抽象函数常见题型解法

文/王新荣

不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即为抽象函数。一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如，y=f（x），（x>0，y>0）。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所以在各地高考试题中不断出现；学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就这类问题的解法归类如下：

题型一：求抽象函数的定义域

例1.已知函数f（x－1）的定义域为［0，3］，求f［log■（3-x）的定义域。

解析：自变量x的取值范围即为函数的定义域，因此函数f（x－1）中x－1∈［－1，2］，所以log■（3-x）∈［－1，2］，所求定义域为［1，■］

一般情况下，函数y=f（x）定义域为［a，b］，则函数y=f（g（x））的定义域为不等式a≤g（x）≤b的解集；函数y=f（g（x））的定义域［a，b］，则函数y=f（x）定义域为g（x）（x∈［a，b］）的值域。

题型二：求抽象函数值

例2.已知函数f（x）满足：当x＞4时，f（x）=（■）x，当x＜4时，f（x）=f（x+1），求f（2+log23）的值。

解析：首先判断2+log23∈［3，4］，再根据当x＜4时，f（x）=f（x+1）得f（2+log23）=f（3+log23），所以f（2+log23）=（■）■=■。

题型三：求抽象函数的解析式

例３．已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）＋g（x）=■，求f（x）和g（x）。

解析：用－x代换x得：f（－x）＋g（－x）=■，由于已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以－f（x）＋g（x）=■，与已知条件解方程组即可得f（x）和g（x）解析式．

题型四：判断或证明抽象函数的奇偶性

例４．已知函数f（x）（x∈R，x≠0）对任意不等于0的实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），试判断函数f（x）的奇偶性。

解析：此类题型多采用赋值法，先令x1=x2=0，求得f（0）=0，再令x1=-x2可判断函数f（x）为奇函数。

抽象函数满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），则抽象函数为正比例函数y=kx的形式。

题型五：抽象函数的轴对称和中心对称

例５．函数f（x）在定义域内可导，若f（x）=f（2－x），且当x∈（-∞，1）时，（x－1）f ′（x）<0，则f（0），f（3），f（■）的大小为 。

解析：由f（x）=f（2－x）知f（x）关于直线x=1对称，由（x－1）

f ′（x）<0知当x∈（－∞，1）时f（x）为增函数，则f（3）＜f（0）＜f（■）

若函数y=f（x）关于直线x=a对称，则有f（a＋x）=f（a－x），f（x）=

f（2a－x）成立，反之也成立。

例６．函数f（x）=（x+a）3，对任意x有f（2＋x）=－f（2－x），求f（－3）+f（3）的值。

解析：由f（2+x）=－f（2－x）知f（x）关于点（2，0）对称，函数f（x）=（x+a）3可看作是函数f（x）=x3向左平移a个单位而得到的，所以a=－2，结果为－124

若函数y=f（x）关于点（a，0）对称，则有f（a+x）=－f（a－x），f（x）=－f（2a－x）成立，反之也成立。

题型六：抽象函数的周期性

例７．设f（x）是Ｒ上的奇函数，f（x）=－f（2＋x），当x∈［０，１］时f（x）=x，则f（7.5）= 。

解析：由f（x）=－f（2+x）知f（x）的周期为４，所以f（7.5）＝f（－０.5）＝－f（0.5）＝－０.5

若函数f（x）满足f（x）=f（x+a），则周期Ｔ＝a；若函数f（x）满足f（x）=－f（x+a），则周期Ｔ＝２a；若函数f（x）满足f（x）=■，则周期Ｔ＝２a；若函数f（x）满足f（x）=－■，则周期Ｔ＝２a。

例８．若已知y=f（x）（x∈Ｒ）的图象关于两条直线x=a和x=b（a

简证：由于函数图象关于两条直线x=a和x=b（a

函数f（x）关于点（a，0），（b，0）都对称，则f（x）的周期为２（b－a）；函数f（x）关于直线x=a和点（b，0）都对称，则f（x）的周期为４（b－a）。

题型七：抽象函数的单调性

例９．已知函数f（x）（x∈R，x≠0）对任意不等于0的实数x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且x>1时有f（x）>0，f（2）=1，求证：f（x）在（０，＋∞）上是增函数.

