探究构造法解题的自然性

朱瑞芳

摘要：构造法是解决数学问题的一种常用方法,本文通过对构造法解题的自然性进行探讨，以期老师和学生都能够正确客观看待构造法。

关键词：构造法；数学问题；自然性

【中图分类号】G642

一、概念界定

构造法是解决数学问题一种的常用方法，同时也是培养学生创新性思维的一个重要手段。构造法就是按固定的方式经过有限个步骤能够实现定义概念或证明命题的方法。[1]数学解题中构造法的实质是根据某些数学问题的条件或结论所具有的特征、用已知条件中的元素为“元件”，用已知数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式，从而使问题转化并得到解决的方法。[2]运用构造法解题的过程，也是一个从无到有的创造的过程。同时，在运用构造法解题中会涉及到数学中化归、类比、联想等思想。因此，学生通过学习和使用构造法，能够培养其创新性思维。

构造法作为数学解题中的一个重要方法，其理论依据主要是建构主义理论。建构主义理论体现了一种主体在认知上的构造思想，是构造思想一种的重要的理论依据。建构主义的学习观是学习者主动地建构自己的知识经验的过程，即通过新经验与原有知识经验的双向的相互作用，来充实和改造自己的知识经验。数学思想就是被看成是从具体的数学内容和方法中提炼上升的数学观点，比一般数学内容和方法具有更高的抽象和概括水平。数学思想是蕴含与数学内容和方法之中，而又高于数学的内容和方法。因此，作为构造思想而言，其本身源于构造方法，二者具有密不可分的关系，同时又是构造方法的一个更为本质的概括。

二、研究现状和意义

近些年，关于构造法在中学数学中的研究多集中于如何运用构造法进行解题以及构造法与培养创造性思维之间的关系。关于构造法解题的自然性问题的研究涉及不是很多，因此本文主要探讨构造法解题自然性的问题。本文中解题自然性体现在如下几个方面：一、解题者的第一想法；二、解题主体的相对性；三、通性通法。本文通过案例对构造法解题自然性的探讨，以期对中学数学中构造法的学习有一定指导意义。

三、构造法解题的自然性

（1）解题者第一想法

例1已知a>b>c.求证：

构造法：因为a>b>c，可构造方程a=x1+c,b=x2+c(x1>x2>0)

将上述方程分别代入特征式，命题得证。

上述解法简单精炼，省去很多计算步骤。但有的学生就不解了，两个方程代换是如何想到的？为什么自己就想不到？这样会让学生有一种自己很笨的错觉，不利于学生数学的学习。那么，在第一次看到该题时同时也是比较贴近学生想法的解法应是：

因为a>b>c，所以a-b>0,b-c>0,a-c>0

最后的不等式很容易证明是成立的，同时也就证明原不等式成立。

对于这两种解法，前一种解法简练，看似节省时间，实则不然，同时局限性较大。后一种做法，常见、通用、易想到。这时，该问题就像是一只鸡，而我们却用了牛刀。

(2)通性通法

例2对任意自然数n，求证：

构造法：

证明：令

构造的辅助对偶式：，，

因为对任意自然数n，都有：，

即

所以，即

归纳法：

证明：当n=1时，成立

现假设当n=k时，

证明当n=k+1时

只需证明，

即

即，左式显然大于右式，所以

n=k+1时该不等式成立

原文中作者构造了对偶式模型，其用意本是通过利用代数式的结构特征，把原不等式转化为比较简单的形式。殊不知，为了追求所谓的简单形式，其构造过程看起来已非常复杂，且不易想到。前面本文提到，与自然数n有关的不等式证明问题通法是运用数学归纳法。不难发现，归纳法证明不仅不复杂，而且通俗易懂，这也是符合解题自然性特征的。

（3）解题主体的相对性

例3已知x，y∈R，求证：

看到这类证明不等式的题，如果根号比较少的情况下，我们可能会选择平方之后进行比较大小。但现在这个情况下，有4个根号，如果还使用平方的方法，貌似不太能行得通。这道题我们仔细观察，会发现它的几何意义是点（x，y）到（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）四点距离和。因此如果用其几何意义来解这道题题的话，会非常简单明了。我们只用画一个直角坐标系，标出这四个坐标，就可以清楚明白。这种方法从构造法的定义来看，也是一种构造的方法，转化了问题的形式，使原本复杂的问题变得简单。不同人所具有的知识储备是不同的，具有某方面知识或是比较擅长的方面在运用起来就会显得很自然。正如这道例题，作为老师能够一眼看透其几何意义，并顺利的构造图形进行解决，但是学生就不一定能顺利的做到这一点儿。

四、小结

构造法本身无可非议，其在培养学生创造性思维方面的作用也是很显然的。但构造法本身也具有局限性，对于其中一道适用的方法，换个场景可能就失效了。依据本文所给自然性解法的标准，构造法能不能称得上一种自然地解法，应该是因人而异，因题而异。如果一个问题，解题者能够看到问题的实质，从问题的实质出发进行构造，此时构造法可以成为一种自然性解法。但是对于知识水平和能力都有限的中学生来说，这个要求显得有些过分。因此在教学过程中，教师在使用构造法的过程中应该谨慎，不能为构造而构造，不要沉醉在自己认为数学美的世界里，应该还要关注学生能否接受。要在学生具有的相应的认知结构的情况下，逐步从基础做起，培养其基本的数学素养和能力，具备了良好了数学功底和正确的学习动机，构造法的学习和应用才能事半功倍，才能达到其在思维培养方面的作用。

参考文献

[1]邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海:上海教育出版社,2009

[2]王延文.构造性解题方法的心理分析及教学应用[J].数学教育学报,1993(2)

[3]盖传敏.构造法证明不等式的九个模型[J].中学数学教学,2012(5)