一道高考题解法的再探究

王佩成+徐雪琴

2013年高考数学重庆卷（理科）第10题为：

在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2，若|OP|<12，则|OA|的取值范围是（）.

A.(0,52］B.(52,72］C.(52,2］D.(72,2］

某刊对该题给出了如下解析和答案：

由题意B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心半径为12圆内.又

AB1⊥AB2,AP

=AB1+AB2

，所以点A在以B1B2为直径的圆上.当P与O点重合时，|OA|最大，为2，当P在半径为12的圆周上时，|OA|最小，为72，故选D.

这种答案简洁.按其思路，笔者对这种方法进行了再探索，如下:

解法一（特殊值法）

图（1）当O与P重合且B1、B2分别是单位圆与x轴、y轴的交点时，|OA|=2，排除A、B;图（2）当P在O∶x2+y2=14上时，不妨取直线y=x与O∶x2+y2=14在第三象限内的交点为P，过

点P分别作x轴、y轴的垂线，交单位圆于B1、B2两点，交x轴、y轴于C、D两点，则△PDO为等腰直角三角形.由OP=12知OC=OD=24，故AE=B1C=OB21-OC2=144.同理OE=144.所以|OA|=72.由于点P在以O为圆心，以22为半径的圆的内部（不包括圆周），排除C，故选D.

在考场上，高效灵活的解题方法值得赞赏. 在平时教学中， 笔者认为更应该关注通性通法，下面介绍两种解决此类问题的一般方法.

解法二（向量法）

因为AB1⊥AB2,所以(OB1-OA)·(OB2-OA)=0,

整理可得OB1·OB2-OA·(OB1+OB2)=-OA2.①

因为AP=AB1+AB2,所以OP-OA=OB1-OA+OB2-OA,即OP=OB1+OB2-OA.

|OP|=(OB1+OB2-OA)2

=OB12+OB22+OA2-2OA·(OB1+OB2)+2OB1·OB2.

将①式代入上式化简得：|OP|=2-OA2，因为0≤|OP|<12， 所以0≤2-|OA|2<14,故72<|OA|≤2.

解法三（坐标法)

建系如图(3).

因为AB1⊥AB2，AP=AB1+AB2，所以四边形AB1PB2为矩形， 所以PB1⊥PB2.

设B1(cosθ1,sinθ1)，B2(cosθ2,sinθ2),P(x,y)(P在圆O∶x2+y2=14内）.

PB1=(cosθ1-x,sinθ1-y),PB2=(cosθ2-x,sinθ2-y),

故PB1·PB2=(cosθ1-x)(cosθ2-x)+(sinθ1-y)(sinθ2-y)=0，

化简得:cosθ1cosθ2-(cosθ1+cosθ2)x+sinθ1sinθ2-(sinθ1+sinθ2)y=-x2-y2.②

又PA=PB1+PB2=(cosθ1+cosθ2-x,sinθ1+sinθ2-2y),

OA=OP+PA=(cosθ1+cosθ2-x,sinθ1+sinθ2-y),

|OA|=(cosθ1+cosθ2-x)2+(sinθ1+sinθ2-y)2,

将②式代入上式化简得：

|OA|=2-(x2+y2).因为

|OP|<12,

即0≤x2+y2<14,所以-14<-x2-y2≤0,

所以74<2-x2-y2≤2,所以72<|OA|≤2.

简评解法一采用了特殊值法的思想，有风险但求解效率较高; 解法二是运用纯向量的方法，求解思路清晰；解法三中的坐标法，由于A点在动，引起其他点动，不好确定，笔者采用了先确定P点，从而将运动的量固定，转化为可以用点的坐标去运算的量，问题迎刃而解.

一堂课结束以后，还需要有深入的分析和归纳：哪些数学概念适合用旧有的知识引入，哪些概念更适合用实例引入，教学中有哪些成功之处，又有哪些需要改进的不足？尤其应该重视学优生与学困生之间的差距.

因为，任何理论的实践都不可能是一帆风顺的，理论服务于实践，也完善于实践，只有不断的探索，才能够让概念课教学在高中数学的课堂上充分发挥出自己的优势.

综上所述，对于高中数学来说，概念课教学从理论走向实践的探索过程，无疑具有划时代的意义.它能够从根本上改变“生搬硬套”的学习模式，从更为本质的角度出发，变“轻概念、重解题”为“重概念、巧解题”，真正做到以学生为本、以“渔”为重，减轻学生负担、提高学习效率.

