能就不会，形成数学教学中常见的懂而不会现象。如何顺其自然地找到解题思路呢？下面是我的探索过程。

尝试：因为向量的运算具有明显的几何意义，所以看到这个题目以后的第一个想法就是画图。显然，B1，B2在单位圆上，A在以B1B2为直经的圆上，P在以AB1，AB2为相邻两边的矩形的顶点上（由A定P），如图1。因为题中要求的是[OA]取值范围，那么在向量中怎样求模？一种最常用的方法就是求向量的平方。因为[OP]<[12]，|PA|=|B1B2|≤2，所以由[OA]=[OP]+[OA]，得[OA]2=[OP]2+[PA]2+2[OA][OA]cos∠APB1≤[14]+4+2×[12]×2×1=[14]+4+2=[254]，∴[OA]≤[52]。与答案对比，不对，经过分析，原因在于[OP]<[12]。而OP的长度与B1B2的长度是有关系的，当|B1B2|=2时，|OP|=1不符合条件。那么符合条件的点P在哪儿呢？

转换：在刚才尝试中我们是由A定P。可是由于P有约束条件|OP|<[12]。所以由A得到的点P不一定符合条件，但在B1B2固定的情况下，A与P是一一对应的，因此我们可以转而考虑由P定A。由已知条件，P点同时在以O为圆心，[12]为半经的圆内和B1B2为直经的圆上，也就是在弧[MN]上，如图2。

实验：P的位置确定下来了，那么OA的最大值与最小值分别是多少呢？考虑用几何画板软件中的测算功能。先固定B1，B2，让P在[MN]上运动，观察OA值的变化情况。通过实验操作发现：P在M或N点时，OA取到极小值[72]，最大值在O、P、A共线时取得，但不是[2]。接着，固定B1，变动B2的位置，再观察P在上[MN]运动时，|OA|值的变化情况，我们始终发现，P在M、N处取到极小值[72]，而以B1B2为直经的圆过圆心O，且P与O重合时|OA|取到最大值[2]。

证明：刚才是借助几何画板软件这个工具得到答案的，那么这道题具体应如何解答呢？从刚才的实验操作过程我们可以猜想

到满足题意的图是图3

而非图2。为什么呢？这

里关键是对条件

|[OP]|<[12]

的理解，它的等价含义是

0≤

|[OP]|<[12]，只有在图3

中OP的长度才满足这个

条件。知道了这一点，那么此题就很简单了。由图3知，△OPA为Rt△，∠POA=90°，|PA|=|B1B2|=[2]，|OA|2=|PA|2-|OP|2=2-|OP|2。∵0≤|OP|<[12]，∴[72]<|OA|≤[2]。这个解法比文（2）中提供的解法要简单得多。

拓展：刚才我们是针对图3得到了[72]<|OA|≤[2]，如果题目画出来的图是图2，此时|OA|范围是多少呢？自然而然地就把原题进行了拓展：在平面上，[AB1]⊥[AB2]，|[OB1]|=|[OB2]|=1，[AP]=[AB1]+[AB2]若（1）[13]<|[OP]|<[12]（2）r<|[OP]|<[12]，试分别求|[OA]

|的取值范围？

此时实际上是将题目条件|[OP]|<[12]变为[13]<|[OP]|<[12]或r<|[OP]|<[12]。在画出来的图2中，∠POA不是直角，不能用刚才的方法求解。但在△OO1B1中，∠OO1B1=90°，|O1P|=|O1B1|，|OO1|2=|OB1|2-|O1B1|2=1-|O1B1|2=1-|O1P|2。在△OPA中，O1是|PA|的中点，∴2（|OO1|2+|O1P|2）=|OP|2+|OA|2，∴|OP|2+|OA|2=2，|OA|2=2-|OP|2。当[13]<|[OP]|<[12]时，可求得

