钻井过程中钻柱的横—扭耦合振动分析

王鸿雁，肖文生,2，刘忠砚，侯超，崔俊国，付雷

（1.中国石油大学(华东)机电工程学院，山东青岛，266580；2.中国石油勘探开发研究院，北京100083；3.北京石油化工工程有限公司西安分公司,西安710000）

钻井过程中钻柱的横—扭耦合振动分析

王鸿雁1，肖文生1,2，刘忠砚1，侯超1，崔俊国1，付雷3

（1.中国石油大学(华东)机电工程学院，山东青岛，266580；2.中国石油勘探开发研究院，北京100083；3.北京石油化工工程有限公司西安分公司,西安710000）

钻井过程中，钻柱的横-扭耦合振动是钻井作业工程中无法避免的一种运动形态，也是产生钻柱故障和系统噪声的原因之一。针对实际钻井过程中，钻柱在井下的受力情况复杂，提出采用了一种简化假设方法，对局部坐标系中空间钻柱单元与间隙元进行分析，推导出钻柱横—扭耦合振动的动力学矩阵和钻井过程中钻柱的横—扭耦合振动规律，从而取得了钻井过程中钻柱的横—扭耦合振动特性，对于钻井过程中振动和噪声的控制与故障排除也提供了有价值的参考。

振动与波；钻柱；横扭耦合振动

振动问题是钻井过程中的一种重要的危害和噪声来源。为了提高钻井的可靠性和安全性，降低钻井的工作噪声，对钻井过程中钻柱的振动问题进行研究是有必要的。

钻柱横扭耦合振动是引起钻井故障的原因之一，横扭耦合振动的加剧会造成钻杆断裂、钻杆磨损严重、噪声过大等问题，这些都会影响钻进的动力性和安全性。对钻进过程中钻柱横扭耦合振动的研究具有重要的意义。

1 基本假设

在垂直井中，假设钻进前，钻柱轴线与井眼轴线重合，并且没有初始变形；在钻进过程中，由于钻柱很长且柔性较好，在载荷作用下一般不会产生塑性变形，因此可以认为材料是线弹性的。在狭长的井眼中，钻柱的变形受井壁的限制，产生了钻柱与井壁之间的接触问题，接触点的位置是未知的，并且在接触点处，钻柱与井壁之间存在摩擦力，于是，形成了接触摩擦非线性问题。所以，垂直井眼中钻柱的受力和变形问题，是几何非线性与接触摩擦非线性互相耦合的问题，称之为二重非线性问题。

焦永树等人[1]通过研究已经证实，在钻井工程中，铅垂井段钻柱的屈曲主要取决于钻柱的浮重，而扭矩对钻柱屈曲的影响可以忽略不计。因此为了便于分析钻柱的横扭耦合振动，作了如下一些简化和假设：

（1）钻柱为均质弹性直杆；

（2）钻进前钻柱中心线与井眼中心线重合，钻进开始后钻柱中心线偏离井眼中心线；

（3）钻柱的几何尺寸、材料属性分段为常数，不考虑钻柱连接处和局部孔、槽的刚度；

（4）井眼横断面分段保持圆形刚性截面，不考虑井壁上附着物的弹性变形，如岩石、泥饼等；

（5）钻进过程中，钻柱单元可能发生微小变形，未考虑大变形的影响；

（6）钻柱与井壁可能发生接触碰撞，这样接触碰撞具有多向性和任意性，一旦发生接触碰撞，井壁将产生对钻柱的接触碰撞反力；

（7）钻头的横向振动分解为水平面上的Y、Z两个分量。

2 局部坐标系中空间钻柱单元与间隙元分析[2]

任取一空间钻柱单元，如图1所示。其钻柱单元为直杆，左节点为i，右节点为j；局部坐标系o xyz是以i点为原点，i j连线为x轴，另外两个坐标轴取在梁单元横截面的二个惯性轴上。梁单元的每个节点具有5个自由度，其中2个线位移分量，3个角位移分量；与之相对应的节点力向量也为5个，具体为：

局部坐标系下的单元节点位移向量

2.1 单元位移函数和应变

根据材料力学知识，若外加载荷作用在节点上，取钻柱单元i j在坐标平面o xy和o xz内的挠度函数为x的三次函数式精确的；而单元的扭转角显然是x的一次函数。于是，对于具有10个自由度的空间梁单元的位移函数为

