用最小势能原理求解支承系统问题

刘紫红

（河南工业和信息化职业学院河南工程技术学校建筑工程系，河南焦作454000）

用最小势能原理求解支承系统问题

刘紫红

（河南工业和信息化职业学院河南工程技术学校建筑工程系，河南焦作454000）

利用弹性力学中的叠加原理和等效原理，将支撑系统看作一个整体来研究，基于弹性力学中的能量守恒原理，以约束力为桥梁，假定各个约束力是依次作用于支撑系统，借助多个位移的叠加，推导出了支承系统的势能泛函公式，并利用最小势能原理，给出了求解支承系统问题的一种新算法。该算法简便、准确，能够较为广泛地应用于各类工程计算。

支承系统；势能；位移；最小势能原理；叠加原理

0 引言

工程中有很多支承系统都可以看作图1所示的模型，比如多根梁所组成的支承系统问题以及弹性地基梁的计算等［1-5］。

对于图1所示系统，常规方法只能将整个弹性系统看作一根梁，通过假设曲线方程进行求解。但是，实际问题中，弹性系统内部结构多样化，所需参量较多，计算量太大，因此常规方法使用起来非常困难［6-9］。

笔者通过计算或试验测出弹性系统对外的力学特征，然后以约束力为桥梁，借助于多个位移的叠加，推导出了支承系统的势能泛函公式，利用最小势能原理为求解此类问题提供了一种新算法。

图1 支承系统示意图Fig.1 Sketch of a supporting system

1 势能泛函公式的推导

将图1所示系统简化为图2所示的模型。已知梁AB下面有4根弹簧，梁AB的长度为l，外力F作用于梁AB，且作用点与点A的距离为a，下面将推导出该系统的势能泛函公式。

图2 系统模型受力示意图Fig.2 Sketch of force in model system

1.1 梁AB的形变势能及外力势能

首先以梁AB作为研究对象，以点A为原点，梁AB方向为x轴正方向建立坐标系，并记弹簧（自左向右）对梁AB所产生的约束力分别为F1、F2、F3、F4，则梁AB的受力情况如图3所示。

图3 梁AB的受力示意图Fig.3 Sketch of force on beam AB

记外力F作用下梁AB的变形（即位移曲线）为y=w(x)，记外力F的势能为ε1，梁AB产生变形后自身所蕴含的弹性势能为ε2，则

其中，E为梁AB的拉压弹性模量，I为梁AB截面的惯矩。

1.2 弹簧的形变势能

下面以4根弹簧为研究对象，约束力F1、F2、F3、F4对于4根弹簧来说是外力。根据弹性力学的等效原理，形变势能的大小与弹性体的受力顺序无关，而完全取决于外力及形变的最终大小。所以在此可以假定4个外力是按从左到右的顺序依次作用于4根弹簧。

4个外力所做的功分别记为Ui() i=1，2，3，4，则外力在弹簧变形过程中所做的功分别为

式中，Δij表示力Fj在第i根弹簧处产生的位移。依据弹性力学中的叠加原理，对上面各式求和可得全部Fi（i=1，2，3，4）所做的功，记为U，则

设弹簧（自左向右）的弹性系数分别为k1、k2、k3、k4，则有

将式（5）代入式（4），可得

在全部Fi（i=1，2，3，4）的作用下，4根弹簧的总位移分别记为Δi（i=1，2，3，4），则

记

式中qij是力Fj在第i根弹簧处产生的位移与力Fj在第j根弹簧处产生的位移之比。

将式（8）改写为

将式（9）代入式（6），可得

将式（9）代入式（10），并记

则有

式中

将式（10）写成矩阵形式

式中

将式（12）代入式（14），可得

式（16）是全部Fi（i=1，2，3，4）所做的功，Fi（i=1，2，3，4）对于系统来说是约束力，其所做的功等于4根弹簧的形变势能，所以U实际上是以位移表示的所有弹簧的形变势能表达式。可以看出，式（16）和有限单元法中的势能计算公式十分相似。

