虚拟力计算方法的实验分析

卢丁丁，何琳，徐荣武

（1.海军工程大学振动与噪声研究所，武汉430033；2.船舶振动噪声重点实验室，武汉430033）

虚拟力计算方法的实验分析

卢丁丁1,2，何琳1,2，徐荣武1,2

（1.海军工程大学振动与噪声研究所，武汉430033；2.船舶振动噪声重点实验室，武汉430033）

在船舶振动传递路径分析和结构响应监测的研究中，往往需要实时了解设备的激励力特性。由于已安装在船体中设备及安装结构的复杂性，实时测量方法的实施变得非常困难。在结构响应和设备激励力存在固有联系的基础上，可以利用与真实激励力等效的虚拟力，重构出与设备运行时一致的结构响应。为解决虚拟力求解过程中存在的导纳矩阵病态问题，在前人虚拟力模型的基础上引入分部优化正则化方法。通过船舶水泵验证实验结果可以看出，经过正则化处理后的虚拟力能够有效降低结构响应的重构误差。

振动与波；虚拟力；分部优化正则化；病态问题；实验

机械设备噪声是船舶噪声的主要噪声源之一，由此带来的振动传递路径分析以及结构响应预报和监测的问题一直以来都是该领域的重要关注点。在以上两个问题中，很多情况下需要实时了解已安装设备振动的源特性，或者设备激励力特性。但由于已安装设备自身及安装结构较为复杂，通过测量的方法实时获取设备激励力特性变得非常困难。

为解决设备激励源特性的评估问题，Janssens和Verheij提出了[1―5]间接求解设备激励特性的方法，并给出了虚拟力的概念：假设一组施加于机械设备结构上的力，若这组力所产生的结构响应与设备运行时相同，那么这组力就可以等效为设备真实激励力，由于这组力并不是真实存在的，所以称之为虚拟力。虚拟力的求解过程是响应求激励的逆问题，在很多工程应用中都有所涉及。在Verheij提出的虚拟力计算模型的基础上，文中结合分部优化正则化法解决虚拟力求解过程中的病态矩阵问题，减小由于测量误差和导纳矩阵病态所导致的虚拟力计算误差。本文以安装在船舶上的水泵为模型，对文中的计算模型进行了结构响应重构精度的实验验证。

1 虚拟力计算及正则化方法

1.1 虚拟力的计算

目前还不能通过虚拟力的计算结果解释设备真实激励的机理，它的主要作用在于能够同真实激励产生同样的结构响应，从而为结构或声场响应计算提供能够代替真实激励力的输入。虚拟力求解是结合结构响应和导纳矩阵的逆向求解过程，其中导纳矩阵可以通过在虚拟力点处施加力锤激励，在结构响应点处测量加速度并计算获得的。虚拟力点一般选取在结构表面或连接结构上易于施加力锤激励且刚性较大的位置。结构响应点一般选取在设备机脚处、管路等传递结构上，且要求结构响应点数量大于虚拟力点数量。

导纳矩阵可通过力锤敲击实验的方法测量，导纳矩阵可表示为

其中{a}为结构响应点加速度，{F}为力锤激励力。

假设有n个结构响应点和m个虚拟力点，且n≥m，则n×m维导纳矩阵[ A]可作奇异值分解1虚拟力的计算

其中m个特征值存在顺序关系s1≥s2≥…≥sm.。当[A]的秩数为r时，[ S]矩阵的后m-r个奇异值为0。为了求解虚拟力，需求解导纳矩阵[ A]的逆矩阵，即阻抗矩阵

其中，[S]+同样为正实数组成的m×m维对角矩阵，对角元素为[S]中为0的对角元素在[S]+中仍保持为0，[ S]中奇异值的倒数，但[ S]+可表示为

由此[A]+矩阵元素可表示为如下形式

在阻抗矩阵[ A]+计算完毕后，以结构响应点的加速度实时测量值{a}运行作为输入值，计算实时虚拟力

1.2 分部优化正则化方法

当某频段处的结构响应由一个或几个主要模态振型占支配地位时，导纳矩阵的列向量存在较大的线性相关性[7]，此时[ A]为奇异、不满秩的，在按公式（2）进行奇异值分解后将出现零奇异值。在实际应用中，由于测量误差的存在以及[ A]的列向量没有绝对线性相关，奇异值不会等于零，而是非常接近于零的值。这些较小的奇异值将在求逆时通过倒数运算变为很大的数值，将此后计算中的测量误差放大，就会影响计算精度。所以在求解[ A]+时需要进行正则化方法处理矩阵的病态问题，常用的方法有截断奇异值法[7]和Tikhonov正则法[8]。有学者在声全息技术中提出了将两种方法相结合的分部优化正则法[9]，此方法既能够抑制高空间频率测量误差被放大的影响，又不至于完全失去高空间频率的振动信息，同时不会对低空间频率准确信息产生影响。本文将分部优化正则法引入同样存在病态矩阵问题的虚拟力求解中，以期解决虚拟力计算的精度问题。

