从一道典型试题的融变谈高三复习

董文元

高考复习时必须强调落实“三基”，向课堂要效益，向训练要成绩.基础是什么？简单说，就是课本.基础好，就是课本内容掌握得好.无论是哪个层次的学生，都应该把教材吃透，做到定义会说，公式会推，例题会讲，习题会做.课本例题和习题是多年来经过精心筛选后设置的，具有很强的示范性、典型性和探索性，在复习过程中要善于以这些题为原型，通过类比、延伸、迁移、拓展，提出新问题并加以解决、反思，充分挖掘例题的扩张效应，从而提高学生复习的积极性，培养他们的探索精神和创新精神.

一道典型的好题就是一道营养丰富的“滋补大餐”,我们应该细细咀嚼、美美品味,充分地消化吸收,上挂下联、左右逢源、前后呼应、触类旁通、引申拓展,使其教育教学功能发挥到淋漓尽致!绝不能就题论题,造成了资源的浪费与复习效果的低下.下面就一道平面向量习题谈高三复习,供大家参考.

例如图1,P,Q为线段AB的三等分点,用OA,OB表示OP,OQ.

分析由题知AP=12PB,要用OA,OB表示OP,只需把AP,PB全部用OA,OB,OP表示,再分离

出OP即可.

事实上,因为AP=12PB,所以OP-OA=12(OB-OP)，

从而得OP=23OA+13OB.（1）

老师：(引申1)若AP=λPB(λ≠-1),能否用OA,OB表示OP呢?

学生1：依照上题的思路,同样由OP-OA=λ(OB-OP)得OP=11+λOA+λ1+λOB.（2）

老师： AP=λPB说明A、P、B三点的位置关系如何?

学生2：三点共线.

老师：(引导启发)观察(1)、(2)中OA,OB的系数,你发现什么规律?

学生3： 很自豪地举手回答系数之和等于1,同学们报以热烈的掌声!

老师：老师故作深沉,是不是一种巧合?能否推广?请同学们思考,推理之后给出答案.

学生4：(黑板推演)O为平面内任一点, 由A、B、P三点共线,

可设AP=tAB,则OP-OA=t(OB-OA).

所以OP=(1-t)OA+t

OB,令m=1-t,n=t.

即OP=mOA+nOB(m+n=1(m,n∈R)).同学4对同学3的回答给于严格的推理,说明这个结论是数学的,数学的就得严谨.

老师：(追问)反过来成立吗?请同学们再思考给出严格的推理.(推演略）

若为同一平面内两个不共线的向量e1,e2,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2.

老师：这就是赫赫有名的“平面向量基本定理”,它说明平面内的向量分解的唯一性.平面向量基本定理是向量共线定理的推广,事实上,平面向量基本定理又可推广到空间向量基本定理,即任一空间向量可用不共线的三个非零向量来线性表示,而且这种表示是唯一的.这三个定理都可以看成向量分解的唯一性,只不过范围不同而已.

老师： 若不共线的一组基底取平面直角坐标系中x轴、y轴正方向的单位向量i,j，a用i,j表示会出现怎样的结果呢?这个问题我们下节课继续研究.接下来请同学们继续思考

老师：OQ如何用OA,OB表示?OP+OQ结果如何?

同学5：(很轻松的给出结论)OQ=13OA+23OB,OP+OQ=OA+OB.

老师：当点P,Q为线段AB的三等分点时,有OP+OQ=OA+OB,

如果A1、A2、A3,…,An-1是AB的n(n≥3)等分点,你能够得到什么结论?思考之后老师给出推导：

OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).

因为OAk=OA+AAn-k=OA+n-knAB=OA+AB-knAB=OB-knAB，

所以OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).

老师：上述结论,你会联想到等差数列的什么性质?

同学7：(很欣然地)在等差数列中,与“首末”两项“等距离”的两项的和是“首末”两项的和，也就是若m+n=p+q,则am+an=ap+aq（其中m,n,p,q均为正整数）.

