初中数学教学如何引导学生克服思维定势

邓宝娟

摘 要：教学实践表明，初中生在数学的学习中容易受思维定势的消极影响，使学生墨守成规，难以涌出新思维，做出新决策，造成知识和经验的负迁移，影响解题的效率。本文从巧用新旧比较、一题多解、一题多变、设计开放题等几方面阐述了数学教学中教师如何引导学生克服思维定势的消极影响，发展创新思维。

关键词：思维定势；初中数学教学；克服

“思维定势”属心理学概念，是人们从事某项心理活动的一种心理准备状态，也是人们长期形成的一种习惯思维方向。具体来说，就是人们在长期的思维过程中所形成的一种思维条件反射（投影），或者说是一种固定的思维方式。一种方法的反复运用往往会形成方法定势。例如：学生在学习了全等三角形的性质与判定后，凡是碰到要证明两条线段相等或证明两个角相等的证明题，都千篇一律地想到通过证明两个三角形全等得到两条线段相等或两个角相等，脑子一时想不起证明两条线段相等或两个角相等的方法。再如：学生在学习了分式方程的解法以后，突然碰到分式化简的题目就习惯性地对它去分母。那么怎样才能引导学生突破思维定势呢？笔者认为应从下面几个方面去努力：

一、巧用新旧比较，同中求异，突破思维定势

学生在学习数学知识的过程中，有许多数学概念、法则、公式等或者内容相近、相似，或者形式相近、相似，对于一些容易混淆的概念，通过比较可以了解它们之间的区别与联系，使其本质特征更清晰。如在讲解三角形的内切圆及内心的概念时，可引导学生与三角形的外接圆及外心进行比较，通过比较，使学生混淆这两个概念的程度降到最低。又如：在完成了二次函数这一部分的教学后，可引导学生与以前学过的解方程、分解因式、解不等式进行比较，归纳它们的相同点和不同点，让学生明确以下四题：（1）解方程x2+2x-3=0；（2）分解因式x2+2x-3；（3）解不等式x2+2x-3﹤0（初中阶段只要求通过观察抛物线y=x2+2x-3的图象写出不等式x2+2x-3﹤0的解集）；（4）求抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点坐标。这些题虽然涉及的知识点各异，表达形式不同，但归根结底是一个解方程的问题，只要第一个问题解决了，其它问题就迎刃而解了。再如：在讲解梯形的概念时，可要求学生比较梯形与平行四边形两种图形的相同点和不同点。学生通过比较和总结不难得出，两种图形的相同点是它们都是四边形，都至少有一组对边平行；不同点是平行四边形的两组对边分别都平行，而梯形只有一组对边平行，另一组对边不平行。通过比较这两个概念的异同点，学生很容易抓住它们的本质属性，促进对概念的理解和记忆。教师要引导学生认识到梯形是一个组合图形，是由特殊的平行四边形和三角形组合而成的，所以它基本上没什么性质，而是通过图形分解，转化为平行四边形和三角形来解决问题的。学生如果明确了这一点，那么碰到有关梯形的问题也就能自觉地添加辅助线解决问题了。如果进一步能够弄清四边形与三角形如何拼成梯形，那么，对于如何添加辅助线将梯形转化为特殊的平行四边形以及三角形就不是特别困难了。

二、巧用一题多解，多向思考，突破思维定势

教学实践表明，克服消极的心态定势，要从改变学生解题思维的常态入手，打破不同的解题方法之间的壁垒，找到它们之间的联系，并且在使用中要启发学生关注这些联系。关注一些数学一题多解是培养发散思维的很好形式，有利于知识的建立和认识上的飞跃，同时也可扩展学生独立学习的自由度，为提高解题能力创造有利的条件。灵活的思维方式与创造性思维是密切相关的，如果一个学生只会以一种固定的方式或教师教的方法去思考和处理问题，是无法产生创造力的。教师应该让学生养成一种多角度思考问题的习惯和思维方法，不能拘泥于一个角度、一种模式，以免造成学生思路方法单一，思维僵化。在平时教学中应鼓励学生解题从多角度、多方面去思考，不断启发学生的求异思维。让学生在求异思维中生“慧眼”，透过重重“迷雾”洞察一切，以探求更巧妙的解题方法。例如，教学下面的例1、例2时，可引导学生从经历探究不同的解题思路过程中，筛选出最优的解题方法。