解析：设x1＞x2＞０，f（x1）－f（x2）＝f（x2■）－f（x2）＝f（x2）＋f（■）－f（x2）＝f（■），∵■＞１∴f（x1）－f（x2）＝f（■）＞０，∴f（x）在（０，＋∞）上是增函数

抽象函数满足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），则抽象函数为对数函数y=logax的形式。

例10．已知函数f（x）（x∈R）有f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），且f（x）为单调增函数，f（■）=2，解不等式f（x）f（x－3）≥４

解析：由f（x1＋x2）=f（x1）f（x2）和f（■）=２得f（１）=４，∴f（x＋x－3）≥f（1），解集为［２，＋∞）

抽象函数满足f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），则抽象函数为指数函数y=ax的形式。

抽象函数形式：

幂函数：f（xy）=f（x）f（y）

正比例函数：f（x+y）=f（x）+f（y）

对数函数：f（x）+f（y）=f（xy）

三角函数：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y） f（x）=cosx

指数函数：f（x+y）=f（x）f（y）

周期为n的周期函数：f（x）=f（x+n）

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不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即为抽象函数。一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如，y=f（x），（x>0，y>0）。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所以在各地高考试题中不断出现；学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就这类问题的解法归类如下：

题型一：求抽象函数的定义域

例1.已知函数f（x－1）的定义域为［0，3］，求f［log■（3-x）的定义域。

解析：自变量x的取值范围即为函数的定义域，因此函数f（x－1）中x－1∈［－1，2］，所以log■（3-x）∈［－1，2］，所求定义域为［1，■］

一般情况下，函数y=f（x）定义域为［a，b］，则函数y=f（g（x））的定义域为不等式a≤g（x）≤b的解集；函数y=f（g（x））的定义域［a，b］，则函数y=f（x）定义域为g（x）（x∈［a，b］）的值域。

题型二：求抽象函数值

例2.已知函数f（x）满足：当x＞4时，f（x）=（■）x，当x＜4时，f（x）=f（x+1），求f（2+log23）的值。

解析：首先判断2+log23∈［3，4］，再根据当x＜4时，f（x）=f（x+1）得f（2+log23）=f（3+log23），所以f（2+log23）=（■）■=■。

题型三：求抽象函数的解析式

例３．已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）＋g（x）=■，求f（x）和g（x）。

解析：用－x代换x得：f（－x）＋g（－x）=■，由于已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以－f（x）＋g（x）=■，与已知条件解方程组即可得f（x）和g（x）解析式．

题型四：判断或证明抽象函数的奇偶性

例４．已知函数f（x）（x∈R，x≠0）对任意不等于0的实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），试判断函数f（x）的奇偶性。

解析：此类题型多采用赋值法，先令x1=x2=0，求得f（0）=0，再令x1=-x2可判断函数f（x）为奇函数。

抽象函数满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），则抽象函数为正比例函数y=kx的形式。

题型五：抽象函数的轴对称和中心对称

例５．函数f（x）在定义域内可导，若f（x）=f（2－x），且当x∈（-∞，1）时，（x－1）f ′（x）<0，则f（0），f（3），f（■）的大小为 。

解析：由f（x）=f（2－x）知f（x）关于直线x=1对称，由（x－1）

f ′（x）<0知当x∈（－∞，1）时f（x）为增函数，则f（3）＜f（0）＜f（■）

若函数y=f（x）关于直线x=a对称，则有f（a＋x）=f（a－x），f（x）=

f（2a－x）成立，反之也成立。

例６．函数f（x）=（x+a）3，对任意x有f（2＋x）=－f（2－x），求f（－3）+f（3）的值。

解析：由f（2+x）=－f（2－x）知f（x）关于点（2，0）对称，函数f（x）=（x+a）3可看作是函数f（x）=x3向左平移a个单位而得到的，所以a=－2，结果为－124

