用数学的思想理解物理问题

摘要：数学是物理学科的基础，很多物理问题的解决是数学方法、数学思想和物理规律巧妙结合的产物。数学与物理在方法和思想上的相互渗透，有助于学生深刻地正确理解物理量之间的关系。本文中涉及的高中物理教学中的两个典型实例，分别从数学的函数思想和方程思想引导和帮助学生理解问题，透彻地看到问题的本质。

关键词：数学思想；物理问题；构造；线性函数思想；方程思想

中图分类号：G633.7 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）27-0089-03

数学是物理学科的基础，很多物理问题的解决是数学方法、数学思想和物理规律巧妙结合的产物。数学与物理在方法和思想上的相互渗透，有助于学生深刻地正确理解物理量之间的关系。下面跟大家交流自己在教学过程中的一些体会：

●之一：测定电池的电动势和内电阻实验关于构造线性函数思想

一般来说，两个物理量间的关系有很多都不是一次函数关系，若直接以这两个物理量为坐标，所画出的图像就不是直线，这样就无法利用图像方便地找出两个物理量间的定量关系。在实验和解题中，如果两个物理量间的关系不是一次函数关系，我们就需要去寻找呈一次函数关系的自变量和因变量，再以这两个变量为坐标画图，将图像由曲线转变为直线，进而为我们解决问题扫清障碍，即为构造线性函数思想，亦即“化曲为直”思想。（下述函数书写均形如y=kx+b）下面对三种测定电池电动势和内阻实验进行构造线性函数小结。

（一）一电压表一电阻箱测电池电动势和内电阻

1.电路图（图1）。

2.基本思维程序。

①写出闭合电路欧姆定律：E=U+■（R0+r）。

②构造函数：（■-■或■-■）。

构造函数■-■：两边同除以EU，得■=■■+■斜率：■，与纵轴截距：■。

构造函数■-■：可得■=■■-■斜率：■，与纵轴截距：-■。

3.线性函数图（图2、图3）。

（二）一电流表一电阻箱测电池电动势和内电阻

1.电路图（图4）。

2.基本思维程序。

①写出闭合电路欧姆定律E=I（R+r）。

②构造函数：（构造R-■或■-R）。

构造函数R-■：两边同除以I，移项得：R=E■-r斜率：E，与纵轴截距：-r。

构造函数■-R：可得：■=■R+■斜率：■，与纵轴截距■。

3.线性函数图（图5、图6）。

（三）一理想电压表一电阻箱一定值电阻测电池电动势和内电阻

在测量电源的电动势和内阻的实验中，由于所用的电压表（视为理想电压表）的量程较小，某同学设计了如图7所示的电路图。

1.电路图（图7）。

2.基本思维程序。

①写出闭合电路欧姆定律E=R+■（R0+r）。

②构造函数：（构造■-R或R-■）。

构造函数■-R：两边同除以EU移项得：■=■R+■斜率：■，与纵轴截距：■。

构造函数R-■：可得：R=ER0■-（R0+r）斜率：ER0，与纵轴截距-（R0+r）。

3.线性函数图（图8、图9）。

学法指导：对于测定电池电动势和内电阻实验的处理，产生闭合电路欧姆定律是关键，有构造形如y=kx+b的函数、化曲为直的思想，问题便迎刃而解，本实验要求解的E跟r都包含在函数的斜率与截距中。

●之二：用数学的方程思想理解物理电学实验两个问题

（一）双伏法测电源的电动势和内阻

1.电路图。

2.步骤：（1）断开S，测得电压表的示数分别为U1、U2。

（2）闭合S，测得电压表V1的示数为U1。

（3）列方程。E=U1+U2+■rE=U'1+■r

▲方程思想：U1、U2、U'1均为数据，在E、RV、r均未知的情况下，该方程组表面上是三个未知数，而实质上是二元方程组。两个元分别是E与■，因此两组数据一定可以测得电动势E，而在RV未知的情况下得不到r，不是再多测一组数据再列一个方程的问题。