例1：一条抛物线y=ax2+bx+c经过（-1，0）与（3，0），最高点纵坐标是4，求这条抛物线的解析式。

分析：本题按常规解法，先把（-1，0）（3，0）两点坐标代入y=ax2+bx+c，再根据顶点坐标公式，得到方程组，求出a，b，c，进而求出抛物线的解析式，但解方程组难度较大。也可用抛物线的顶点式，设抛物线解析式为y=a（x-h）2+4，再把（-1，0），（3，0）两点坐标代入，转化为解方程组，解方程组求a、h也很困难。现考虑抛物线的对称性，（-1，0）与（3，0）恰好是抛物线与x轴的两个交点，则抛物线对称轴是直线x=1，则抛物线顶点是（1，4），设抛物线为y=a（x-1）2+4，将点（-1，0）坐标代入很容易求出a，进而求出抛物线解析式。这是可以根据题目特点，鼓励学生另避途径来间接地达到目的。经过这样的训练，学生的创造性思维将得到不断提高和拓展。

例2：已知a，b满足ab=1，那么■+■= .

方法一：特值法，将a=1，b=1代入所求式子得■+■=■+■=1

方法二：将a=■代入所求式子得■+■=■+■=■+■=1

方法三：将1=ab代入所求式子得■+■=■+■=■+■=1

方法四：通分得■+■=■+■

=■+■

=■+■

=■

=1

方法五：■+■=■+■=■+■=■=1

引导学生对比以上五种解法，可看出方法一是最简单的。

三、巧用一题多变，多题归一，突破思维定势

“数学是题的海洋”，教师不能要求学生做遍所有的数学题，这是不可能的。对学生进行一题多变的训练，是巩固基础知识、培养能力的一种重要手段，同时对培养学生思维的深刻性和广阔性是非常重要的。在平时的教学中，教师可以引导学生通过很多途径对课本的例、习题进行变式，如：改变条件、改变结论、改变数据或图形，条件引申或结论拓展，条件开放或结论开放或条件、结论同时开放等。通过一题多变、多题归一的训练，可以把各个阶段所学的知识、知识的各个方面紧密联系起来，加深对知识的理解，认识和体会数学是一个整体，但更重要的是可以达到解一道题懂一类题的目的，更能激发学生的学习兴趣、创新意识和探索精神，培养他们的创新能力，学会学习。

下面的例3可作如下的变式让学生练习。

例3：如图1，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点F、E分别在AB、CD的延长线上，且CF=BC，AE=AD。

■

（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。

变式1：如图2，在平行四边形ABCD中，点F、E分别是AB、CD的延长线上的一点，△ADE是等边三角形。

求证：四边形AFCE是平行四边形。

变式2：如图3，在平行四边形ABCD中，点F、E分别是AB、CD的延长线上的一点，且OA=OC。

求证：四边形AFCE是平行四边形。

■

变式3：如图4，在平行四边形ABCD中，点F、E分别是AB、CD的延长线上的一点，且OF=OE。

求证：四边形AFCE是平行四边形。

变式4：如图5，在平行四边形ABCD中，分别在一组对边AD、CB的外侧做两个等边三角形△ADE和△CBF。

求证：四边形AFCE、BEDF是平行四边形。

■

四、巧用开放题，举一反三，突破思维能力定势

开放题教学作为一种新的教学形式，能够调动学生学习的主动性，拓展学生的思维空间，有利于培养学生的表述能力和批判、评价能力，有利于提高学生应用数学的能力。经常设计开放性的题目让学生训练，也是突破思维定势的一种很好形式，由于开放性问题的结论不确定（或不惟一），或条件不完备，或者推理不确定的，需由解答者依题进行探索，确定结论或者补充条件或选择不同的解题策略后再解题。这类题目有助于培养学生思维的深刻性、广阔性、灵活性、缜密性、创造性和批判性；能引起学生认知结构上的顺应，从而使学生认知结构发生质的变化，使他们的知识水平和数学能力得到较大程度的提高；能激发学生学习数学的兴趣，使学生乐于参与，久而久之就会成为学生主动学习的动力；对于训练或考查学生的发展思维进而培养创新能力是十分有利的，因此在近年来的各类试题中越来越受到重视。