老师：(乘胜追击)利用这个结论，思考：OA=a,OB=b,A1,A2,…,An-1(n∈N,n>1)是线段AB的n等分点，则OA1+OA2+…+OAn-1=(a+b).

同学8：（手舞足蹈）“倒序相加法”

令M=OA1,+OA2+OA3+…+OAn-2+OAn-1,又M=OAn-1+OAn-2+OAn-3+…+OA2+OA1

两式相加得2M=(OA1+OAn-1)+(OA2+OAn-2)+…+(OAn-2+OA2)+(OAn-1+OA1)=(n-1)(OA+OB)即M=n-12(OA+OB).

教室里响起经久不息的掌声！

老师： (总结)好！请同学们回顾这节课的内容，用一句话语进行总结：

学生8：“数学是自然的，数学是清楚的，数学是严谨的”.

在突出“能力”考查的今天，强调能力决不意味着可以忽视基础知识、基本技能和基本思想方法，对“三基”的考查仍是高考的基调之一.因此，高三数学教学必须按《考试说明》对知识内容的不同层次要求，全面系统地复习，切实抓住“三基”的教与学，让学生真正理解掌握，形成知识网络，融会贯通，举一反三.此题融合了多种数学思想和方法，是高三复习的绝佳素材.

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高考复习时必须强调落实“三基”，向课堂要效益，向训练要成绩.基础是什么？简单说，就是课本.基础好，就是课本内容掌握得好.无论是哪个层次的学生，都应该把教材吃透，做到定义会说，公式会推，例题会讲，习题会做.课本例题和习题是多年来经过精心筛选后设置的，具有很强的示范性、典型性和探索性，在复习过程中要善于以这些题为原型，通过类比、延伸、迁移、拓展，提出新问题并加以解决、反思，充分挖掘例题的扩张效应，从而提高学生复习的积极性，培养他们的探索精神和创新精神.

一道典型的好题就是一道营养丰富的“滋补大餐”,我们应该细细咀嚼、美美品味,充分地消化吸收,上挂下联、左右逢源、前后呼应、触类旁通、引申拓展,使其教育教学功能发挥到淋漓尽致!绝不能就题论题,造成了资源的浪费与复习效果的低下.下面就一道平面向量习题谈高三复习,供大家参考.

例如图1,P,Q为线段AB的三等分点,用OA,OB表示OP,OQ.

分析由题知AP=12PB,要用OA,OB表示OP,只需把AP,PB全部用OA,OB,OP表示,再分离

出OP即可.

事实上,因为AP=12PB,所以OP-OA=12(OB-OP)，

从而得OP=23OA+13OB.（1）

老师：(引申1)若AP=λPB(λ≠-1),能否用OA,OB表示OP呢?

学生1：依照上题的思路,同样由OP-OA=λ(OB-OP)得OP=11+λOA+λ1+λOB.（2）

老师： AP=λPB说明A、P、B三点的位置关系如何?

学生2：三点共线.

老师：(引导启发)观察(1)、(2)中OA,OB的系数,你发现什么规律?

学生3： 很自豪地举手回答系数之和等于1,同学们报以热烈的掌声!

老师：老师故作深沉,是不是一种巧合?能否推广?请同学们思考,推理之后给出答案.

学生4：(黑板推演)O为平面内任一点, 由A、B、P三点共线,

可设AP=tAB,则OP-OA=t(OB-OA).

所以OP=(1-t)OA+t

OB,令m=1-t,n=t.

即OP=mOA+nOB(m+n=1(m,n∈R)).同学4对同学3的回答给于严格的推理,说明这个结论是数学的,数学的就得严谨.

老师：(追问)反过来成立吗?请同学们再思考给出严格的推理.(推演略）

若为同一平面内两个不共线的向量e1,e2,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2.