若函数y=f（x）关于点（a，0）对称，则有f（a+x）=－f（a－x），f（x）=－f（2a－x）成立，反之也成立。

题型六：抽象函数的周期性

例７．设f（x）是Ｒ上的奇函数，f（x）=－f（2＋x），当x∈［０，１］时f（x）=x，则f（7.5）= 。

解析：由f（x）=－f（2+x）知f（x）的周期为４，所以f（7.5）＝f（－０.5）＝－f（0.5）＝－０.5

若函数f（x）满足f（x）=f（x+a），则周期Ｔ＝a；若函数f（x）满足f（x）=－f（x+a），则周期Ｔ＝２a；若函数f（x）满足f（x）=■，则周期Ｔ＝２a；若函数f（x）满足f（x）=－■，则周期Ｔ＝２a。

例８．若已知y=f（x）（x∈Ｒ）的图象关于两条直线x=a和x=b（a

简证：由于函数图象关于两条直线x=a和x=b（a

函数f（x）关于点（a，0），（b，0）都对称，则f（x）的周期为２（b－a）；函数f（x）关于直线x=a和点（b，0）都对称，则f（x）的周期为４（b－a）。

题型七：抽象函数的单调性

例９．已知函数f（x）（x∈R，x≠0）对任意不等于0的实数x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且x>1时有f（x）>0，f（2）=1，求证：f（x）在（０，＋∞）上是增函数.

解析：设x1＞x2＞０，f（x1）－f（x2）＝f（x2■）－f（x2）＝f（x2）＋f（■）－f（x2）＝f（■），∵■＞１∴f（x1）－f（x2）＝f（■）＞０，∴f（x）在（０，＋∞）上是增函数

抽象函数满足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），则抽象函数为对数函数y=logax的形式。

例10．已知函数f（x）（x∈R）有f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），且f（x）为单调增函数，f（■）=2，解不等式f（x）f（x－3）≥４

解析：由f（x1＋x2）=f（x1）f（x2）和f（■）=２得f（１）=４，∴f（x＋x－3）≥f（1），解集为［２，＋∞）

抽象函数满足f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），则抽象函数为指数函数y=ax的形式。

抽象函数形式：

幂函数：f（xy）=f（x）f（y）

正比例函数：f（x+y）=f（x）+f（y）

对数函数：f（x）+f（y）=f（xy）

三角函数：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y） f（x）=cosx

指数函数：f（x+y）=f（x）f（y）

周期为n的周期函数：f（x）=f（x+n）

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不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即为抽象函数。一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如，y=f（x），（x>0，y>0）。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所以在各地高考试题中不断出现；学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就这类问题的解法归类如下：

题型一：求抽象函数的定义域

例1.已知函数f（x－1）的定义域为［0，3］，求f［log■（3-x）的定义域。

解析：自变量x的取值范围即为函数的定义域，因此函数f（x－1）中x－1∈［－1，2］，所以log■（3-x）∈［－1，2］，所求定义域为［1，■］

一般情况下，函数y=f（x）定义域为［a，b］，则函数y=f（g（x））的定义域为不等式a≤g（x）≤b的解集；函数y=f（g（x））的定义域［a，b］，则函数y=f（x）定义域为g（x）（x∈［a，b］）的值域。

题型二：求抽象函数值

例2.已知函数f（x）满足：当x＞4时，f（x）=（■）x，当x＜4时，f（x）=f（x+1），求f（2+log23）的值。

解析：首先判断2+log23∈［3，4］，再根据当x＜4时，f（x）=f（x+1）得f（2+log23）=f（3+log23），所以f（2+log23）=（■）■=■。

题型三：求抽象函数的解析式

例３．已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）＋g（x）=■，求f（x）和g（x）。

解析：用－x代换x得：f（－x）＋g（－x）=■，由于已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以－f（x）＋g（x）=■，与已知条件解方程组即可得f（x）和g（x）解析式．