例如：实施“一元二次方程”教学时，笔者不直接把概念给学生，也没有让学生观察一个一元二次方程去归纳概念，而是让学生依照一元二次方程这个名称，自己设计一个概念，并举例加以说明，结果学生刚开始设计出的概念多数类似于“含有一个个未知数且未知数的次数是二次的方程”，在通过不断的举例、讨论和修改之后才逐渐接近书本上的概念。又如：在指导九年级学生中考前复习函数这部分内容时可设计下面的例4让学生训练，在复习平行四边形的性质与判定这部分内容时可设计下面的例5让学生训练。

例4：已知函数的图象经过（3，3）（1，-1）两点，请你写出满足上述条件的函数解析式，并简要说明解答过程。

分析：该题函数解析式的类型末知，因此所求的函数可能为直线、双曲线、抛物线等，结论不确定，是一道结论开放题，此题既考查数学基本方法——待定系数法，又能训练学生思维的逻辑性和严密性。

例5：已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD，请你从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）

A.3种 B.4种 C.5种 D.6种

分析：这是一道条件开放题，题目给出了部分条件及确定的结论，目的在于考查学生对平行四边形判定的理解和应用，要求学生深入认识题中的内在联系，选出能得出结论的两个条件就能解决。

通过上述例题的实践，促进了学生对所学数学知识的系统掌握，初步养成了学生解题时认真分析问题、仔细审题的习惯。在平时的教学中教师也将例题、习题改造为为开放性问题，也可在处理课外作业时适时给出一定的开放题，让学生有足够的时间和空间去思考，以培养学生的发散思维及独立解决问题的能力。

参考文献：

李红霞，马亚军，等.初中数学竞赛培优举一反三[M].西安：陕西人民教育出版社，2005.

下面的例3可作如下的变式让学生练习。

例3：如图1，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点F、E分别在AB、CD的延长线上，且CF=BC，AE=AD。

■

（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。

变式1：如图2，在平行四边形ABCD中，点F、E分别是AB、CD的延长线上的一点，△ADE是等边三角形。

求证：四边形AFCE是平行四边形。

变式2：如图3，在平行四边形ABCD中，点F、E分别是AB、CD的延长线上的一点，且OA=OC。

求证：四边形AFCE是平行四边形。

■

变式3：如图4，在平行四边形ABCD中，点F、E分别是AB、CD的延长线上的一点，且OF=OE。

求证：四边形AFCE是平行四边形。

变式4：如图5，在平行四边形ABCD中，分别在一组对边AD、CB的外侧做两个等边三角形△ADE和△CBF。

求证：四边形AFCE、BEDF是平行四边形。

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四、巧用开放题，举一反三，突破思维能力定势

开放题教学作为一种新的教学形式，能够调动学生学习的主动性，拓展学生的思维空间，有利于培养学生的表述能力和批判、评价能力，有利于提高学生应用数学的能力。经常设计开放性的题目让学生训练，也是突破思维定势的一种很好形式，由于开放性问题的结论不确定（或不惟一），或条件不完备，或者推理不确定的，需由解答者依题进行探索，确定结论或者补充条件或选择不同的解题策略后再解题。这类题目有助于培养学生思维的深刻性、广阔性、灵活性、缜密性、创造性和批判性；能引起学生认知结构上的顺应，从而使学生认知结构发生质的变化，使他们的知识水平和数学能力得到较大程度的提高；能激发学生学习数学的兴趣，使学生乐于参与，久而久之就会成为学生主动学习的动力；对于训练或考查学生的发展思维进而培养创新能力是十分有利的，因此在近年来的各类试题中越来越受到重视。

例如：实施“一元二次方程”教学时，笔者不直接把概念给学生，也没有让学生观察一个一元二次方程去归纳概念，而是让学生依照一元二次方程这个名称，自己设计一个概念，并举例加以说明，结果学生刚开始设计出的概念多数类似于“含有一个个未知数且未知数的次数是二次的方程”，在通过不断的举例、讨论和修改之后才逐渐接近书本上的概念。又如：在指导九年级学生中考前复习函数这部分内容时可设计下面的例4让学生训练，在复习平行四边形的性质与判定这部分内容时可设计下面的例5让学生训练。

例4：已知函数的图象经过（3，3）（1，-1）两点，请你写出满足上述条件的函数解析式，并简要说明解答过程。

分析：该题函数解析式的类型末知，因此所求的函数可能为直线、双曲线、抛物线等，结论不确定，是一道结论开放题，此题既考查数学基本方法——待定系数法，又能训练学生思维的逻辑性和严密性。

