数形结合:一种重要数学思维模式的实践与认识

付梦琳+刘海峰++周庆桦

摘 要：数形结合是学习数学的一种重要思维方式。本文通过3个题例分析，从数形结合角度探索解题途径，对数形结合模式在解题中的方便之处进行梳理和总结，从学习角度对这一经典的数学思维方法的理解与把握方面谈谈自己在学习中的体会，以期与同学们共同提高数学思维能力。

关键词：数形结合；解题；化繁为简

一、引言

数学大师华罗庚曾精彩地诠释：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事休。”恩格斯也曾说过：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。”数形结合是一种重要的数学思维方法，利用这种手段解题常常达到事半功倍的效果。“数”反映数量关系，有精确性；“形”反映图形性质，有直观性。数形结合就是将抽象的数学语言和直观的几何图形结合起来，让代数运算法与直观图像法优势互补，抽象思维和形象思维共同运作，将复杂的数学问题化繁为简，找到解决问题的最佳方案。

二、数形结合的途径

在数学学习中，我们总能发现“数”和“形”是分不开的。化形为数的桥梁是解析几何，涉及到代数运算的方程组求解、变量代换、不等式的构造与求解等方面，特别是在求异面直线构成的角、线面角、面与面构成的角以及判断点线面的位置关系等问题中，向量的代数运算起着至关重要的作用。化数为形的例子也不胜枚举，如解决函数问题时，画出大致图像对解题有很大的帮助；判断函数单调性、确定函数零点、寻找函数最值等方面化数为形的途径常常为解决问题提供直观印象及解题途径启示。总之,数形结合以数解形，以形助数，化繁为简，化难为易是一种重要的数学思维模式。

三、数形结合实例及思路分析

本文通过几个数形结合的题例分析，探讨其在数学问题处理上的一般思路、解题技巧及方法总结，以期与同学一起培养借助这种数学模式处理具体问题的数学思维能力。分析下面题例：

例1：已知椭圆C:■+■=1,在C上任取三个不同的点P1，P2，P3，使得∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3，证明■+■+■为定值，并求出该值。

分析：与椭圆标准方程■+■=1对比，此处a=6，b=3■，c=3，准线x=12，a=1/2。

设∠AFP1=α?圯∠AFP2=α+2x/3∠AFP3=α+4x/3（按逆时针方向），记|FP1|=x1，则|FM1|=x1cosα，点P1到准线距离为2x1，由FD=FM+MD=x1cosα+2x1=■-c=9，故有x1=■?圯■=■，同理■=■，■=■,因此■+■+■=■=■.

点评：条件∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3为我们表示FP1,FP2,FP3提供了便利，也暗示了我们本题可能需要寻求几何方法而非仅凭代数手段硬算。尽管解析几何题一般思路是联立方程组求解，但根据圆锥曲线椭圆的定义和几何性质解题，往往是简化解题过程的最佳手段。这题若是用点斜式设出方程与椭圆方程联立，再利用韦达定理和弦长公式解出线段FP1长度，类似解出FP2,FP3长度，同样可得到结果，但运算量过大，非最佳策略。

例2：如果三个正实数x，y，z满足x2+y2+xy=■，x2+z2+xz=■，y2+z2+yz=36，求xy+yz+zx的值。

解：将三个等式变形为x2+y2-2xycos120°=(■)2，x2+z2-2xzcos120°=(■)2，y2+z2-2yzcos120°=62，如图，构造△PBC、△PCA、△PAB，使PB=x，PA=y，PC=z.∠BPC=∠CPA=∠APB=120。AB=13/2,BC=5/2,AC=6.由勾股定理,△ABC是一个直角三角形.由S△ABC=S△PBC+S△PAC=S△PAB

易得：■（xy+yz+zx）sin120°=■，从而得xy+yz+zx=10■.

点评：从原题条件出发，根据题设表达式构造基本几何图形是解答此题的关键。观察题目给的三个条件，很容易联想到余弦定理；三个数据也与勾股数相关，这些都提示我们将这个问题放到三角形中研究。这样问题就显得清晰、简单、直观。

例3：已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x没有实数根。

问：f(f(x))=x是否有实数根？并证明你的结论。

解法一：分析法

假设f(f(x))=x有实根，即存在实数x0使得f(f(x0)=x0，令f(x0)=t，此时有点A(x0,t),B(t,x0)都是y=f(x)上的点。由于f(x)=x没有实数根，所以A，B这两点不重合且关于直线y=x对称。

所以y=f(x)=ax2+bx+c与y=x必有交点，即f(x)=x有实根，与条件矛盾，所以f(f(x))=x没有实数根。

解法二：数形结合图像法

当a>0时，∵f(x)=x无实根，∴?坌x,f(x)>x,f(f(x))>f(x)>x对，∴f(f(x))=x无实数根；当a<0时，同理可证f(f(x))