[72]<|OA|<[133]，当r<|[OP]|

<[12]时可求得[72]<|OA|<

[2-r2]。当然，这时也可建

立如图4所示的坐标系求

解。此时，B1（1，0），设

p（acosφ，asinφ），B2（cosθ，sinθ）则可求得|OP|=a，A（1+cosθ-acosφ，sinθ-asinφ）。由[PB1]·[PB2]=0，cosθ-acosφ-acosθcosφ-asinθsinφ=-a2，|[OA]|2=（1+cosθ-acosφ）2+（sinθ-asinφ）2=a2+2+2cosθ-2acosφ-2acosθcosφ-2asinθsinφ=2-a2，下面做法同上。

在文（2）中指出此题是难题，面对难题我们怎么办？从刚才的探索中我们看到首先应该从常规的思路入手，掌握通性通法（比如向量问题我们经常要利用其运算的几何意义，画出图形，然后数形结合用代数方法解决几何问题），熟记常用的结论（如拓展题解法一中就用到三角形中线长的计算公式），熟练应用信息技术（如运用几何画板软件画出图形，找到最值和思路），善于变通和转化（将向量问题转变成几何问题，几何问题转变成代数问题），象此文标题所说的那样经过尝试、转换、实验、证明、拓展等程序，许多时候能突破难点，起到柳暗花明的效果，从而提高自己的解题能力。

[参 考 文 献]

[1]李柏青.活用信息技术突破数学教学难点[J].中学数学教学参考，2013（11）.

（责任编辑：张华伟）

高考数学试卷中选择题、填空题、解答题的最后一题往往是具有较高区分度的题，也是许多老师与学生心目中的难题。这些题目为什么难？一是解题思路较难想到，二是情况很复杂，对学生的思维能力要求较高，三是对学生知识的综合运用能力要求较强。为了攻克难题，在高考中取得好的成绩，一线优秀的教师和学生在备考中花了很多时间进行专门的研究和练习，有了一些很好的想法与经验。在此，笔者把自己求解2013年重庆市高考数学选择题最后一题，即第十题的求解思路与大家分享，以求抛砖引玉。

题：在平面上，AB1⊥AB2，[OB1]=[OB2]=1，[AP]=[AB1]+[AB2]。若

[OP]<[12]，则

[OA]的取值范围是

（A）（0，[52]] （B）（[52]，[72]]

（C）（[52]，[2]] （D）（[72]，[2]]

解：来自文（2）。根据已知条件A、B1、P、B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1、AB2所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系。设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由[OB1]=[OB2]1，得[（x-a）2+y2=1x2+（y-b）2=1]则[（x-a）2=1-y2（y-b）2=1-x2]又由[OP]<[12]，得（x-a）2+（y-b）2<[14]，则1-x2+1-y2<[14]，即x2+y2>[74]，（1）又（x-a）2+y2=1，得x2+y2+a2=1+2ax≤1+a2+x2，则y2≤1；同理由（y-b）2+x2=1，得x2≤1，即有x2+y2≤2（2）由（1）（2）知[74]

在这个解法中，怎样想到以A为原点建立坐标系，怎样想到设|AB1|=a，|AB2|=b……也就是说解题中存着许多学生可能想不到的情况，以这种解法讲给学生听的时候学生可能会听得懂，但自己遇到其他类似情况时可能就不会，形成数学教学中常见的懂而不会现象。如何顺其自然地找到解题思路呢？下面是我的探索过程。

尝试：因为向量的运算具有明显的几何意义，所以看到这个题目以后的第一个想法就是画图。显然，B1，B2在单位圆上，A在以B1B2为直经的圆上，P在以AB1，AB2为相邻两边的矩形的顶点上（由A定P），如图1。因为题中要求的是[OA]取值范围，那么在向量中怎样求模？一种最常用的方法就是求向量的平方。因为[OP]<[12]，|PA|=|B1B2|≤2，所以由[OA]=[OP]+[OA]，得[OA]2=[OP]2+[PA]2+2[OA][OA]cos∠APB1≤[14]+4+2×[12]×2×1=[14]+4+2=[254]，∴[OA]≤[52]。与答案对比，不对，经过分析，原因在于[OP]<[12]。而OP的长度与B1B2的长度是有关系的，当|B1B2|=2时，|OP|=1不符合条件。那么符合条件的点P在哪儿呢？