2013年高考数学重庆卷（理科）第10题为：

在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2，若|OP|<12，则|OA|的取值范围是（）.

A.(0,52］B.(52,72］C.(52,2］D.(72,2］

某刊对该题给出了如下解析和答案：

由题意B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心半径为12圆内.又

AB1⊥AB2,AP

=AB1+AB2

，所以点A在以B1B2为直径的圆上.当P与O点重合时，|OA|最大，为2，当P在半径为12的圆周上时，|OA|最小，为72，故选D.

这种答案简洁.按其思路，笔者对这种方法进行了再探索，如下:

解法一（特殊值法）

图（1）当O与P重合且B1、B2分别是单位圆与x轴、y轴的交点时，|OA|=2，排除A、B;图（2）当P在O∶x2+y2=14上时，不妨取直线y=x与O∶x2+y2=14在第三象限内的交点为P，过

点P分别作x轴、y轴的垂线，交单位圆于B1、B2两点，交x轴、y轴于C、D两点，则△PDO为等腰直角三角形.由OP=12知OC=OD=24，故AE=B1C=OB21-OC2=144.同理OE=144.所以|OA|=72.由于点P在以O为圆心，以22为半径的圆的内部（不包括圆周），排除C，故选D.

在考场上，高效灵活的解题方法值得赞赏. 在平时教学中， 笔者认为更应该关注通性通法，下面介绍两种解决此类问题的一般方法.

解法二（向量法）

因为AB1⊥AB2,所以(OB1-OA)·(OB2-OA)=0,

整理可得OB1·OB2-OA·(OB1+OB2)=-OA2.①

因为AP=AB1+AB2,所以OP-OA=OB1-OA+OB2-OA,即OP=OB1+OB2-OA.

|OP|=(OB1+OB2-OA)2

=OB12+OB22+OA2-2OA·(OB1+OB2)+2OB1·OB2.

将①式代入上式化简得：|OP|=2-OA2，因为0≤|OP|<12， 所以0≤2-|OA|2<14,故72<|OA|≤2.

解法三（坐标法)

建系如图(3).

因为AB1⊥AB2，AP=AB1+AB2，所以四边形AB1PB2为矩形， 所以PB1⊥PB2.

设B1(cosθ1,sinθ1)，B2(cosθ2,sinθ2),P(x,y)(P在圆O∶x2+y2=14内）.

PB1=(cosθ1-x,sinθ1-y),PB2=(cosθ2-x,sinθ2-y),

故PB1·PB2=(cosθ1-x)(cosθ2-x)+(sinθ1-y)(sinθ2-y)=0，

化简得:cosθ1cosθ2-(cosθ1+cosθ2)x+sinθ1sinθ2-(sinθ1+sinθ2)y=-x2-y2.②

又PA=PB1+PB2=(cosθ1+cosθ2-x,sinθ1+sinθ2-2y),

OA=OP+PA=(cosθ1+cosθ2-x,sinθ1+sinθ2-y),

|OA|=(cosθ1+cosθ2-x)2+(sinθ1+sinθ2-y)2,

将②式代入上式化简得：

|OA|=2-(x2+y2).因为

|OP|<12,

即0≤x2+y2<14,所以-14<-x2-y2≤0,

所以74<2-x2-y2≤2,所以72<|OA|≤2.

简评解法一采用了特殊值法的思想，有风险但求解效率较高; 解法二是运用纯向量的方法，求解思路清晰；解法三中的坐标法，由于A点在动，引起其他点动，不好确定，笔者采用了先确定P点，从而将运动的量固定，转化为可以用点的坐标去运算的量，问题迎刃而解.

一堂课结束以后，还需要有深入的分析和归纳：哪些数学概念适合用旧有的知识引入，哪些概念更适合用实例引入，教学中有哪些成功之处，又有哪些需要改进的不足？尤其应该重视学优生与学困生之间的差距.

因为，任何理论的实践都不可能是一帆风顺的，理论服务于实践，也完善于实践，只有不断的探索，才能够让概念课教学在高中数学的课堂上充分发挥出自己的优势.

综上所述，对于高中数学来说，概念课教学从理论走向实践的探索过程，无疑具有划时代的意义.它能够从根本上改变“生搬硬套”的学习模式，从更为本质的角度出发，变“轻概念、重解题”为“重概念、巧解题”，真正做到以学生为本、以“渔”为重，减轻学生负担、提高学习效率.