利用10个节点位移分量，可唯一的确定出上式中的α1-α10未知量，由形函数表达的单元位移函数模式为

其中

钻柱单元的应变可由几何方程得到

式中[B]为钻柱单元应变矩阵，其显示为

2.2 单元刚度矩阵与质量矩阵

钻柱单元的弹性矩阵[D]为

图1 空间钻柱单元的节点位移与节点力

局部坐标系下空间钻柱单元e的刚度矩阵为

式中

质量矩阵为

阻尼矩阵为

其中

[CDi]e=α[Mi]e+β[Ki]e，α、β为比例系数，通过实验或者仿真来试求。

2.3 间隙元单元刚度矩阵

间隙元法是解决井下钻柱随机多向接触非线性力学问题的一种有效方法。动力间隙元特性[3]描述如下：

形状特性：动力间隙元是一种内边界与钻柱外表面重合、外边界与井壁重合的环形虚拟二维单元，它具有抗压刚度，但没有质量和阻尼，几何形状为一圆环，见图2(a)。

图2 动力间隙元

物理特性：当钻柱未与井壁产生接触碰撞时，动力间隙元的抗压刚度趋于零，但不影响钻柱的运动，见图2(b)，一旦钻柱与井壁发生接触碰撞，由于动力间隙元具有一定的弹性模量，能阻抗钻柱侵入井壁运动，其抗压刚度不仅能模拟井壁弹性变形、影响钻柱的运动，还能根据冲量定理修改钻柱的速度和加速度，描述出钻柱与井壁的碰撞接触过程见2(c)。此时，动力间隙元会发生压缩变形，将储存一定的变形能，该变形能可描述钻柱与井壁接触碰撞的能量损失。

位于任一钻柱单元结点i处的动力间隙元位移可表示为

式中vi和wi分别为钻柱单元i结点的y向和z向位移，{δ}e为梁单元i结点的位移列阵(含两个线位移和三个转角)， A为转换矩阵。i动力间隙元在任一方向n的初始间隙为

式中d1为钻柱外径，D为井眼初始直径。当钻柱发生变形后，间隙元将在井眼圆周n方向上产生的位移为

其相对压缩量为

当εGi≥1时，钻柱与井壁将产生接触，当0≤εGi＜1时，钻柱与井壁将不产生接触。间隙元的抗压刚度EFK与法向应变εn的关系见图3，图中Const为钻柱的抗压刚度。

图3 间隙元刚度与应变图

当钻柱未与井壁产生碰撞时，动力间隙元的速度和加速度应符合运动学规律

式中vT和vn分别为切向和法向速度，aT和an分别为切向和法向加速度，θ˙和θ¨分别为钻柱旋转角速度和角加速度，fG为间隙元的中心位移。

当钻柱与井壁产生碰撞接触时，间隙元必然有法向碰撞反力RGn，同时伴随着附加力和力矩

式中RGt和RGA分别为切向和轴向摩擦阻力；μ1为摩擦因数，与间隙元切向速度有关，当钻柱做纯滚动或纯滑动时为滚动或滑动摩擦因数，否则取滚动和滑动摩擦因数的加权平均值；μ2为滑动摩擦因数；MGt和MGA分别为摩擦阻力引起的转矩和弯矩。间隙元的接触方位角为

其中系数k由vi和wi正负号决定。由上式可见θGi在0°～360°之间变化，能描述出管柱在井眼圆周方向上的随机多向接触问题。

这些附加力将构成间隙元的等效结点力

式中RGty和RGtz分别为切向摩擦阻力RGt在y向和z向的分量，MGAy和MGAz分别为摩擦阻力引起的弯矩MGA在y向和z向的分量。考虑到钻柱与井壁碰撞接触时的能量损失，其动力间隙元的速度和钻柱旋转角速度应符合冲量定理

式中mi为钻柱第i个节点的相邻两个单元的质量的平均值；Rn、Rt分别为钻柱第i个接点的内力。

多向间隙元的平衡方程：

由弹性力学原理可得任一间隙元i的弹性势能为

为了使间隙元与梁单元能有机地拼装起来进行管柱受力分析，需将DGi和BGi用零扩充成与梁单元节点位移维数相同的矩阵，即矩阵[DGi]和[BGi]为5×5阶方阵。此时间隙元的势能为

式中{δi}e为钻柱第i个节点的广义位移向量；[DGi]为间隙元的弹性矩阵；{εi}和[Bi]分别为间隙元的应变向量和应变矩阵。其中[BGi]和[DGi]分别为

对上式变分，可得到间隙元的平衡方程式

将上述单元矩阵用零扩充成与钻柱单元节点位移维数相同的矩阵，即

其中

所以考虑钻柱与井壁接触的钻柱单元刚度矩阵为

3 钻柱横扭耦合振动动力学矩阵方程

3.1 坐标变换

设整体坐标系下单元节点位移为

节点位移、钻柱刚度矩阵和质量矩阵在整体坐标系与局部坐标系下的转换关系为

其中[ T]为转换矩阵，可写成下列形式

3.2 钻柱横扭耦合振动动力学矩阵方程

组集后的动力学矩阵方程表示为3底部边界条件[3―8]

为便于计算,可以将所有横向力都分解在Y、Z方向，计算式为

3.