转换：在刚才尝试中我们是由A定P。可是由于P有约束条件|OP|<[12]。所以由A得到的点P不一定符合条件，但在B1B2固定的情况下，A与P是一一对应的，因此我们可以转而考虑由P定A。由已知条件，P点同时在以O为圆心，[12]为半经的圆内和B1B2为直经的圆上，也就是在弧[MN]上，如图2。

实验：P的位置确定下来了，那么OA的最大值与最小值分别是多少呢？考虑用几何画板软件中的测算功能。先固定B1，B2，让P在[MN]上运动，观察OA值的变化情况。通过实验操作发现：P在M或N点时，OA取到极小值[72]，最大值在O、P、A共线时取得，但不是[2]。接着，固定B1，变动B2的位置，再观察P在上[MN]运动时，|OA|值的变化情况，我们始终发现，P在M、N处取到极小值[72]，而以B1B2为直经的圆过圆心O，且P与O重合时|OA|取到最大值[2]。

证明：刚才是借助几何画板软件这个工具得到答案的，那么这道题具体应如何解答呢？从刚才的实验操作过程我们可以猜想

到满足题意的图是图3

而非图2。为什么呢？这

里关键是对条件

|[OP]|<[12]

的理解，它的等价含义是

0≤

|[OP]|<[12]，只有在图3

中OP的长度才满足这个

条件。知道了这一点，那么此题就很简单了。由图3知，△OPA为Rt△，∠POA=90°，|PA|=|B1B2|=[2]，|OA|2=|PA|2-|OP|2=2-|OP|2。∵0≤|OP|<[12]，∴[72]<|OA|≤[2]。这个解法比文（2）中提供的解法要简单得多。

拓展：刚才我们是针对图3得到了[72]<|OA|≤[2]，如果题目画出来的图是图2，此时|OA|范围是多少呢？自然而然地就把原题进行了拓展：在平面上，[AB1]⊥[AB2]，|[OB1]|=|[OB2]|=1，[AP]=[AB1]+[AB2]若（1）[13]<|[OP]|<[12]（2）r<|[OP]|<[12]，试分别求|[OA]

|的取值范围？

此时实际上是将题目条件|[OP]|<[12]变为[13]<|[OP]|<[12]或r<|[OP]|<[12]。在画出来的图2中，∠POA不是直角，不能用刚才的方法求解。但在△OO1B1中，∠OO1B1=90°，|O1P|=|O1B1|，|OO1|2=|OB1|2-|O1B1|2=1-|O1B1|2=1-|O1P|2。在△OPA中，O1是|PA|的中点，∴2（|OO1|2+|O1P|2）=|OP|2+|OA|2，∴|OP|2+|OA|2=2，|OA|2=2-|OP|2。当[13]<|[OP]|<[12]时，可求得

[72]<|OA|<[133]，当r<|[OP]|

<[12]时可求得[72]<|OA|<

[2-r2]。当然，这时也可建

立如图4所示的坐标系求

解。此时，B1（1，0），设

p（acosφ，asinφ），B2（cosθ，sinθ）则可求得|OP|=a，A（1+cosθ-acosφ，sinθ-asinφ）。由[PB1]·[PB2]=0，cosθ-acosφ-acosθcosφ-asinθsinφ=-a2，|[OA]|2=（1+cosθ-acosφ）2+（sinθ-asinφ）2=a2+2+2cosθ-2acosφ-2acosθcosφ-2asinθsinφ=2-a2，下面做法同上。

在文（2）中指出此题是难题，面对难题我们怎么办？从刚才的探索中我们看到首先应该从常规的思路入手，掌握通性通法（比如向量问题我们经常要利用其运算的几何意义，画出图形，然后数形结合用代数方法解决几何问题），熟记常用的结论（如拓展题解法一中就用到三角形中线长的计算公式），熟练应用信息技术（如运用几何画板软件画出图形，找到最值和思路），善于变通和转化（将向量问题转变成几何问题，几何问题转变成代数问题），象此文标题所说的那样经过尝试、转换、实验、证明、拓展等程序，许多时候能突破难点，起到柳暗花明的效果，从而提高自己的解题能力。

[参 考 文 献]

[1]李柏青.活用信息技术突破数学教学难点[J].中学数学教学参考，2013（11）.

（责任编辑：张华伟）