1.3 系统总势能

系统总势能为外力势能、梁AB的形变势能以及4根弹簧的形变势能之和。记系统总势能为ε，则

显然，总势能是位移w(x)的泛函。

2 势能泛函公式的应用

式（18）是关于参量an(n=0，1，…，5)的多元一次方程组，代入具体数据可以求得各个待定参量an，并最终得到w(x)的表达式，以此进一步还可以求出梁AB的约束力分布。

3 算例

在图4中，简支梁AB长l=9 m，力F作用点与点A的距离a=5 m，梁AB与梁CD的力学特征相同，二者之间有两根刚性杆相连，且刚性杆位于三等分点处。已知梁的拉压弹性模量E=210 GPa，惯性矩I=1780 cm4，外力F=100 kN。试通过上面方法计算梁AB的位移曲线。

图4 刚性杆支承系统示意图Fig.4 Sketch of supporting system with rigid bars

解在本题中，梁AB的位移表达式沿用上面算法推导过程中的假设。利用材料力学的结论，容易得出该支承系统中的参量计算公式如下：

利用上面算法，结合相应边界条件，可得梁AB的位移表达式为

梁AB的位移曲线见图5（图中位移为负数，表示位移方向朝下）。

图5 梁AB的位移示意图（算例）Fig.5 Sketch of displacement of beam AB（example）

说明：算例中的计算是依据文中所推导的公式，利用编写Mathematica程序进行计算和绘图。

通过算例可以看出，笔者所提供的新算法推导过程规范，利用数学软件计算方便，能够较好地反映支承系统中梁的变形情况，因此具有较高的应用价值。

（References）

［1］陈国星，宰金珉.弹性地基梁设计理论与方法［J］.南京建筑工程学院学报，1998，46（3）：42-48.

［2］YIN J H.Comparative modeling study of reinforced beam on elastic foundation［J］.Journal of Geothechnical and Geoenviro⁃mental Engineering，2000，126（3）：265-271.

［3］龚耀清，马伏龙.超高层建筑巨型框架与其基础地基共同工作的简化分析［J］.河南理工大学学报：自然科学版，2006，25（2）：145-151.

［4］ZHAO M H，LI W Z.Analysis of single piles under eccentric and inclined loads in layered soils［J］.Rock and Soil Mechan⁃ics，2007，28（4）：670-674.

［5］王有凯，刘紫红，梁为民.用最小势能原理求解半空间地基及地基梁问题［J］.河南理工大学学报：自然科学版，2011，30（4）：462-466.

［6］陈天愚，张克绪，单兴波.弹性地基梁的修正刚度矩阵解法［J］.哈尔滨建筑大学学报，2000，33（2）：44-48.

［7］王国体，赖焕枫，胡志专，等.双参数弹性地基梁有限差分法及变形、反力特征［J］.合肥工业大学学报，2004，27（1）：35-39.

［8］周继凯，杜钦庆.考虑水平力作用的改进型文克勒地基模型［J］.河海大学学报，2004，32（6）：669-673.

［9］马立博，时伟，周印章，等.Winkler与三参数弹性地基梁模型的计算比较［J］.青岛理工大学学报，2008，29（4）：36-45.

（责任编辑：陈旷）

Solutions of Supporting System with Principle of Minimum Potential Energy

LIU Zihong
（Department of Building Engineering，Henan Engineering Technical School，Henan College of Industry and Information Technology，Jiaozuo 454000，Henan，China）

Using the superposition principle and equivalence principle of elastic mechanics，take the supporting system as a whole to study it，based on the priciple of energy conservation of elastic mechanics，the potential energy functions for the supporting system are derived by applying the theo⁃rem of superposition for multiple displacements under the assumption that every internal force is act⁃ing on the supporting system in turns.A new algorithm for the supporting system is also obtained by using the principle of minimum potential energy.This algorithm is simple，accurate，and can be widely used in various types of engineering calculations.

supporting system；potential energy；displacement；principle of minimum potential energy；superposition principle

TU472

A

1673-0143（2014）04-0030-05

2014-04-21

河南省高等学校深部矿井建设重点学科开放实验室开放基金项目（2013KF-01）

刘紫红（1980—），女，助教，硕士，研究方向：结构工程。