例5：已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD，请你从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）

A.3种 B.4种 C.5种 D.6种

分析：这是一道条件开放题，题目给出了部分条件及确定的结论，目的在于考查学生对平行四边形判定的理解和应用，要求学生深入认识题中的内在联系，选出能得出结论的两个条件就能解决。

通过上述例题的实践，促进了学生对所学数学知识的系统掌握，初步养成了学生解题时认真分析问题、仔细审题的习惯。在平时的教学中教师也将例题、习题改造为为开放性问题，也可在处理课外作业时适时给出一定的开放题，让学生有足够的时间和空间去思考，以培养学生的发散思维及独立解决问题的能力。

参考文献：

李红霞，马亚军，等.初中数学竞赛培优举一反三[M].西安：陕西人民教育出版社，2005.

下面的例3可作如下的变式让学生练习。

例3：如图1，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点F、E分别在AB、CD的延长线上，且CF=BC，AE=AD。

■

（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。

变式1：如图2，在平行四边形ABCD中，点F、E分别是AB、CD的延长线上的一点，△ADE是等边三角形。

求证：四边形AFCE是平行四边形。

变式2：如图3，在平行四边形ABCD中，点F、E分别是AB、CD的延长线上的一点，且OA=OC。

求证：四边形AFCE是平行四边形。

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变式3：如图4，在平行四边形ABCD中，点F、E分别是AB、CD的延长线上的一点，且OF=OE。

求证：四边形AFCE是平行四边形。

变式4：如图5，在平行四边形ABCD中，分别在一组对边AD、CB的外侧做两个等边三角形△ADE和△CBF。

求证：四边形AFCE、BEDF是平行四边形。

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四、巧用开放题，举一反三，突破思维能力定势

开放题教学作为一种新的教学形式，能够调动学生学习的主动性，拓展学生的思维空间，有利于培养学生的表述能力和批判、评价能力，有利于提高学生应用数学的能力。经常设计开放性的题目让学生训练，也是突破思维定势的一种很好形式，由于开放性问题的结论不确定（或不惟一），或条件不完备，或者推理不确定的，需由解答者依题进行探索，确定结论或者补充条件或选择不同的解题策略后再解题。这类题目有助于培养学生思维的深刻性、广阔性、灵活性、缜密性、创造性和批判性；能引起学生认知结构上的顺应，从而使学生认知结构发生质的变化，使他们的知识水平和数学能力得到较大程度的提高；能激发学生学习数学的兴趣，使学生乐于参与，久而久之就会成为学生主动学习的动力；对于训练或考查学生的发展思维进而培养创新能力是十分有利的，因此在近年来的各类试题中越来越受到重视。

例如：实施“一元二次方程”教学时，笔者不直接把概念给学生，也没有让学生观察一个一元二次方程去归纳概念，而是让学生依照一元二次方程这个名称，自己设计一个概念，并举例加以说明，结果学生刚开始设计出的概念多数类似于“含有一个个未知数且未知数的次数是二次的方程”，在通过不断的举例、讨论和修改之后才逐渐接近书本上的概念。又如：在指导九年级学生中考前复习函数这部分内容时可设计下面的例4让学生训练，在复习平行四边形的性质与判定这部分内容时可设计下面的例5让学生训练。

例4：已知函数的图象经过（3，3）（1，-1）两点，请你写出满足上述条件的函数解析式，并简要说明解答过程。

分析：该题函数解析式的类型末知，因此所求的函数可能为直线、双曲线、抛物线等，结论不确定，是一道结论开放题，此题既考查数学基本方法——待定系数法，又能训练学生思维的逻辑性和严密性。

例5：已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD，请你从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）

A.3种 B.4种 C.5种 D.6种

分析：这是一道条件开放题，题目给出了部分条件及确定的结论，目的在于考查学生对平行四边形判定的理解和应用，要求学生深入认识题中的内在联系，选出能得出结论的两个条件就能解决。

通过上述例题的实践，促进了学生对所学数学知识的系统掌握，初步养成了学生解题时认真分析问题、仔细审题的习惯。在平时的教学中教师也将例题、习题改造为为开放性问题，也可在处理课外作业时适时给出一定的开放题，让学生有足够的时间和空间去思考，以培养学生的发散思维及独立解决问题的能力。

参考文献：

李红霞，马亚军，等.初中数学竞赛培优举一反三[M].西安：陕西人民教育出版社，2005.