式中F∗lijk(t)钻头在t时刻所受到的横向力；αijk(t)在t时刻第i牙轮，第j齿圈上第k颗触底齿的刮切方向；J N(i)为第i牙轮上齿圈总数；Kc(i,j)为第i牙轮，第j齿圈上触底齿的颗数。

三牙轮钻头在钻井过程中除受到横向力作用外，还受到岩石的阻力产生的阻力矩，该阻力矩与钻柱作用在钻头上的扭矩平衡。设t时刻钻头上第i牙轮，第j齿圈上第k颗触底齿齿顶中心坐标为x(k)，y (k)，z(k)，则牙轮钻头与岩石相互作用的扭转相互作用力计算式为

式中lyijk(t)、lzijk(t)分别为钻头触底齿与在钻头坐标系中与y轴和z轴之间的距离；F*lyijk(t)、F*lzijk(t)为钻头在t时刻所受到的横向力在y和z方向上的分量。

4 应用实例

以我国南海的某钻井数据为例，对钻柱的横扭耦合振动进行模拟分析。

钻具组合：φ215.9 mm三牙轮钻头×0.25 m+ LF1φ214×1.69 m+φ159×71.4钻铤×25.37 m+LF2φ 214×1.6 m+φ159×71.4钻铤×8.92 m+LF3φ214×1.56 m+φ159×71.4钻铤×17.79 m+LF4φ214×1.58 m+φ 159×71.4钻铤×105.77 m+φ159接头×0.5 m+φ127加重钻杆×108.58 m+φ127普通钻杆至井口。

钻井参数：井深2 500～3 000 m，平均钻压180kN，钻压幅值15.0 kN，转盘转速60.0 r/m in，水深1 000 m。

提取钻柱的横向和扭转耦合自由度，获得了钻柱横向与扭转振动的频率分布规律，如图4所示。对这种耦合振动在频率为0.7 Hz的振动进行模拟分析，获得的振动过程中钻柱上各节点的振动情况，节点位移最大的部位在钻柱底部的节点，如图5所示，在这种振动状态下，钻柱底部节点的振动幅度比较大，容易失效。

图4 横向与扭转耦合振动频率

图5 横扭耦合振动时各节点位移分布

5 结语

(1)考虑到钻进过程中，铅垂井段钻柱的屈曲主要取决于钻柱的浮重，而扭矩对钻柱屈曲的影响可以略去不计，对模型进行了有益假设，更加便于进行理论分析；

(2)基于以上简化，应用边界层理论和有限元理论研究钻进时钻柱的横扭耦合振动，建立了钻进时钻柱非线性耦合振动的物理模型；

(3)应用有限元法将整体钻柱离散为有限个钻柱单元，以钻柱单元的非线性变形分析为基础，推导出了钻进时钻柱振动的刚度矩阵和质量矩阵，建立了钻进时钻柱的横扭耦合振动的动力学方程；

(4)为便于计算，将钻柱底部受力进行分解，最后得出钻杆单元刚度矩阵方程底部边界条件；

(5)通过对深水钻井钻柱的横扭耦合振动的分析及模拟，获得了钻柱系统的横扭耦合振动的基本规律。钻柱横扭耦合振动规律的研究，有利于钻柱振动的理论及分析方法的完善。

[1]焦永树，严宗达，蔡宗熙.扭矩对铅垂井段钻柱静立分岔的影响[J].工程力学，1998，增刊：261-265.

[2]刘巨保，张学鸿.石油设备有限元分析[M].北京：石油工业出版社，1996.68-70.

[3]祝效华，刘清友，童华.牙轮钻头动力学特性仿真研究[J].石油学报，2004，25(4)：96-100.

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Analysis of Lateral-and-torsional Coupled Vibration of Drill String During Drilling Process

WANG Hong-yan1,XIAO Wen-sheng1,2,LIU Zhong-yan1, HOU Chao1,CUI Jun-guo1,FU Lei3

(1.College of Mechanical and Electrical Engineering,China University of Petroleum, Qingdao 266580,Shandong China; 2.Research Institute of Petroleum Exploration and Development,Beijing 100083,China; 3.Beijing Petrochem ical Engineering Co.Ltd.,Xi`an,710000,China)

Coupled lateral-and-torsional vibration of drill string is inevitable during drilling process.It can cause the drill-string faults and system noise.Because the force system applied to the drill string is very complex in the drilling process,a simplified method is provided.The spatial drill-stem element and gap element are analyzed in local-coordinate system.The dynamical matrices of the coupled lateral-and-torsional vibration of the drill string are developed.Some correlation rules are obtained and the basic characteristic of the coupled lateral-and-torsional vibration of the drill string during drilling is revealed.

vibration and wave;drill string;lateral-and-torsional coupled vibration

TB52

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.01.015

1006-1355(2014)01-0061-06

2013-03-22

山东省自然科学基金资助项目（Y2008F48）；国家高技术研究发展计划(863计划)(2012AA090303)；山东省自主创新专项项目（2012CX80101）

王鸿雁（1980-），女，山东东营人，在读博士，目前主要从事海洋钻机方面的研究。

E-mail:wanghy0546@163.com