H 值随机Dirichlet级数在水平直线上的增长性

孙飞

（湖北大学数学与统计学学院，湖北武汉430062）

H 值随机Dirichlet级数在水平直线上的增长性

孙飞

（湖北大学数学与统计学学院，湖北武汉430062）

研究了随机Dirichlet级数的增长性以及H值随机Dirichlet级数在水平直线上的增长性。讨论了随机Dirichlet级数在Hilbert空间上取值的情况，得出重要结论：H值随机Dirichlet级数，不论它们的收敛域是全平面还是半平面，它们a.s.在每一条水平半直线上，并且所有带形上与整个收敛域上有相同的增长级。

随机Dirichlet级数；Hilbert空间；收敛

1 预备知识

引理1设是满足条件的独立随机变量列，则

证明（4）式证明见文献［1］，下面证明（5）式。

由Borel-Cantelli引理得

从而，易得（5）式成立。

引理2设是某概率空间（Ω，F，P）上的独立的H值随机变量序列，它们满足条件（2），则对任意H∈A，存在，使得对任何复数列及任何p＞q≥K，恒有

证明i）由Paley-Zygmund不等式，对任意的n∈N，有

其中Ac=Ω-A。因此至少存在一个整数，使得

因此可取K'充分大，使得K'大于可能例外的M-1个正整数，则当n≥K'时，（7）式恒成立。ii）对任意p＞q≥K'，由i）有

引理2证毕。

引理3假设是非负序列，又bn＞0，且，那么

证明证明见文献［2］。

2 主要结果

定理1设随机Dirichlet级数（1）满足下列条件：且｛‖Zn‖｝满足条件（2），则fω(s)，f(s)的收敛横坐标分别为σc(ω)，σc，以及绝对收敛横坐标σa(ω)，σaa.s.为-∞。那么

证明为了实现之间的转化，需要用到前面所给的辅助Dirichlet级数（3）。首先，根据文献［3］中Dirichlet级数在半平面内的增长性，我们令，那么，由条件（2）有

再由文献［4］中Valiron公式得

下面对｛‖X‖n｝运用引理1有

为了得到想要的结论，参考文献［5-6］，引进σn的子列σnk，设

对于｛‖X‖nk｝，运用引理1有

于是由文献［7］可知定理1成立。

定理2设随机Dirichlet级数（1）满足条件（10），且｛‖Zn‖｝满足条件（2），则fω(s)，f(s)的收敛横坐标分别为σc(ω)，σc，绝对收敛横坐标σa(ω)，σaa.s.为-∞。下面设

那么对∀t0∈R有

证明考虑到定理的条件，且｛‖Zn‖｝满足条件（2），由文献［8］，这里只需证明ρ＞0的情形，其他情况易得。下面用反证法证明。

于是存在固定的m0，k0，使得

由引理2知，存在自然数N及正整数C，使得当N′＞N+1，σ＜σ′时，

但是由文献［7］中定理2.1及题设条件

定理2表明fω(s)在任何水平线上的增长性其实与fω(s)，f(s)在整个水平面上的增长性a.s.是相同的。

由定理2可知，Hlibert空间上的随机Dirichlet级数在水平直线上的增长性也有相同的性质，即不论它们的收敛域是全平面还是半平面，它们a.s.在每一条水平线或水平半直线上，并且所有带形上与整个收敛域上有相同的增长级。

（References）

［1］田范基.双随机狄里克莱级数的收敛性［J］.数学物理学报，1998，18（4）：419-428.

［2］田范基.随机Dirichlet级数在水平直线上的增长性［J］.湖北大学学报：自然科学版，2000，22（3）：232-238.

［3］岳超，孙道椿.Dirichlet级数与随机Dirichlet级数在半平面内的增长性［J］.华南师范大学学报：自然科学版，2011（2）：23-27.

［4］余家荣，丁晓庆，田范基.Dirichlet级数与随机Dirichlet级数值分布［M］.武汉：武汉大学出版社，2004.

［5］张莹莹.右半平面上随机Dirichlet级数的增长性［J］.纺织高校基础科学学报，2010，23（4）：460-463.

［6］刘薇，常振海，何万生.半平面上随机Dirichlet级数的增长性［J］.信阳师范学院学报，2010，23（2）：169-171.

［7］余家荣.狄里克莱级数与随机狄里克莱级数［M］.北京：科学出版社，1997.

［8］王志刚，田范基.随机Dirichlet级数在L2中的收敛性［J］.河北大学学报：自然科学版，2011，31（6）：561-566.

（责任编辑：强士端）

Growth of H Values Random Dirichlet Series on Horizontal Lines

SUN Fei
（School of Mathematics and Statistics，Hubei University，Wuhan 430062，Hubei，China）

Mainly studies growth of the random Dirichlet series and growth of the H talues random Dirichlet series on the horizontal lines.Discusses the value of rendom Dirichlet series in the Hilbert space.Some important results are obtained：the H values random Dirichlet series，no matter their convergence domain is the whole plane or half plane，they a.s.have the same growth on every hori⁃zontal line as well as every strip and the whole convergence domain.

random Dirichlet series；Hilbert space；convergence

O211.6

A

1673-0143（2014）04-0020-05

2014-05-04

孙飞（1989—），男，硕士生，研究方向：随机Dirichlet级数。