广义指数分布在TFR模型中的参数估计

张莉

（西华师范大学数学与信息学院，四川南充637000）

广义指数分布在TFR模型中的参数估计

张莉

（西华师范大学数学与信息学院，四川南充637000）

广义指数分布是应用非常广泛的一种分布，近年对该分布的讨论主要是常规寿命试验数据的统计分析方法，研究重点是参数的点估计.但基于不完全样本、应用TFR模型、探讨广义指数分布在步加试验中的参数估计的文献却很少见.对此，利用EM算法给出了参数估计的显性表达式，并通过数据模拟说明了估计方法的可行性.

广义指数分布；TFR模型；简单步加试验；EM算法

广义指数分布是应用非常广泛的一种分布，近年对该分布的讨论主要是常规寿命试验数据的统计分析方法，研究重点是参数的点估计，如文献[1]利用EM算法给出了广义指数分布在分组和右截尾数据下的参数估计；文献[2]讨论了广义指数分布的极大似然估计，并得到其渐进分布；文献[3]利用逆矩法估计广义指数分布的未知参数，并给出了构造尺度参数区间估计的方法；文献[4]讨论了广义指数分布在恒加试验中的参数估计.但目前基于分组数据，应用TFR模型，探讨广义指数分布在步加试验中的参数估计的文献却很少见.

鉴于此，本文试图讨论在简单步加试验中，应用TFR模型后，不完全样本情况下的参数估计.

1 试验安排

将n个相互独立的元件在t1,0时刻投入到加速应力水平S1下做寿命试验，到t1,m1时刻为止共有R1个失效，同时将应力水平上升到S2，余下的未失效元件在S2下继续做试验，到t2,m2时观测到有R2个失效，并停止整个试验，记t0=t1,0=0,ti=ti,mi=ti+1,0, i=1,2.

假设在Si(i=1,2)下观察时刻为ti,0,ti,1,...,ti,mi并满足ti,0＜ti,1＜...＜ti,mi,在(ti,j-1,ti,j]内元件失效个数为ri,j，j=1,...,mi，最后未失效的个数为n-R，其中，

2 基本假定

假定1各个应力下的寿命数据服从广义指数分布，其密度函数、分布函数分别为

其中，β＞0称为模型的形状参数，λ＞0称为模型的尺度参数.当形状参数β=1时，模型即为一般的指数分布模型.

假定2[5]不同应力水平Si,Sj下产品的失效机理与正常应力水平S0下的失效机理相同，反映在分布参数上即形状参数β不随应力水平变化而变化.

假定3[6]（TFR模型）在步加试验中，当应力从Si-1提高到Si，可靠度函数之间存在如下关系：

其中，可靠度函数的下标对应各个应力水平的下标，t0=0,α-1=α0=1，因子αi＞1,i=1,...,k,值将由应力Si和Si+1确定，而且有可能与时间变点ti有关.

为记作简洁，令μ=(β1,λ1,α1)=(β,λ,α)，不难得到应力S2下的密度函数为

3 参数估计

为了得到各参数的估计值，现考虑EM算法.

设n个产品的寿命X1,X2,...,Xn独立同分布于广义指数分布，记X=(X1,X2,...,Xn)，X是不可观测的，能观测到的是Y=(r1,1,r1,2,...,r1,m1;r2,1,r2,2,...,r2,m2; n-R),它们一起构成了完全数据Z=(X,Y).为了应用EM算法，再引入随机变量Xih、Xw，它们分别表示落入区间(ti,j-1,ti,j]和(t2,+∞)的产品寿命.下面根据EM算法中的E步和M步来获得参数的极大似然估计.

由于X的信息包含了观测结果Y所有的信息，于是有p(μ|X,Y)=p(μ|X).由广义指数分布的密度函数可以得到

E步：给定参数的第n步估计μ(n)，则第n+1步的Q函数为

当t1,j-1＜X≤t1,j时，X的条件密度函数为

当t2,j-1＜X≤t2,j时，X的条件密度函数为

当X＞t2时，X的条件密度函数为

则

M步：极大化Q函数的参数β,α,λ的第n+1步估计β(n+1)，α(n+1)，λ(n+1)，即将Q(μ|μ(n),Y)分别对参数β,α,λ求导，并令其等于零，得到Q(μ|μ(n),Y)的极大值点β(n+1)，α(n+1)，λ(n+1).

经过整理，得到

这样就完成了一次迭代(α(n),λ(n))→(α(n+1),λ(n+1))，重复上述步骤直到(α,λ)收敛为止.

4 数据模拟

现运用Monte Carlo方法产生在简单步加试验下服从广义指数分布的随机数，其参数真值记作β=2,α=2,λ=0.5.选择样本量为n=1 000的模拟，产生1 000次随机数，观测时刻设为t1,1=5,t1,2=10, t2,1=15,t2,2=20.通过有限次迭代和数据整理后，得到表1的结果.

表1 随机数的迭代结果

从表中结果看到，参数估计值与真值非常接近，且相对误差很小，说明估计的精度较好，方法有效.

[1]田玉柱,田茂再,陈平.数据分组和右截尾数据情形下广义指数分布的参数估计及应用[J].数学进展,2012,6(12):755-762.

[2]沈作斌.广义指数分布下区间删失数据的参数估计[J].教育教学,2010(2):20.

[3]唐玉娜,施瑞,王炳兴.广义指数分布的统计推断[J].统计与决策, 2008(17):18-19.

[4]张莉.广义指数分布在恒加试验中的参数估计[J].内江师范学院学报,2013(12):4-7.

[5]唐玉娜.广义指数分布基于加速寿命试验数据的统计分析[D].杭州:浙江工商大学,2008.

[6]张莉,郑宇棠.指数分布TFR模型多步步加试验下的参数估计[J].西华师范大学学报:自然科学版,2012,33(4):371-373.

【编校：许洁】

Parameter Estim ation of Generalized Exponential Distribution in the TFRModel

ZHANG Li
(DepartmentofMath and Information,ChinaWestNormalUniversity,Nanchong,Sichuan 637000,China)

Generalized exponential distribution is applied widely.In recentyears,discussionswith regard to this distribution weremostly statistic analysis about the data in normal life test,and attention wasespecially paid to the pointestimation.But few researches had been done to discuss parameter estimation of the distribution during the step-stress accelerated life testsbased on incomplete specimen and TFRModel.The parameter concrete expressionswasgiven by using EM algorithm.And theestimationmethodwasproved rightby takingadvantageofMonte Carlo stimulation.

generalized exponentialdistribution;TFRModel;the simple step-stressaccelerated life tests;EM algorithm

O213

A

1671-5365(2014)12-0011-03

2014-06-29修回：2014-07-28

西华师范大学科研启动基金（08b025）

张莉(1982-)，女，讲师，硕士，研究方向为概率论与数理统计及其应用、产品的可靠性试验

时间：2014-08-22 15:23

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20140822.1523.005.htm l