（二）伏安法测电源电动势和内阻误差分析

方法一：电流表“外”接法。

1.把两表看作理想表列出的存在系统误差的方程组，获得测量值E、r。

E=U1+I1rE=U2+I2r ①

2.把两表看作非理想表列出的不存在系统误差的方程组获得真实值E0、r0。

E0=U1+（I1+■）r0E0=U2+（I2+■）r0 ②

3.系统误差产生原因：电压表分流。

▲方程思想：换元法。

整理方程组②

E0=U1+（I1+■）r0E0=U2+（I2+■）r0 ？圯 E0=U1■+I1r0E0=U2■+I2r0 ？圯

■E0=U1+I1■■E0=U2+I2■

换元思想得到物理结论：

E=■E0

方法二：电流表“内”接法。

1.把两表看作理想表列出的存在系统误差的方程组，获得测量值E、r。

E=U1+I1rE=U2+I2r ①

2.把两表看作非理想表列出的不存在系统误差的方程组获得真实值E0、r0。

E0=U1+I1（r0+RA）E0=U2+I2（r0+RA） ②

3.系统误差产生原因：电流表分压。

▲方程思想：换元法。

换元思想得到物理结论：E=E0r=r0+RA>r0

编后语：物理学是应用数学方法最充分、最成功的一门学科。教学实践证明：在处理物理问题时，若能充分借助数学的工具作用，对激发学生的学习兴趣、帮助学生透彻理解物理问题会起到事半功倍的作用。

作者简介：李建丽（1969-），女，山西省汾阳市人，毕业于山西师范大学物理系，现为汾阳市第五高级中学物理教师，中学特级教师。

摘要：数学是物理学科的基础，很多物理问题的解决是数学方法、数学思想和物理规律巧妙结合的产物。数学与物理在方法和思想上的相互渗透，有助于学生深刻地正确理解物理量之间的关系。本文中涉及的高中物理教学中的两个典型实例，分别从数学的函数思想和方程思想引导和帮助学生理解问题，透彻地看到问题的本质。

关键词：数学思想；物理问题；构造；线性函数思想；方程思想

中图分类号：G633.7 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）27-0089-03

数学是物理学科的基础，很多物理问题的解决是数学方法、数学思想和物理规律巧妙结合的产物。数学与物理在方法和思想上的相互渗透，有助于学生深刻地正确理解物理量之间的关系。下面跟大家交流自己在教学过程中的一些体会：

●之一：测定电池的电动势和内电阻实验关于构造线性函数思想

一般来说，两个物理量间的关系有很多都不是一次函数关系，若直接以这两个物理量为坐标，所画出的图像就不是直线，这样就无法利用图像方便地找出两个物理量间的定量关系。在实验和解题中，如果两个物理量间的关系不是一次函数关系，我们就需要去寻找呈一次函数关系的自变量和因变量，再以这两个变量为坐标画图，将图像由曲线转变为直线，进而为我们解决问题扫清障碍，即为构造线性函数思想，亦即“化曲为直”思想。（下述函数书写均形如y=kx+b）下面对三种测定电池电动势和内阻实验进行构造线性函数小结。

（一）一电压表一电阻箱测电池电动势和内电阻

1.电路图（图1）。

2.基本思维程序。

①写出闭合电路欧姆定律：E=U+■（R0+r）。

②构造函数：（■-■或■-■）。

构造函数■-■：两边同除以EU，得■=■■+■斜率：■，与纵轴截距：■。

构造函数■-■：可得■=■■-■斜率：■，与纵轴截距：-■。

3.线性函数图（图2、图3）。

（二）一电流表一电阻箱测电池电动势和内电阻

1.电路图（图4）。

2.基本思维程序。

①写出闭合电路欧姆定律E=I（R+r）。

②构造函数：（构造R-■或■-R）。

构造函数R-■：两边同除以I，移项得：R=E■-r斜率：E，与纵轴截距：-r。

构造函数■-R：可得：■=■R+■斜率：■，与纵轴截距■。

3.线性函数图（图5、图6）。

（三）一理想电压表一电阻箱一定值电阻测电池电动势和内电阻

在测量电源的电动势和内阻的实验中，由于所用的电压表（视为理想电压表）的量程较小，某同学设计了如图7所示的电路图。

1.电路图（图7）。

2.基本思维程序。

①写出闭合电路欧姆定律E=R+■（R0+r）。

②构造函数：（构造■-R或R-■）。

构造函数■-R：两边同除以EU移项得：■=■R+■斜率：■，与纵轴截距：■。

构造函数R-■：可得：R=ER0■-（R0+r）斜率：ER0，与纵轴截距-（R0+r）。

3.线性函数图（图8、图9）。

学法指导：对于测定电池电动势和内电阻实验的处理，产生闭合电路欧姆定律是关键，有构造形如y=kx+b的函数、化曲为直的思想，问题便迎刃而解，本实验要求解的E跟r都包含在函数的斜率与截距中。