■

点评：本题一题多解，通过比较，我们发现方法一简洁严谨，方法二最直观易懂。

摘 要：数形结合是学习数学的一种重要思维方式。本文通过3个题例分析，从数形结合角度探索解题途径，对数形结合模式在解题中的方便之处进行梳理和总结，从学习角度对这一经典的数学思维方法的理解与把握方面谈谈自己在学习中的体会，以期与同学们共同提高数学思维能力。

关键词：数形结合；解题；化繁为简

一、引言

数学大师华罗庚曾精彩地诠释：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事休。”恩格斯也曾说过：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。”数形结合是一种重要的数学思维方法，利用这种手段解题常常达到事半功倍的效果。“数”反映数量关系，有精确性；“形”反映图形性质，有直观性。数形结合就是将抽象的数学语言和直观的几何图形结合起来，让代数运算法与直观图像法优势互补，抽象思维和形象思维共同运作，将复杂的数学问题化繁为简，找到解决问题的最佳方案。

二、数形结合的途径

在数学学习中，我们总能发现“数”和“形”是分不开的。化形为数的桥梁是解析几何，涉及到代数运算的方程组求解、变量代换、不等式的构造与求解等方面，特别是在求异面直线构成的角、线面角、面与面构成的角以及判断点线面的位置关系等问题中，向量的代数运算起着至关重要的作用。化数为形的例子也不胜枚举，如解决函数问题时，画出大致图像对解题有很大的帮助；判断函数单调性、确定函数零点、寻找函数最值等方面化数为形的途径常常为解决问题提供直观印象及解题途径启示。总之,数形结合以数解形，以形助数，化繁为简，化难为易是一种重要的数学思维模式。

三、数形结合实例及思路分析

本文通过几个数形结合的题例分析，探讨其在数学问题处理上的一般思路、解题技巧及方法总结，以期与同学一起培养借助这种数学模式处理具体问题的数学思维能力。分析下面题例：

例1：已知椭圆C:■+■=1,在C上任取三个不同的点P1，P2，P3，使得∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3，证明■+■+■为定值，并求出该值。

分析：与椭圆标准方程■+■=1对比，此处a=6，b=3■，c=3，准线x=12，a=1/2。

设∠AFP1=α?圯∠AFP2=α+2x/3∠AFP3=α+4x/3（按逆时针方向），记|FP1|=x1，则|FM1|=x1cosα，点P1到准线距离为2x1，由FD=FM+MD=x1cosα+2x1=■-c=9，故有x1=■?圯■=■，同理■=■，■=■,因此■+■+■=■=■.

点评：条件∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3为我们表示FP1,FP2,FP3提供了便利，也暗示了我们本题可能需要寻求几何方法而非仅凭代数手段硬算。尽管解析几何题一般思路是联立方程组求解，但根据圆锥曲线椭圆的定义和几何性质解题，往往是简化解题过程的最佳手段。这题若是用点斜式设出方程与椭圆方程联立，再利用韦达定理和弦长公式解出线段FP1长度，类似解出FP2,FP3长度，同样可得到结果，但运算量过大，非最佳策略。

例2：如果三个正实数x，y，z满足x2+y2+xy=■，x2+z2+xz=■，y2+z2+yz=36，求xy+yz+zx的值。

解：将三个等式变形为x2+y2-2xycos120°=(■)2，x2+z2-2xzcos120°=(■)2，y2+z2-2yzcos120°=62，如图，构造△PBC、△PCA、△PAB，使PB=x，PA=y，PC=z.∠BPC=∠CPA=∠APB=120。AB=13/2,BC=5/2,AC=6.由勾股定理,△ABC是一个直角三角形.由S△ABC=S△PBC+S△PAC=S△PAB

易得：■（xy+yz+zx）sin120°=■，从而得xy+yz+zx=10■.

点评：从原题条件出发，根据题设表达式构造基本几何图形是解答此题的关键。观察题目给的三个条件，很容易联想到余弦定理；三个数据也与勾股数相关，这些都提示我们将这个问题放到三角形中研究。这样问题就显得清晰、简单、直观。

例3：已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x没有实数根。

问：f(f(x))=x是否有实数根？并证明你的结论。

解法一：分析法

假设f(f(x))=x有实根，即存在实数x0使得f(f(x0)=x0，令f(x0)=t，此时有点A(x0,t),B(t,x0)都是y=f(x)上的点。由于f(x)=x没有实数根，所以A，B这两点不重合且关于直线y=x对称。

所以y=f(x)=ax2+bx+c与y=x必有交点，即f(x)=x有实根，与条件矛盾，所以f(f(x))=x没有实数根。

解法二：数形结合图像法

当a>0时，∵f(x)=x无实根，∴?坌x,f(x)>x,f(f(x))>f(x)>x对，∴f(f(x))=x无实数根；当a<0时，同理可证f(f(x))

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点评：本题一题多解，通过比较，我们发现方法一简洁严谨，方法二最直观易懂。

