数学概念中的一些新发现及其应用

丁亮+杨星光

集合是高中数学内容的起点，所以理解好集合尤为重要。经过反复讨论，结合多年学习和教学实践，对高中数学集合中的一些概念提出了全新的、有趣的理解，并给出了具体的应用，旨在与同仁切磋探讨。

空集解集不等于不属于不包含于描述法集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。最后一个在数学所有分支领域都造诣深厚、整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的道路、对20世纪和当今的数学造成极其深远的影响的世界著名数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家庞加莱曾说过：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦”。而集合论的研究对象就是集合，由此可以看出掌握好集合非常重要。笔者们反复讨论后，结合多年学习和教学实践，对集合中一些概念提出了全新的、有趣的理解，供同仁参考。

一、空集、解集的新理解以及应用

教材中第7页介绍了空集的概念，即不含任何元素的集合叫做空集。笔者们结合多年教学实践，发现很多学生总误认为空集不是集合。笔者们也看到一些资料对实数0、空集 和 ｛０｝有一些强调。比如，文献第12页强调：实数0和空集是两个不同的概念，不能把0和 混为一谈；再比如，文献第9页强调：不要把数0或集合 ｛０｝与 混淆，等等。笔者们结合多年教学实践，经过反复讨论，认为这些强调能起到一定的作用，但是我们发现仍有一大批学生（尤其是数学基础薄弱的学生）极容易混淆0和，或者时间长了，就算他们记住了0和 不一样，也说不出为什么不一样。还有一部分学生，分不清 ｛０｝和 是不是一样。

针对上述问题，我们提出一种全新的解决方案：换一个角度去理解空集这个概念。从语文的角度看，“空集”，这两个汉字中有一个“集”字，“集”是集合的简称，所以空集也是集合。用这种方法，可以轻易让学生理解并记住空集也是集合，而不用死记硬背。与此同时，既然空集是一个集合，而0只是一个数字，所以，很自然地，0和 不一样。

按照这种思路，还可以让学生很容易地发现并理解集合 ｛０｝和空集 不一样。“空集”这两个字里除了“集”字之外，还有一个“空”字。“集”是集合的简称，再结合“空”字，所以空集不但是一个集合，而且这个集合里面是空空的，连0这个元素都没有，集合 ｛０｝里面不是空空的，还有一个元素0，所以很容易得出空集 和 ｛０｝不一样。

我们发现上面理解空集的思维模式，还可以帮助学生理清一些题目的解题思路甚至帮助学生提高做题答案的准确性。下面举一例进行说明。

例题：用适当的方法表示不等式 2x+6<9的解集。

解析：此题是求解集的。按照上述理解空集的思路，我们很容易观察出“解集”也是由“解”和“集”两个汉字组成。从“解”这个汉字的角度，我们首先要把不等式 2x+6<9解出来，解出结果为x<23。但是如果结果是 x<23，肯定不对，因为“解集”这两个汉字，我们才看了“解”字，还没看“集”字。“集”是集合的简称。所以，这道题最终结果必须用集合表示。即答案都必须要有花括号“ { }”，没有花括号“ { }”就是错的。易发现，满足x<23的x有无数个，没办法把它们全部列出来，所以用描述法来表示这个集合。所以这个例题的结果不是x<23，而是{x|x<23}。

二、触类旁通，轻松理解并记住符号“ ≠”“ ”以及“”

从小学到初中数学学习中，大家都知道“等于”的符号是“=”，“不等于”的符号是“ ≠”。我仔细观察一下，会发现一件事：“不等于”比“等于”多一个汉字，而“不等于”的符号“ ≠”正好比“等于”的符号“=”多一撇“∕”。“不属于”比“属于”也多一个汉字，按照理解“不等于”的符号“ ≠”比“等于”的符号“=”多一撇“∕”的方法，我们很自然猜想“不属于”的符号是不是比“属于”的符号也多一撇“∕”呢？事实上，不属于的符号“ ”确实比属于的符号“ ∈”多一撇“∕”！按照这种思考问题的方法，我们还可以轻松理解为什么不包含于“ ”的符号比包含于“ ”的符号也多一撇“∕”。因为“不包含于”也比“包含于”多一个汉字！笔者们经过反复讨论，结合多年学习和教学实践，发现这种理解概念的方法，对学生记忆非常有帮助。虽然数学中有些符号是人为规定的，没有理由，只能记忆。可是笔者觉得，作为老师，如果可以适当地帮助学生减轻记忆负担，让他们腾出更多的时间去学习更多的、更新的知识我们就应该去做，因为这也正好符合我们最近几年来一直倡导的为学生“减负”的目标。

三、对集合“描述法”的有趣记忆方法

集合的常用表示方法有两种：列举法和描述法。经过观察，易发现描述法和列举法形式上最大的区别是列举法的表达式{ }中没有一条竖线“ |”，而描述法的表达式{|}中有一条竖线“ |”。我们下面引进一种新思路，来让学生很轻松地记住描述法的表达式的形式并且轻松地区分列举法和描述法的表达形式。“描述法”，这三个汉字中，有一个“述”字，“述”和“竖”同音，它们的汉语拼音都为“ ”，而汉字“竖”是竖线的简称，所以描述法里面有一条竖线，这正好和描述法的形式{|}相吻合，因为{|}有一条竖线“ |”。而“列举法”这三个汉字中没有汉语拼音为“ ”的字，所以，列举法的表达式中没有竖线“ |”，这也正好和列举法的表达式{ }相吻合。

一生培养了一大批世界级数学家、科学家的当今国际著名数学大师、著名教育家、美国国家科学院院士、法国科学院外籍院士、首批中国科学院外籍院士、南开数学研究所名誉所长陈省身教授曾指出：“数学是思考的产物。首先要能够思考起来，用自己的见解和别人的见解交换，会有很好的效果。”笔者们通过这篇文章对高中数学里集合中的一些概念提出了全新的、有趣的理解，旨在与同仁们一起探讨，共同进步，更好地教好学生。

参考文献：

[1]刘绍学.高中数学必修1[M].北京：人民教育出版社，2007，1.

[2]王后雄.教材完全解读高中数学必修1[M].北京：中国青年出版社，2013，5.

[3]李朝东.教材解析高中数学必修1[M].兰州：甘肃少年儿童出版社，2011，5.

[4]苏步青.谈谈怎样学好数学[M].上海：上海教育出版社，1989，6.

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