●之二：用数学的方程思想理解物理电学实验两个问题

（一）双伏法测电源的电动势和内阻

1.电路图。

2.步骤：（1）断开S，测得电压表的示数分别为U1、U2。

（2）闭合S，测得电压表V1的示数为U1。

（3）列方程。E=U1+U2+■rE=U'1+■r

▲方程思想：U1、U2、U'1均为数据，在E、RV、r均未知的情况下，该方程组表面上是三个未知数，而实质上是二元方程组。两个元分别是E与■，因此两组数据一定可以测得电动势E，而在RV未知的情况下得不到r，不是再多测一组数据再列一个方程的问题。

（二）伏安法测电源电动势和内阻误差分析

方法一：电流表“外”接法。

1.把两表看作理想表列出的存在系统误差的方程组，获得测量值E、r。

E=U1+I1rE=U2+I2r ①

2.把两表看作非理想表列出的不存在系统误差的方程组获得真实值E0、r0。

E0=U1+（I1+■）r0E0=U2+（I2+■）r0 ②

3.系统误差产生原因：电压表分流。

▲方程思想：换元法。

整理方程组②

E0=U1+（I1+■）r0E0=U2+（I2+■）r0 ？圯 E0=U1■+I1r0E0=U2■+I2r0 ？圯

■E0=U1+I1■■E0=U2+I2■

换元思想得到物理结论：

E=■E0

方法二：电流表“内”接法。

1.把两表看作理想表列出的存在系统误差的方程组，获得测量值E、r。

E=U1+I1rE=U2+I2r ①

2.把两表看作非理想表列出的不存在系统误差的方程组获得真实值E0、r0。

E0=U1+I1（r0+RA）E0=U2+I2（r0+RA） ②

3.系统误差产生原因：电流表分压。

▲方程思想：换元法。

换元思想得到物理结论：E=E0r=r0+RA>r0

编后语：物理学是应用数学方法最充分、最成功的一门学科。教学实践证明：在处理物理问题时，若能充分借助数学的工具作用，对激发学生的学习兴趣、帮助学生透彻理解物理问题会起到事半功倍的作用。

作者简介：李建丽（1969-），女，山西省汾阳市人，毕业于山西师范大学物理系，现为汾阳市第五高级中学物理教师，中学特级教师。

摘要：数学是物理学科的基础，很多物理问题的解决是数学方法、数学思想和物理规律巧妙结合的产物。数学与物理在方法和思想上的相互渗透，有助于学生深刻地正确理解物理量之间的关系。本文中涉及的高中物理教学中的两个典型实例，分别从数学的函数思想和方程思想引导和帮助学生理解问题，透彻地看到问题的本质。

关键词：数学思想；物理问题；构造；线性函数思想；方程思想

中图分类号：G633.7 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）27-0089-03

数学是物理学科的基础，很多物理问题的解决是数学方法、数学思想和物理规律巧妙结合的产物。数学与物理在方法和思想上的相互渗透，有助于学生深刻地正确理解物理量之间的关系。下面跟大家交流自己在教学过程中的一些体会：

●之一：测定电池的电动势和内电阻实验关于构造线性函数思想

一般来说，两个物理量间的关系有很多都不是一次函数关系，若直接以这两个物理量为坐标，所画出的图像就不是直线，这样就无法利用图像方便地找出两个物理量间的定量关系。在实验和解题中，如果两个物理量间的关系不是一次函数关系，我们就需要去寻找呈一次函数关系的自变量和因变量，再以这两个变量为坐标画图，将图像由曲线转变为直线，进而为我们解决问题扫清障碍，即为构造线性函数思想，亦即“化曲为直”思想。（下述函数书写均形如y=kx+b）下面对三种测定电池电动势和内阻实验进行构造线性函数小结。

