借助几何直观教学积累数学活动经验
2014-07-23王卫东潘淑芬
王卫东+潘淑芬
数学活动经验是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的核心概念之一。重庆师范大学仲秀英教授认为，数学活动经验可以理解为学生从经历的数学活动过程中对活动的感受、体验、感悟以及由此获得的数学知识、技能、情感与观念等组成的有机组合性经验。其实，就经验本身而言，它就是一种“感受、体验、感悟”，具有较强的内隐性，所以在教学过程中，教师有时难以把握、调控与评价。为此，教师有必要借助几何直观教学，使内隐的数学活动经验得以外显，进而再根据这些外显的“证据”，对数学活动经验进行具化、调控与提升，从而实现数学活动经验的有效积累。
一、 借助几何直观“具化”数学活动经验
数学学习离不开直观形象思维，而对于积累数学活动经验的过程来说更是如此。借助几何直观教学，我们可以把复杂的数学问题变得简明、形象，与此同时，也可以将学生在学习过程中的感受、体验与感悟变得更具体、更直观。在数与形、图与形的沟通与联系中，那些看似虚无飘渺的数学活动经验慢慢地变得看得见、摸得着了。
教学片段：在教学《倍数和因数》时，教师开展了这样的教学活动：
师：你能找出12的因数吗？请在数轴上表示出来。
师生交流，在数轴上标出12的因数。
师：同学们，仔细观察数轴。看到这些因数，你想到了什么？
学生讨论后交流：
生1：我发现12最小的因数是1，最大的因数是12，也就是它本身。
生2：为了做到不重复不遗漏，我们可以成双成对地找出12的因数，比如说1、12；2、6；3、4。
生3：老师，我发现成双成对地找因数时，每组的两个因数越来越接近。
师：同学们，你们认为呢？
……
生4：老师，我有一个问题：是不是所有的数，它的因数个数都是双数个呢？
师：你的想法很有价值，那到底对不对呢？
生5：我们不妨再举些例子来试一试。
……
很难想象，一个数的因数能与几何直观图产生什么样的化学反应，然而，在上述教学环节中，教师却巧妙地借助数轴这个形象直观的载体，将学生的数学活动经验进行了定格与凝结。通过数轴上点与点之间的关系描述，教师简单而有效地捕获到了学生思维成长轨迹：因数中的最大数与最小数的特点、因数的分布特征、寻找因数的方法、因数个数的规律探究……更为重要的是，借助几何直观的“具化”作用，学生在思维的激烈碰撞过程中，从模糊到明晰、从简单到复杂、从模仿到内化，他们慢慢地积累了发现问题的经验、思考问题的经验以及解决问题的经验。
二、 借助几何直观调控数学活动经验
积累基本数学活动经验的过程也是数学活动经验的内涵之一。一般来说，积累基本数学经验的过程大致需要经过经历、内化、概括、迁移的过程。在这样的过程中，我们需要借助几何直观来发挥教师的主导作用，适时对积累数学活动经验的过程加以调控。
教学片段：在教学《解决问题的策略——转化》时，教师开展了这样的教学活动：
师：你会计算■+■+■+■吗？
生：■+■+■+■=■+■+■+■=■
师：很好，用的是通分的方法，这也是一种转化的策略。那么还有没有其他解决的方法呢？
（学生思考）
师：我们一起来观察下面这幅图（图1），它与算式之间有什么联系？
（学生讨论）
师：现在计算■+■+■+■，你有好的解决方法吗？
生：我认为可以这样计算：1-■=■，因为阴影面积=总面积-空白面积。
师：观察上面的几种解决问题的方法，你认为哪些转化策略的运用更为巧妙？为什么？
生：我认为是刚才的这幅图运用得很巧妙！有了它，我们可以把加法算式转化成了减法算式。
生：把算式用图形来表示出来，很直观，很好理解。
师：既然借助图形来解决问题有这么好，那它是不是灵丹妙药，什么时候都能运用呢？
（学生思考、讨论）
生：我认为将算式转化为图形时，也有一定的局限性。大家看，这里阴影部分的面积之间都有着2倍的关系，也就是说，■是 ■的2倍， ■是■的2倍……
（学生们点头表示赞同）
师：那是不是相邻的加数是2倍关系的时候，我们都可以借助这样的图去思考呢？
生：可以，比如说■+■+■+■+■（学生边说边画图），就可以转化为1-■=■。
生：我还可以举个例子：■+■+■+■+■+……■。
师：大家的想法很精彩。看到下面的图（图2），你又有什么想法呢？
（图2） （图3）
生：这里的加法虽然不是从■开始加起的，但这里的加数仍然有着两倍的关系，我认为可以这样来转化：1-■-■=■。
师：想得太好了！对于这样的图（图3），你又有什么新想法呢？