在分部优化正则化法中，首先利用截断奇异值法结合如下经验公式选取奇异值截断点

SNR为导纳矩阵测量中每个频点对应的信噪比。对于截断奇异值K以后的奇异值采用Tikhonov正则法进行修正，修正参数λ可直接选取为截断点之前的奇异值sk。最终分部优化正则法的解为

2 实验验证

2.1 实验方法及测点布置

为验证文中方法的计算精度，本文以在船舶中安装的水泵为对象，开展激励力评估和结构响应重构的实验。试验中水泵通过隔振器弹性安装在船体的侧壁上，水泵高约1 m。在水泵机脚和机身处布置7个单向加速度计，测点布置方案如图1所示。

实验测试设备包括加速度传感器、力锤、力传感器和B&K采集设备。实验过程中，首先在设备关闭的状态下，在图1所示的5个箭头所指点及所指方向上依次施加力锤激励，同时记录力锤激励力和响应点加速度。经过信号质量的筛选后，利用公式（1）计算出7×5维加速度导纳矩阵A，利用公式（6）计算阻抗矩阵A+，并利用公式（7）和（8）对阻抗矩阵进行正则化处理。

为了验证计算的虚拟力能否与真实激励力等效，可通过公式（9）计算虚拟力所产生的加速度响应，并与水泵开启状态下所测量的加速度响应作比较。

图1 水泵的测点布置

本次实验分析频率设定为100～800 Hz，实验利用1—7#响应点加速度求取虚拟力，以重构出1—7#响应点的加速度并与测量值相比较。不失一般地给出1—4#测点响应重构对比结果如图2—图5所示。

图2 1#测点1/3倍频程幅值谱重构对比图

图3 2#测点1/3倍频程幅值谱重构对比图

利用下式可对1/3倍频程加速度幅值谱重构误差进行量化评估

其中ai和分别为第i个中心频率处的测量值和重构值，K为倍频程段的个数，文中1/3倍频程中心频率为100～800 Hz， K=10，1/3倍频程加速度幅值谱重构误差结果如表1所示。

由图2—5及表1中可以看出，不进行正则化时的结构振动响应重构值普遍比真实值大，这是由于测量误差在导纳矩阵病态的情况下被放大所造成的。除了2#和5#测点在部分频段出现偏差外，经过分部优化正则化处理后的虚拟力可以在各测点的全频段内减小重构误差，有效地消除了虚拟力计算中的病态矩阵求逆的误差问题。经过分部优化正则化后，结构响应场的倍频程平均误差降低了约2 dB。

图4 3#测点1/3倍频程幅值谱重构对比图

图5 4#测点1/3倍频程幅值谱重构对比图

表1 不同测点1/3倍频程幅值谱的重构误差

3 结语

在传统的设备虚拟力估算方法基础上，为解决导纳矩阵的病态问题，引入了声全息领域应用的分部优化正则化法。通过船舶水泵验证试验可以看出，结合分部优化正则化法计算出的虚拟力，可以更准确地重构出设备的结构响应，误差比未进行正则化的结果平均低约2 dB，从而为结构响应及传递路径分析提供更加准确的输入参数。

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ExperimentalAnalysis of Virtual-force Computation Method

LU Ding-ding1,2,HE Lin1,2,XU Rong-wu1,2

(1.Institute of Noise&Vibration,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China；2.National Key Laboratory on Ship Vibration&Noise,Wuhan 430033,China)

In the analysis of ship vibration-transfer path and monitoring of structure response,the characteristics of equipment’s excitation-force are always necessary.Due to the inherent complexity of the equipment and its infrastructure, the real-time measurement becomes very difficult.On the basis of the inherent relation between structural response and exciting force,the real exciting forces can be replaced by virtual-forces,which can exactly reproduce the structural response caused by the equipment operation.In this paper a regularization technique based on partial optimization is introduced into the virtual-force model to solve the ill-condition problem of the adm ittance matrix in the process for solution.An experiment is carried out on a pump of the ship.The results show that the errors of the structural response reconstruction with the partial regularization method are effectively reduced.

vibration and wave;virtual-force;partial optim ization regularization;ill-condition problem;experiment

TB52

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.01.004

1006-1355(2014)01-0016-03

2013-01-31

国家自然科学基金（51209214）；国防科技重点实验室基金（SYSZC2012006）

卢丁丁（1986-），男，河南濮阳人，工学博士，研究方向为振动与噪声控制。

E-mail:lddhgd@163.com