2013年高考数学重庆卷（理科）第10题为：

在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2，若|OP|<12，则|OA|的取值范围是（）.

A.(0,52］B.(52,72］C.(52,2］D.(72,2］

某刊对该题给出了如下解析和答案：

由题意B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心半径为12圆内.又

AB1⊥AB2,AP

=AB1+AB2

，所以点A在以B1B2为直径的圆上.当P与O点重合时，|OA|最大，为2，当P在半径为12的圆周上时，|OA|最小，为72，故选D.

这种答案简洁.按其思路，笔者对这种方法进行了再探索，如下:

解法一（特殊值法）

图（1）当O与P重合且B1、B2分别是单位圆与x轴、y轴的交点时，|OA|=2，排除A、B;图（2）当P在O∶x2+y2=14上时，不妨取直线y=x与O∶x2+y2=14在第三象限内的交点为P，过

点P分别作x轴、y轴的垂线，交单位圆于B1、B2两点，交x轴、y轴于C、D两点，则△PDO为等腰直角三角形.由OP=12知OC=OD=24，故AE=B1C=OB21-OC2=144.同理OE=144.所以|OA|=72.由于点P在以O为圆心，以22为半径的圆的内部（不包括圆周），排除C，故选D.

在考场上，高效灵活的解题方法值得赞赏. 在平时教学中， 笔者认为更应该关注通性通法，下面介绍两种解决此类问题的一般方法.

解法二（向量法）

因为AB1⊥AB2,所以(OB1-OA)·(OB2-OA)=0,

整理可得OB1·OB2-OA·(OB1+OB2)=-OA2.①

因为AP=AB1+AB2,所以OP-OA=OB1-OA+OB2-OA,即OP=OB1+OB2-OA.

|OP|=(OB1+OB2-OA)2

=OB12+OB22+OA2-2OA·(OB1+OB2)+2OB1·OB2.

将①式代入上式化简得：|OP|=2-OA2，因为0≤|OP|<12， 所以0≤2-|OA|2<14,故72<|OA|≤2.

解法三（坐标法)

建系如图(3).

因为AB1⊥AB2，AP=AB1+AB2，所以四边形AB1PB2为矩形， 所以PB1⊥PB2.

设B1(cosθ1,sinθ1)，B2(cosθ2,sinθ2),P(x,y)(P在圆O∶x2+y2=14内）.

PB1=(cosθ1-x,sinθ1-y),PB2=(cosθ2-x,sinθ2-y),

故PB1·PB2=(cosθ1-x)(cosθ2-x)+(sinθ1-y)(sinθ2-y)=0，

化简得:cosθ1cosθ2-(cosθ1+cosθ2)x+sinθ1sinθ2-(sinθ1+sinθ2)y=-x2-y2.②

又PA=PB1+PB2=(cosθ1+cosθ2-x,sinθ1+sinθ2-2y),

OA=OP+PA=(cosθ1+cosθ2-x,sinθ1+sinθ2-y),

|OA|=(cosθ1+cosθ2-x)2+(sinθ1+sinθ2-y)2,

将②式代入上式化简得：

|OA|=2-(x2+y2).因为

|OP|<12,

即0≤x2+y2<14,所以-14<-x2-y2≤0,

所以74<2-x2-y2≤2,所以72<|OA|≤2.

简评解法一采用了特殊值法的思想，有风险但求解效率较高; 解法二是运用纯向量的方法，求解思路清晰；解法三中的坐标法，由于A点在动，引起其他点动，不好确定，笔者采用了先确定P点，从而将运动的量固定，转化为可以用点的坐标去运算的量，问题迎刃而解.

一堂课结束以后，还需要有深入的分析和归纳：哪些数学概念适合用旧有的知识引入，哪些概念更适合用实例引入，教学中有哪些成功之处，又有哪些需要改进的不足？尤其应该重视学优生与学困生之间的差距.

因为，任何理论的实践都不可能是一帆风顺的，理论服务于实践，也完善于实践，只有不断的探索，才能够让概念课教学在高中数学的课堂上充分发挥出自己的优势.

综上所述，对于高中数学来说，概念课教学从理论走向实践的探索过程，无疑具有划时代的意义.它能够从根本上改变“生搬硬套”的学习模式，从更为本质的角度出发，变“轻概念、重解题”为“重概念、巧解题”，真正做到以学生为本、以“渔”为重，减轻学生负担、提高学习效率.