生：老师，我发现这样的转化方法还能用在整数的加法上，只要这里的加数存在着两倍的关系。
生：我想这里的转化策略不仅适用于整数、分数的计算，小数也可以！
在上面的教学片断中，教师借助几何直观开展了3次教学调控：在第一次调控中，教师引导学生将算式■+■+■+■与图1相联系，使学生认识到了这类分数算式中加数的特点，积累了数形结合的思考经验，感悟了“转化策略也有局限”的探究经验；在第二次调控中，教师借助图2，对■+■+■+■进行了变式与拓展，帮助学生积累了分析比较、灵活运用的经验；在第三次调控中，教师再次借助直观图（图3）引导学生将数学活动经验进行正向迁移，帮助他们积累猜想验证、归纳推理的经验。
从图1、图2到图3，在教师的适时调控之下，学生经历了不同层次的经验积累，从知识经验到技能经验、再到数学思想方法的经验，他们在质疑与反思中完成了自我内化与自我建构。endprint
三、 借助几何直观提升数学活动经验
学生需要掌握什么样的数学活动经验？是知识的经验、技能的经验，还是关于数学思想方法的经验？毫无疑问，这些数学活动经验我们都需要，数学教学离不开知识，在知识的学习过程中可以培养学生的能力，感悟数学的思想方法。然而，多年以后，知识可能会遗漏，技能可能会生疏，数学的思想方法也可能会淡忘，既然如此，那么什么样的数学活动经验才是学生受用一生的经验呢？
教学片段：在教学《乘法分配律》时，教师开展了这样的教学活动：
师：同学之间相互说说什么是乘法分配律。（学生互相交流）
师：大家已经知道了乘法分配律，那你还能用更简单的方法表示出来吗？（提示：可以用汉字、图形、字母或者你喜欢的方式来表示。）
学生尝试用不同的方法表示：
生1：（我+爱）×学=我×学+爱×学；
生2：（△+□）×○=△×○+□×○；
生3：（a+b）×c=a×c +b×c。
师：比较一下，哪种方法最好？为什么？
生4：第三种方法好，因为用字母来表示这个规律很简洁。
……
出示：
师：你能用两种不同的方法表示出这个图形的面积吗？
生1：（a+b）×c（教师板书）
生2：a×c +b×c（教师板书）
联系这个图和算式，你想到了什么？
生3：（a+b）×c =a×c +b×c
生4：这就是乘法分配律。
师：对！其实这幅图中就蕴涵了乘法分配律，而乘法分配律也可以用这幅图来表示。大家看，同样是乘法分配律，从不同的角度来审视，却有着不一样的精彩。其实，在生活中也是如此，我们要学会从不同的角度来分析问题、解决问题，只有这样，我们的认识才会更全面，思考才会更有价值！
在上面的教学中，为了阐述乘法分配律，教师设计了三个教学阶段：先用语言描述规律，然后用汉字、图形、字母符号来表示规律，最后用求长方形面积的图形来表示规律。其中，教师巧妙地借助几何直观将乘法分配律与图形进行了有机结合，实现了乘法分配律表达层次由低级到高级、表达形式由单一到多元的经验积累。与此同时，教师还引导学生从知识的文本中跳出来，引领他们用数学的眼光来观察世界、认识世界——“我们要学会从不同的角度来分析问题、解决问题，只有这样，我们的认识才会更全面，思考才会更有价值！”
数学是一种智慧。成尚荣认为：数学教育要“为智慧的生长而教”。因此，数学活动经验的提升不能禁锢于知识与技能的经验，也不能止步于思想与方法的经验，我们理应给予学生造就智慧人生的经验。在上述的三个教学阶段中，教师引导学生跳出了数学知识的文本经验，跨过了数学思想方法的经验，感悟了人生智慧的经验。从知识走进方法，从思想走近智慧，借助几何直观，数学活动经验的积累由此得到了质的提升与飞跃。
【责任编辑：陈国庆】endprint
三、 借助几何直观提升数学活动经验
学生需要掌握什么样的数学活动经验？是知识的经验、技能的经验，还是关于数学思想方法的经验？毫无疑问，这些数学活动经验我们都需要，数学教学离不开知识，在知识的学习过程中可以培养学生的能力，感悟数学的思想方法。然而，多年以后，知识可能会遗漏，技能可能会生疏，数学的思想方法也可能会淡忘，既然如此，那么什么样的数学活动经验才是学生受用一生的经验呢？
教学片段：在教学《乘法分配律》时，教师开展了这样的教学活动：
师：同学之间相互说说什么是乘法分配律。（学生互相交流）
师：大家已经知道了乘法分配律，那你还能用更简单的方法表示出来吗？（提示：可以用汉字、图形、字母或者你喜欢的方式来表示。）
学生尝试用不同的方法表示：
生1：（我+爱）×学=我×学+爱×学；
生2：（△+□）×○=△×○+□×○；
生3：（a+b）×c=a×c +b×c。
师：比较一下，哪种方法最好？为什么？