（一）一电压表一电阻箱测电池电动势和内电阻

1.电路图（图1）。

2.基本思维程序。

①写出闭合电路欧姆定律：E=U+■（R0+r）。

②构造函数：（■-■或■-■）。

构造函数■-■：两边同除以EU，得■=■■+■斜率：■，与纵轴截距：■。

构造函数■-■：可得■=■■-■斜率：■，与纵轴截距：-■。

3.线性函数图（图2、图3）。

（二）一电流表一电阻箱测电池电动势和内电阻

1.电路图（图4）。

2.基本思维程序。

①写出闭合电路欧姆定律E=I（R+r）。

②构造函数：（构造R-■或■-R）。

构造函数R-■：两边同除以I，移项得：R=E■-r斜率：E，与纵轴截距：-r。

构造函数■-R：可得：■=■R+■斜率：■，与纵轴截距■。

3.线性函数图（图5、图6）。

（三）一理想电压表一电阻箱一定值电阻测电池电动势和内电阻

在测量电源的电动势和内阻的实验中，由于所用的电压表（视为理想电压表）的量程较小，某同学设计了如图7所示的电路图。

1.电路图（图7）。

2.基本思维程序。

①写出闭合电路欧姆定律E=R+■（R0+r）。

②构造函数：（构造■-R或R-■）。

构造函数■-R：两边同除以EU移项得：■=■R+■斜率：■，与纵轴截距：■。

构造函数R-■：可得：R=ER0■-（R0+r）斜率：ER0，与纵轴截距-（R0+r）。

3.线性函数图（图8、图9）。

学法指导：对于测定电池电动势和内电阻实验的处理，产生闭合电路欧姆定律是关键，有构造形如y=kx+b的函数、化曲为直的思想，问题便迎刃而解，本实验要求解的E跟r都包含在函数的斜率与截距中。

●之二：用数学的方程思想理解物理电学实验两个问题

（一）双伏法测电源的电动势和内阻

1.电路图。

2.步骤：（1）断开S，测得电压表的示数分别为U1、U2。

（2）闭合S，测得电压表V1的示数为U1。

（3）列方程。E=U1+U2+■rE=U'1+■r

▲方程思想：U1、U2、U'1均为数据，在E、RV、r均未知的情况下，该方程组表面上是三个未知数，而实质上是二元方程组。两个元分别是E与■，因此两组数据一定可以测得电动势E，而在RV未知的情况下得不到r，不是再多测一组数据再列一个方程的问题。

（二）伏安法测电源电动势和内阻误差分析

方法一：电流表“外”接法。

1.把两表看作理想表列出的存在系统误差的方程组，获得测量值E、r。

E=U1+I1rE=U2+I2r ①

2.把两表看作非理想表列出的不存在系统误差的方程组获得真实值E0、r0。

E0=U1+（I1+■）r0E0=U2+（I2+■）r0 ②

3.系统误差产生原因：电压表分流。

▲方程思想：换元法。

整理方程组②

E0=U1+（I1+■）r0E0=U2+（I2+■）r0 ？圯 E0=U1■+I1r0E0=U2■+I2r0 ？圯

■E0=U1+I1■■E0=U2+I2■

换元思想得到物理结论：

E=■E0

方法二：电流表“内”接法。

1.把两表看作理想表列出的存在系统误差的方程组，获得测量值E、r。

E=U1+I1rE=U2+I2r ①

2.把两表看作非理想表列出的不存在系统误差的方程组获得真实值E0、r0。

E0=U1+I1（r0+RA）E0=U2+I2（r0+RA） ②

3.系统误差产生原因：电流表分压。

▲方程思想：换元法。

换元思想得到物理结论：E=E0r=r0+RA>r0

编后语：物理学是应用数学方法最充分、最成功的一门学科。教学实践证明：在处理物理问题时，若能充分借助数学的工具作用，对激发学生的学习兴趣、帮助学生透彻理解物理问题会起到事半功倍的作用。

作者简介：李建丽（1969-），女，山西省汾阳市人，毕业于山西师范大学物理系，现为汾阳市第五高级中学物理教师，中学特级教师。