利用斜率巧解疑难问题例析

杨 杰

（江苏省新海高级中学，江苏 连云港 222006）

图像能形象地表达物理规律、直观地描述物理过程，能化难为易，化繁为简，是分析物理问题的有效手段之一，也是学生容易出错的疑难问题，自然是高考命题的热点内容.从近几年高考情况来看，图像在高考中出现的频率很高，且常以选择题中的压轴题出现，重点考查学生利用图像灵活解决物理问题的能力.其实，利用图像法解决问题，思路是很清晰的，过程也很简捷.只要能够准确把握图像中两坐标轴对应的物理量之间的关系，并巧妙借助于斜率，很多疑难问题便可迎刃而解.下面笔者就以近年来江苏高考题和高三复习中的难题为例，分析斜率在解决疑难问题中的重要作用.

例1.（2014年江苏高考第5题）一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止.下列速度v和位移x的关系图像中，能描述该过程的是

图1

图2

解析：设汽车O→A做初速度为0、末速度为vm、加速度大小为a1的匀加速运动，A→B做初速度为vm、末速度为0、加速度大小为a2的匀减速运动，如图2所示.

O→A：x增加，斜率减小.

A→B：同理，v2－vm2＝－2a2（x－x0），

A→B：x增加，斜率增大.

从图像来看，符合要求的只有（A）图，故正确选项为（A）.

小结：本题为2014年江苏高考单选题的最后一题，难度较大.虽然情境非常熟悉，但问题与平时大有不同.考查的不是常见的v-t、x-t图像，而是v-x图像，部分学生可能思路不清，无从下手，但如果熟练掌握解决图像问题的基本思路，从斜率入手，问题就会迎刃而解.

例2.（2012年江苏高考第4题）将一只皮球竖直向上抛出，皮球运动时受到空气阻力的大小与速度的大小成正比.下列描绘皮球在上升过程中加速度大小a与时间t关系的图像，可能正确的是

图3

图4

解析：对向上抛出的皮球进行受力分析，如图4所示.

空气阻力的大小与速度的大小成正比，即f＝kv.

皮球向上做减速运动，v减小，a减小，所以a-t图像的斜率也减小.

当速度减为0时，加速度a＝g≠0，图像的斜率也不为0.

所以，正确答案为（C）选项.

小结：本题是2012年江苏高考单选题中较难的一题，学生很容易判断加速度是随时间减小的，但4个图中加速度都是随时间减小，因此无法作出判断.这时就需要借助于图像的斜率来判断加速度变化的快慢，问题的解决自然是柳暗花明.

例3.如图5所示，物块a放在轻弹簧上，物块b放在物块a上静止不动.当用力F使物块b竖直向上做匀加速直线运动，在下面所给的4个图像中.能反映物块b脱离物块a前的过程中力F随时间t变化规律的是

图5

图6

图7

解析：物块b放在物块a上静止不动时，弹簧形变量为x0，弹力kx0＝（ma＋mb）g.任取t时刻，整体向上运动位移为x，则弹簧形变量Δx＝x0－x.对整体受力分析，如图7所示，根据牛顿第二定律，可得

整体匀加速向上运动，v增大，则F-t图像的斜率增大.

正确答案为（D）选项.

小结：本题是高三复习中常见的图像问题，其中（B）选项，t＝0时，F≠0，很容易排除.剩余的选项，关键看斜率.而要准确判断斜率的变化，首先必须找到F-t的关系，就必须对整体进行准确的受力分析，进而根据牛顿定律得出关系式，这也要求学生具备扎实的基本功.

例4.如图8甲所示，在升降机顶部安装了一个能够显示拉力的传感器，传感器下方挂一轻质弹簧，弹簧下端挂一质量为m的小球，若升降机在匀速运行过程中突然停止，以此时为0时刻，在后面一段时间内传感器所显示的弹力F的大小随时间t变化的图像如图8乙所示，g为重力加速度，则下列选项正确的是

图8

（A）升降机停止前在向上运动.

（B）0～t1时间小球处于失重状态，t1～t2时间小球处于超重状态.

（C）t1～t3时间小球向下运动，动能先减小后增大.

（D）t3～t4时间弹簧弹性势能的减少量大于小球动能的增加量.

图9

解析：对图8甲中的小球进行受力分析，如图9所示.匀速运行时，小球处于O位置，F＝kx0＝mg.t＝0时，升降机突然停止，小球做减速运动.0→t1时间内：F＜mg，a向下，说明小球O→A向上减速，处于失重状态.即升降机停止前是匀速向上运动的.选项（A）正确.

由图像可知，t1时刻，小球到达A位置（原长）时，vA＝0.

t1→t2时间内：F＜mg，a向下，小球A→O向下加速，处于失重状态，选项（B）错误.

t2→t3时间内：F＞mg，a向上，小球O→B向下减速，处于超重状态，且vB＝0.

所以，t1～t3时间小球向下运动，动能先增大后减小，选项（C）错误.

t3→t4时间内：F＞mg，a向上，B→O向上加速，处于超重状态，且t4时刻速度最大.根据能量守恒定律，弹簧弹性势能的减少量等于小球动能和重力势能的增加量，即弹簧弹性势能的减少量大于小球动能的增加量，选项（D）正确.

所以正确答案为选项（A）、（D）.

小结：本题是高三复习中学生常碰到的一道易错题，难点在于对运动过程的准确判断，尤其是速度大小、方向的判断.不少学生常会主观臆断，认为t1时刻，F＝0，速度应该最大，而后继续向上运动，以致造成判断错误，而借助于斜率就能够更加准确有效地把握运动过程.