老师：这就是赫赫有名的“平面向量基本定理”,它说明平面内的向量分解的唯一性.平面向量基本定理是向量共线定理的推广,事实上,平面向量基本定理又可推广到空间向量基本定理,即任一空间向量可用不共线的三个非零向量来线性表示,而且这种表示是唯一的.这三个定理都可以看成向量分解的唯一性,只不过范围不同而已.

老师： 若不共线的一组基底取平面直角坐标系中x轴、y轴正方向的单位向量i,j，a用i,j表示会出现怎样的结果呢?这个问题我们下节课继续研究.接下来请同学们继续思考

老师：OQ如何用OA,OB表示?OP+OQ结果如何?

同学5：(很轻松的给出结论)OQ=13OA+23OB,OP+OQ=OA+OB.

老师：当点P,Q为线段AB的三等分点时,有OP+OQ=OA+OB,

如果A1、A2、A3,…,An-1是AB的n(n≥3)等分点,你能够得到什么结论?思考之后老师给出推导：

OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).

因为OAk=OA+AAn-k=OA+n-knAB=OA+AB-knAB=OB-knAB，

所以OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).

老师：上述结论,你会联想到等差数列的什么性质?

同学7：(很欣然地)在等差数列中,与“首末”两项“等距离”的两项的和是“首末”两项的和，也就是若m+n=p+q,则am+an=ap+aq（其中m,n,p,q均为正整数）.

老师：(乘胜追击)利用这个结论，思考：OA=a,OB=b,A1,A2,…,An-1(n∈N,n>1)是线段AB的n等分点，则OA1+OA2+…+OAn-1=(a+b).

同学8：（手舞足蹈）“倒序相加法”

令M=OA1,+OA2+OA3+…+OAn-2+OAn-1,又M=OAn-1+OAn-2+OAn-3+…+OA2+OA1

两式相加得2M=(OA1+OAn-1)+(OA2+OAn-2)+…+(OAn-2+OA2)+(OAn-1+OA1)=(n-1)(OA+OB)即M=n-12(OA+OB).

教室里响起经久不息的掌声！

老师： (总结)好！请同学们回顾这节课的内容，用一句话语进行总结：

学生8：“数学是自然的，数学是清楚的，数学是严谨的”.

在突出“能力”考查的今天，强调能力决不意味着可以忽视基础知识、基本技能和基本思想方法，对“三基”的考查仍是高考的基调之一.因此，高三数学教学必须按《考试说明》对知识内容的不同层次要求，全面系统地复习，切实抓住“三基”的教与学，让学生真正理解掌握，形成知识网络，融会贯通，举一反三.此题融合了多种数学思想和方法，是高三复习的绝佳素材.

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高考复习时必须强调落实“三基”，向课堂要效益，向训练要成绩.基础是什么？简单说，就是课本.基础好，就是课本内容掌握得好.无论是哪个层次的学生，都应该把教材吃透，做到定义会说，公式会推，例题会讲，习题会做.课本例题和习题是多年来经过精心筛选后设置的，具有很强的示范性、典型性和探索性，在复习过程中要善于以这些题为原型，通过类比、延伸、迁移、拓展，提出新问题并加以解决、反思，充分挖掘例题的扩张效应，从而提高学生复习的积极性，培养他们的探索精神和创新精神.

一道典型的好题就是一道营养丰富的“滋补大餐”,我们应该细细咀嚼、美美品味,充分地消化吸收,上挂下联、左右逢源、前后呼应、触类旁通、引申拓展,使其教育教学功能发挥到淋漓尽致!绝不能就题论题,造成了资源的浪费与复习效果的低下.下面就一道平面向量习题谈高三复习,供大家参考.

例如图1,P,Q为线段AB的三等分点,用OA,OB表示OP,OQ.

分析由题知AP=12PB,要用OA,OB表示OP,只需把AP,PB全部用OA,OB,OP表示,再分离

出OP即可.

