看不见的杯底硬币——一个令人感兴趣的光学探究资源

刘剑锋 徐书辉

（1.赣南师范学院物电学院，江西 赣州 341000；2.赣州中学，江西 赣州 341000）

这是一个让学生很感兴趣的探究资源，材料随手可得，现象奇特，初想简单，细思却难，具有浓厚的探究意味，是一个不可多得的探究资源，现介绍给各位同仁.

1 现象描述

实验所需材料很简单，如果在实验室可用透明烧杯，在家里探究则可用一个平底透明玻璃杯或一次性透明塑料杯，另外还需要一枚硬币或一片硬币大小的有色纸片（有颜色更便于观察，所以笔者采用有色纸片）.

现象1：先将硬币放在桌面上，然后把杯子放在硬币上，硬币不必一定要在杯子底部的正中心，只要在杯子底部即可.这时无论从何处观察，均能看到杯底的硬币.但如果往杯子里倒满水，奇迹就发生了.这时只能从杯口往里看才能看到杯底的硬币（图1），从杯子侧面看则根本看不到硬币，硬币似乎凭空消失了（图2）.

现象2：如果把硬币在水里沾湿，然后再重做前述实验，结果又能从侧面看到硬币了.

现象3：表面看现象2似乎与不倒水时看到的现象一样，但其实并不相同.前面说过，如果是空杯子，则无论从哪儿都能看到硬币，但现在如果裁剪一条适当宽度的纸片把杯子的下部围一圈，就会发现从侧面又看不到硬币.

图1

图2

2 现象解释

为研究方便，我们要建立一个物理模型.因为硬币无论放在杯底哪个地方硬币都是整体消失或整体出现，说明作为一个整体所遵循的规律应该是一样的，所以我们可以将硬币看成一个点，或者说我们可以从硬币上选取一个点A进行研究.由于杯子壁不算厚，且与水的折射率相差不是很大，为研究方便，忽略杯子折射率与水不同的影响（其实即使考虑其影响，结论也还是一样）.

图3

图4

笔者认为原因主要有两个.首先，从前述分析可以看出，在图3中只有i2角为42°到48°之间的角度时，光线才能从侧壁射出，所以能出射的光线并不多；况且入射角越接近全反射临界角则反射光线会越来越强，折射光线会越来越弱.其次，从我们眼睛对面射入水中的光线会有一部分在玻璃杯底部发生全反射，造成反射光过亮.这样，反射光遮蔽了底部硬币的图像和文字发出的折射光线，所以人眼就感觉不到底下硬币的存在（类似于强光刺眼，看不清东西）.其实如果仔细从杯口上方观看，我们很容易发现由于侧壁全反射形成的像（图4），这也可以间接说明从侧壁折射出去的光线并不多.为检验笔者的猜想，笔者将硬币换成颜色更鲜艳的红色纸片，并用台灯在杯子正上方直射纸片来增强纸片的漫反射光线（当然也可以想办法减弱从对面射入的光线，如对着暗的地方），相比较而言，此时杯底的全反射光线就显得没那么强了，结果笔者果然在侧面上方观察到了杯底的纸片.

此外，从笔者亲身经历来看，还有一个因素值得考虑，那就是人眼从侧壁可观察到硬币的范围相对较窄，从图3可以看出视线几乎要在杯子斜上方才能看到硬币的像，但我们从侧面观察时往往离开杯子一段距离来观看，因此，硬币射出的光线并不能进入我们的眼睛，这也是造成从侧面看不到硬币的原因.另外，由于很多实验者是用白色硬币做实验，更增加了观察的难度.

那么为什么硬币沾了水后就又能从侧面很容易地看到硬币呢？

其实，如果硬币沾湿后就和杯底粘在了一起，硬币与杯底之间充满了水，因此硬币与杯底之间就再也没有空气层了，这时硬币就相当于在杯子里面一样，从A点发出的光线可以认为没有经过杯底的那一次折射，而是直接射向杯子侧壁（图5）.显然，这时的射向侧壁光线的入射角要分两种情况考虑，当这个入射角i2小于48°时，光线主要是从杯子侧壁折射出去，当这个入射角i2大于等于48°时，光线就不能从杯子侧壁折射出去.与前面硬币没有被沾湿不同的是，此时能从侧壁射出光线的角度范围不再是42°到48°，而是从0°到48°，所以从侧壁射出的光线足够强，自然就能看到硬币了.但由于人眼无法精确判断，所以感觉在侧面从各处都能看到硬币.这时，如果我们用一个纸圈挡住杯子下部，也就是挡住能发生折射的那部分侧壁，则由于上部分的光线全部发生了全反射，所以我们也就无法再从侧面看到硬币了，这就是现象3呈现出来的现象.

一般的杯子是口大底小，也就是说侧面不是垂直杯底的，而是向外倾斜，这会不会影响实验现象呢？其实杯子侧壁向外倾斜后，对于图中的折射角r1没有影响，r1仍小于48°；只不过现在图3中的r1＋i2＞90°了.因此，能有折射光线射出侧壁的入射角i2的范围还将进一步变小，自然更加无法在侧壁看到硬币了.

图5

3 学生探究时遇到的困难

当教师呈现现象之后，学生一般都能猜想到可能与光的折射与全反射有关.但在要学生深入探究下去时，学生往往存在以下几个问题.一是无法抽象出物理模型，因而根本无法继续下去；二是能抽象出物理模型，但不知道忽略杯子的影响，从而造成物理模型过于复杂，给后面的讨论造成很大的困难.但不管怎样，绝大多数学生都无法给出正确解释，一般他们解释就是画图5的光路；这是因为他们根本没有想到硬币虽然挨着杯子，但由于硬币的不平整，事实上硬币与杯底之间仍存在空隙，所以必须考虑硬币与杯底之间空气的影响.可见懂得忽略什么，又不能忽略什么是非常重要的事情，这其实也需要通过不断地学习才能了解和掌握.而本探究资源恰好为培养学生模型建立的能力提供了很好的素材.此外，在建立了正确的模型，得出了正确的光路后，如何解释仍不能从侧面看到硬币也还需要学生深入思考并充分调动平时的生活经验.

4 教学建议

根据笔者的教学经验.在让学生探究时，可以先向学生呈现现象1，在提出猜想的过程中，通过交流讨论，学生往往会给出类似图5所示的想法.这时，教师可提供现象2这个“脚手架”给学生（这是教师引导探究的关键一步），通过对比，引发学生进一步的思考和讨论，并在实验检验的基础上得出正确结论.在此基础上，如果有时间，也可以让学生进一步讨论如果杯子壁是倾斜的或如果考虑杯子玻璃折射率不同会不会对我们的讨论有影响.

1 孙晓明.玻璃杯中的有趣光学现象［J］.物理教学探讨，2003（11）：46－47.

2 苏明义.为什么看不到水杯下的硬币了［J］.物理教学探讨，2013（3）：1－2.