题型四：判断或证明抽象函数的奇偶性

例４．已知函数f（x）（x∈R，x≠0）对任意不等于0的实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），试判断函数f（x）的奇偶性。

解析：此类题型多采用赋值法，先令x1=x2=0，求得f（0）=0，再令x1=-x2可判断函数f（x）为奇函数。

抽象函数满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），则抽象函数为正比例函数y=kx的形式。

题型五：抽象函数的轴对称和中心对称

例５．函数f（x）在定义域内可导，若f（x）=f（2－x），且当x∈（-∞，1）时，（x－1）f ′（x）<0，则f（0），f（3），f（■）的大小为 。

解析：由f（x）=f（2－x）知f（x）关于直线x=1对称，由（x－1）

f ′（x）<0知当x∈（－∞，1）时f（x）为增函数，则f（3）＜f（0）＜f（■）

若函数y=f（x）关于直线x=a对称，则有f（a＋x）=f（a－x），f（x）=

f（2a－x）成立，反之也成立。

例６．函数f（x）=（x+a）3，对任意x有f（2＋x）=－f（2－x），求f（－3）+f（3）的值。

解析：由f（2+x）=－f（2－x）知f（x）关于点（2，0）对称，函数f（x）=（x+a）3可看作是函数f（x）=x3向左平移a个单位而得到的，所以a=－2，结果为－124

若函数y=f（x）关于点（a，0）对称，则有f（a+x）=－f（a－x），f（x）=－f（2a－x）成立，反之也成立。

题型六：抽象函数的周期性

例７．设f（x）是Ｒ上的奇函数，f（x）=－f（2＋x），当x∈［０，１］时f（x）=x，则f（7.5）= 。

解析：由f（x）=－f（2+x）知f（x）的周期为４，所以f（7.5）＝f（－０.5）＝－f（0.5）＝－０.5

若函数f（x）满足f（x）=f（x+a），则周期Ｔ＝a；若函数f（x）满足f（x）=－f（x+a），则周期Ｔ＝２a；若函数f（x）满足f（x）=■，则周期Ｔ＝２a；若函数f（x）满足f（x）=－■，则周期Ｔ＝２a。

例８．若已知y=f（x）（x∈Ｒ）的图象关于两条直线x=a和x=b（a

简证：由于函数图象关于两条直线x=a和x=b（a

函数f（x）关于点（a，0），（b，0）都对称，则f（x）的周期为２（b－a）；函数f（x）关于直线x=a和点（b，0）都对称，则f（x）的周期为４（b－a）。

题型七：抽象函数的单调性

例９．已知函数f（x）（x∈R，x≠0）对任意不等于0的实数x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且x>1时有f（x）>0，f（2）=1，求证：f（x）在（０，＋∞）上是增函数.

解析：设x1＞x2＞０，f（x1）－f（x2）＝f（x2■）－f（x2）＝f（x2）＋f（■）－f（x2）＝f（■），∵■＞１∴f（x1）－f（x2）＝f（■）＞０，∴f（x）在（０，＋∞）上是增函数

抽象函数满足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），则抽象函数为对数函数y=logax的形式。

例10．已知函数f（x）（x∈R）有f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），且f（x）为单调增函数，f（■）=2，解不等式f（x）f（x－3）≥４

解析：由f（x1＋x2）=f（x1）f（x2）和f（■）=２得f（１）=４，∴f（x＋x－3）≥f（1），解集为［２，＋∞）

抽象函数满足f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），则抽象函数为指数函数y=ax的形式。

抽象函数形式：

幂函数：f（xy）=f（x）f（y）

正比例函数：f（x+y）=f（x）+f（y）

对数函数：f（x）+f（y）=f（xy）

三角函数：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y） f（x）=cosx

指数函数：f（x+y）=f（x）f（y）

周期为n的周期函数：f（x）=f（x+n）

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