生4：第三种方法好，因为用字母来表示这个规律很简洁。
……
出示：
师：你能用两种不同的方法表示出这个图形的面积吗？
生1：（a+b）×c（教师板书）
生2：a×c +b×c（教师板书）
联系这个图和算式，你想到了什么？
生3：（a+b）×c =a×c +b×c
生4：这就是乘法分配律。
师：对！其实这幅图中就蕴涵了乘法分配律，而乘法分配律也可以用这幅图来表示。大家看，同样是乘法分配律，从不同的角度来审视，却有着不一样的精彩。其实，在生活中也是如此，我们要学会从不同的角度来分析问题、解决问题，只有这样，我们的认识才会更全面，思考才会更有价值！
在上面的教学中，为了阐述乘法分配律，教师设计了三个教学阶段：先用语言描述规律，然后用汉字、图形、字母符号来表示规律，最后用求长方形面积的图形来表示规律。其中，教师巧妙地借助几何直观将乘法分配律与图形进行了有机结合，实现了乘法分配律表达层次由低级到高级、表达形式由单一到多元的经验积累。与此同时，教师还引导学生从知识的文本中跳出来，引领他们用数学的眼光来观察世界、认识世界——“我们要学会从不同的角度来分析问题、解决问题，只有这样，我们的认识才会更全面，思考才会更有价值！”
数学是一种智慧。成尚荣认为：数学教育要“为智慧的生长而教”。因此，数学活动经验的提升不能禁锢于知识与技能的经验，也不能止步于思想与方法的经验，我们理应给予学生造就智慧人生的经验。在上述的三个教学阶段中，教师引导学生跳出了数学知识的文本经验，跨过了数学思想方法的经验，感悟了人生智慧的经验。从知识走进方法，从思想走近智慧，借助几何直观，数学活动经验的积累由此得到了质的提升与飞跃。
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三、 借助几何直观提升数学活动经验
学生需要掌握什么样的数学活动经验？是知识的经验、技能的经验，还是关于数学思想方法的经验？毫无疑问，这些数学活动经验我们都需要，数学教学离不开知识，在知识的学习过程中可以培养学生的能力，感悟数学的思想方法。然而，多年以后，知识可能会遗漏，技能可能会生疏，数学的思想方法也可能会淡忘，既然如此，那么什么样的数学活动经验才是学生受用一生的经验呢？
教学片段：在教学《乘法分配律》时，教师开展了这样的教学活动：
师：同学之间相互说说什么是乘法分配律。（学生互相交流）
师：大家已经知道了乘法分配律，那你还能用更简单的方法表示出来吗？（提示：可以用汉字、图形、字母或者你喜欢的方式来表示。）
学生尝试用不同的方法表示：
生1：（我+爱）×学=我×学+爱×学；
生2：（△+□）×○=△×○+□×○；
生3：（a+b）×c=a×c +b×c。
师：比较一下，哪种方法最好？为什么？
生4：第三种方法好，因为用字母来表示这个规律很简洁。
……
出示：
师：你能用两种不同的方法表示出这个图形的面积吗？
生1：（a+b）×c（教师板书）
生2：a×c +b×c（教师板书）
联系这个图和算式，你想到了什么？
生3：（a+b）×c =a×c +b×c
生4：这就是乘法分配律。
师：对！其实这幅图中就蕴涵了乘法分配律，而乘法分配律也可以用这幅图来表示。大家看，同样是乘法分配律，从不同的角度来审视，却有着不一样的精彩。其实，在生活中也是如此，我们要学会从不同的角度来分析问题、解决问题，只有这样，我们的认识才会更全面，思考才会更有价值！
在上面的教学中，为了阐述乘法分配律，教师设计了三个教学阶段：先用语言描述规律，然后用汉字、图形、字母符号来表示规律，最后用求长方形面积的图形来表示规律。其中，教师巧妙地借助几何直观将乘法分配律与图形进行了有机结合，实现了乘法分配律表达层次由低级到高级、表达形式由单一到多元的经验积累。与此同时，教师还引导学生从知识的文本中跳出来，引领他们用数学的眼光来观察世界、认识世界——“我们要学会从不同的角度来分析问题、解决问题，只有这样，我们的认识才会更全面，思考才会更有价值！”
数学是一种智慧。成尚荣认为：数学教育要“为智慧的生长而教”。因此，数学活动经验的提升不能禁锢于知识与技能的经验，也不能止步于思想与方法的经验，我们理应给予学生造就智慧人生的经验。在上述的三个教学阶段中，教师引导学生跳出了数学知识的文本经验，跨过了数学思想方法的经验，感悟了人生智慧的经验。从知识走进方法，从思想走近智慧，借助几何直观，数学活动经验的积累由此得到了质的提升与飞跃。
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