事实上,因为AP=12PB,所以OP-OA=12(OB-OP)，

从而得OP=23OA+13OB.（1）

老师：(引申1)若AP=λPB(λ≠-1),能否用OA,OB表示OP呢?

学生1：依照上题的思路,同样由OP-OA=λ(OB-OP)得OP=11+λOA+λ1+λOB.（2）

老师： AP=λPB说明A、P、B三点的位置关系如何?

学生2：三点共线.

老师：(引导启发)观察(1)、(2)中OA,OB的系数,你发现什么规律?

学生3： 很自豪地举手回答系数之和等于1,同学们报以热烈的掌声!

老师：老师故作深沉,是不是一种巧合?能否推广?请同学们思考,推理之后给出答案.

学生4：(黑板推演)O为平面内任一点, 由A、B、P三点共线,

可设AP=tAB,则OP-OA=t(OB-OA).

所以OP=(1-t)OA+t

OB,令m=1-t,n=t.

即OP=mOA+nOB(m+n=1(m,n∈R)).同学4对同学3的回答给于严格的推理,说明这个结论是数学的,数学的就得严谨.

老师：(追问)反过来成立吗?请同学们再思考给出严格的推理.(推演略）

若为同一平面内两个不共线的向量e1,e2,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2.

老师：这就是赫赫有名的“平面向量基本定理”,它说明平面内的向量分解的唯一性.平面向量基本定理是向量共线定理的推广,事实上,平面向量基本定理又可推广到空间向量基本定理,即任一空间向量可用不共线的三个非零向量来线性表示,而且这种表示是唯一的.这三个定理都可以看成向量分解的唯一性,只不过范围不同而已.

老师： 若不共线的一组基底取平面直角坐标系中x轴、y轴正方向的单位向量i,j，a用i,j表示会出现怎样的结果呢?这个问题我们下节课继续研究.接下来请同学们继续思考

老师：OQ如何用OA,OB表示?OP+OQ结果如何?

同学5：(很轻松的给出结论)OQ=13OA+23OB,OP+OQ=OA+OB.

老师：当点P,Q为线段AB的三等分点时,有OP+OQ=OA+OB,

如果A1、A2、A3,…,An-1是AB的n(n≥3)等分点,你能够得到什么结论?思考之后老师给出推导：

OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).

因为OAk=OA+AAn-k=OA+n-knAB=OA+AB-knAB=OB-knAB，

所以OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).

老师：上述结论,你会联想到等差数列的什么性质?

同学7：(很欣然地)在等差数列中,与“首末”两项“等距离”的两项的和是“首末”两项的和，也就是若m+n=p+q,则am+an=ap+aq（其中m,n,p,q均为正整数）.

老师：(乘胜追击)利用这个结论，思考：OA=a,OB=b,A1,A2,…,An-1(n∈N,n>1)是线段AB的n等分点，则OA1+OA2+…+OAn-1=(a+b).

同学8：（手舞足蹈）“倒序相加法”

令M=OA1,+OA2+OA3+…+OAn-2+OAn-1,又M=OAn-1+OAn-2+OAn-3+…+OA2+OA1

两式相加得2M=(OA1+OAn-1)+(OA2+OAn-2)+…+(OAn-2+OA2)+(OAn-1+OA1)=(n-1)(OA+OB)即M=n-12(OA+OB).

教室里响起经久不息的掌声！

老师： (总结)好！请同学们回顾这节课的内容，用一句话语进行总结：

学生8：“数学是自然的，数学是清楚的，数学是严谨的”.

在突出“能力”考查的今天，强调能力决不意味着可以忽视基础知识、基本技能和基本思想方法，对“三基”的考查仍是高考的基调之一.因此，高三数学教学必须按《考试说明》对知识内容的不同层次要求，全面系统地复习，切实抓住“三基”的教与学，让学生真正理解掌握，形成知识网络，融会贯通，举一反三.此题融合了多种数学思想和方法，是高三复习的绝佳素材.

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