摘 要：数形结合是学习数学的一种重要思维方式。本文通过3个题例分析，从数形结合角度探索解题途径，对数形结合模式在解题中的方便之处进行梳理和总结，从学习角度对这一经典的数学思维方法的理解与把握方面谈谈自己在学习中的体会，以期与同学们共同提高数学思维能力。

关键词：数形结合；解题；化繁为简

一、引言

数学大师华罗庚曾精彩地诠释：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事休。”恩格斯也曾说过：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。”数形结合是一种重要的数学思维方法，利用这种手段解题常常达到事半功倍的效果。“数”反映数量关系，有精确性；“形”反映图形性质，有直观性。数形结合就是将抽象的数学语言和直观的几何图形结合起来，让代数运算法与直观图像法优势互补，抽象思维和形象思维共同运作，将复杂的数学问题化繁为简，找到解决问题的最佳方案。

二、数形结合的途径

在数学学习中，我们总能发现“数”和“形”是分不开的。化形为数的桥梁是解析几何，涉及到代数运算的方程组求解、变量代换、不等式的构造与求解等方面，特别是在求异面直线构成的角、线面角、面与面构成的角以及判断点线面的位置关系等问题中，向量的代数运算起着至关重要的作用。化数为形的例子也不胜枚举，如解决函数问题时，画出大致图像对解题有很大的帮助；判断函数单调性、确定函数零点、寻找函数最值等方面化数为形的途径常常为解决问题提供直观印象及解题途径启示。总之,数形结合以数解形，以形助数，化繁为简，化难为易是一种重要的数学思维模式。

三、数形结合实例及思路分析

本文通过几个数形结合的题例分析，探讨其在数学问题处理上的一般思路、解题技巧及方法总结，以期与同学一起培养借助这种数学模式处理具体问题的数学思维能力。分析下面题例：

例1：已知椭圆C:■+■=1,在C上任取三个不同的点P1，P2，P3，使得∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3，证明■+■+■为定值，并求出该值。

分析：与椭圆标准方程■+■=1对比，此处a=6，b=3■，c=3，准线x=12，a=1/2。

设∠AFP1=α?圯∠AFP2=α+2x/3∠AFP3=α+4x/3（按逆时针方向），记|FP1|=x1，则|FM1|=x1cosα，点P1到准线距离为2x1，由FD=FM+MD=x1cosα+2x1=■-c=9，故有x1=■?圯■=■，同理■=■，■=■,因此■+■+■=■=■.

点评：条件∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3为我们表示FP1,FP2,FP3提供了便利，也暗示了我们本题可能需要寻求几何方法而非仅凭代数手段硬算。尽管解析几何题一般思路是联立方程组求解，但根据圆锥曲线椭圆的定义和几何性质解题，往往是简化解题过程的最佳手段。这题若是用点斜式设出方程与椭圆方程联立，再利用韦达定理和弦长公式解出线段FP1长度，类似解出FP2,FP3长度，同样可得到结果，但运算量过大，非最佳策略。

例2：如果三个正实数x，y，z满足x2+y2+xy=■，x2+z2+xz=■，y2+z2+yz=36，求xy+yz+zx的值。

解：将三个等式变形为x2+y2-2xycos120°=(■)2，x2+z2-2xzcos120°=(■)2，y2+z2-2yzcos120°=62，如图，构造△PBC、△PCA、△PAB，使PB=x，PA=y，PC=z.∠BPC=∠CPA=∠APB=120。AB=13/2,BC=5/2,AC=6.由勾股定理,△ABC是一个直角三角形.由S△ABC=S△PBC+S△PAC=S△PAB

易得：■（xy+yz+zx）sin120°=■，从而得xy+yz+zx=10■.

点评：从原题条件出发，根据题设表达式构造基本几何图形是解答此题的关键。观察题目给的三个条件，很容易联想到余弦定理；三个数据也与勾股数相关，这些都提示我们将这个问题放到三角形中研究。这样问题就显得清晰、简单、直观。

例3：已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x没有实数根。

问：f(f(x))=x是否有实数根？并证明你的结论。

解法一：分析法

假设f(f(x))=x有实根，即存在实数x0使得f(f(x0)=x0，令f(x0)=t，此时有点A(x0,t),B(t,x0)都是y=f(x)上的点。由于f(x)=x没有实数根，所以A，B这两点不重合且关于直线y=x对称。

所以y=f(x)=ax2+bx+c与y=x必有交点，即f(x)=x有实根，与条件矛盾，所以f(f(x))=x没有实数根。

解法二：数形结合图像法

当a>0时，∵f(x)=x无实根，∴?坌x,f(x)>x,f(f(x))>f(x)>x对，∴f(f(x))=x无实数根；当a<0时，同理可证f(f(x))

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点评：本题一题多解，通过比较，我们发现方法一简洁严谨，方法二最直观易懂。