巧用迁移思想，解决高代难题

何守元

摘 要： 本文从三个方面阐述了中学数学思想和方法在高等代数解题中的应用，并指出它既是解决高等代数疑难问题的有效途径，又是学习、研究高等代数的有效方法.

关键词： 迁移 中学数学思想和方法 高等代数

高等代数中的许多内容很抽象，逻辑十分严密，初学者在学习中普遍感到困难.这不仅与学生的数学基础有关，而且与学生的认识方法论也有很大关系.越是抽象内容的学习，越是迫切需要初学者在已有认知结构和认识结构中找到理解抽象知识的支撑点.

中学数学是学习高等代数的基础，其丰富的数学思想和方法对高等代数的学习具有重要的指导作用.正确迁移中学数学知识特别是思想和方法解决高等代数的问题，既是解决高等代数疑难问题的有效途径，又是一种高效的学习方法.

一、迁移中学数学的思想和方法，解决多项式的疑难问题

多项式中命题的证明，是初学者首先会碰到的一个难题.导致学习困难的主要原因是脱离中学数学，认识方法不当.解决这个问题的有效方法就是：归类认识，总结规律，正确迁移中学数学的思想和方法.

1.凡结论只涉及正反两面的命题，均可尝试用反证法证之.

反证法的本质是证明命题的逆否命题成立.相当于换一个途径证明命题，蕴含了化归思想.程序是：否定结论，推出矛盾.在高等代数各章内容中都有广泛的应用.

例1：证明：若f（x）是一个正系数多项式，且f（0）、f（1）都是奇数，则f（x）没有整数根.

证明：假设f（x）存在整数根x，则必存在q（x）∈z[x]，使得： f（x）=（x-α）q（x），从而有：f（0）=（-α）q（0）f（1）=（1-α）q（1），因为f（0）、f（1）都是奇数，q（0）、q（1）都是整数，由整数的奇偶性关系知：-α、1-α必是奇数，即：α既是奇数又是偶数，这不可能.故f（x）没有整数根.

2.凡证明互素的命题，都可尝试用配凑法证之.

证明互素的命题，关键是要根据已知条件，应用中学数学的配凑法，找到多项式u（x）、v（x），使f（x）u（x）+g（x）v（x）=1成立.其本质是：代数式的恒等变形思想.

例2：已知：f（x）、g（x）互素，证明：（f（x），f（x）+g（x））=（f（x）+g（x），g（x））=（f（x）g（x），f（x）+g（x））=1.

证明：由（f（x），g（x））=1？圳？埚u（x）、v（x），使得：f（x）u（x）+g（x）v（x）=1，配凑得：f（x）[u（x）-v（x）]+[f（x）+g（x）]v（x）=1[f（x）+g（x）]u（x）+g（x）[v（x）-u（x）]=1.

从而有：（f（x），f（x）+g（x））=（f（x）+g（x），g（x））=1.

又因为：f（x）g（x）[u（x）-v（x）]+[f（x）+g（x）]g（x）v（x）= g（x），所以f（x）g（x），f（x）+g（x）的任意公因式h（x），都是f（x）、g（x）的公因式；反之亦然.从而有：（f（x）g（x），f（x）+g（x））=（f（x），g（x））=1.[1]

4.凡涉及多项式、商式、余式系数的命题，都可尝试用待定系数法解之.

使用待定系数法时，多项式应设为标准式，且遵循次数定理.

例4：设多项式f（x）被x-1、x-2、x-3除所得余数依次为4、8、16，求f（x）被（x-1）（x-2）（x-3）除所得余式.

由余数定理可得方程组：f（1）=a+b+c=4f（x）=4a+2b+c=8f（3）=9a+3b+c=16，解之得：a=2，b=-2，c=4.

5.涉及多项式函数值及判别抽象数的属性的命题，可尝试用构造法证之.

根据已知条件构造方程（组）、函数或多项式证明命题，是中学数学常用的方法，在高等代数中也有广泛应用.

二、迁移中学数学因式分解的方法和公式，证明矩阵可逆并求出逆矩阵

三、涉及抽象矩阵的特征根与特征向量的问题，可迁移等量替换、恒等变形的思想求解

参考文献：

[1]马訾伟等主编.高等代数全程导学及习题全解（第五版）.中国时代经济出版社，2010.11：29、52.

[2]杨子胥主编.高等代数精选题解（第一版），高等教育出版社，2008.6：180-182.

[3][4]毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳（第2版），华中科技大学出版社，2003.3：90，322.endprint

摘 要： 本文从三个方面阐述了中学数学思想和方法在高等代数解题中的应用，并指出它既是解决高等代数疑难问题的有效途径，又是学习、研究高等代数的有效方法.

关键词： 迁移 中学数学思想和方法 高等代数

高等代数中的许多内容很抽象，逻辑十分严密，初学者在学习中普遍感到困难.这不仅与学生的数学基础有关，而且与学生的认识方法论也有很大关系.越是抽象内容的学习，越是迫切需要初学者在已有认知结构和认识结构中找到理解抽象知识的支撑点.

中学数学是学习高等代数的基础，其丰富的数学思想和方法对高等代数的学习具有重要的指导作用.正确迁移中学数学知识特别是思想和方法解决高等代数的问题，既是解决高等代数疑难问题的有效途径，又是一种高效的学习方法.

一、迁移中学数学的思想和方法，解决多项式的疑难问题

多项式中命题的证明，是初学者首先会碰到的一个难题.导致学习困难的主要原因是脱离中学数学，认识方法不当.解决这个问题的有效方法就是：归类认识，总结规律，正确迁移中学数学的思想和方法.

1.凡结论只涉及正反两面的命题，均可尝试用反证法证之.

反证法的本质是证明命题的逆否命题成立.相当于换一个途径证明命题，蕴含了化归思想.程序是：否定结论，推出矛盾.在高等代数各章内容中都有广泛的应用.

例1：证明：若f（x）是一个正系数多项式，且f（0）、f（1）都是奇数，则f（x）没有整数根.

证明：假设f（x）存在整数根x，则必存在q（x）∈z[x]，使得： f（x）=（x-α）q（x），从而有：f（0）=（-α）q（0）f（1）=（1-α）q（1），因为f（0）、f（1）都是奇数，q（0）、q（1）都是整数，由整数的奇偶性关系知：-α、1-α必是奇数，即：α既是奇数又是偶数，这不可能.故f（x）没有整数根.

2.凡证明互素的命题，都可尝试用配凑法证之.

证明互素的命题，关键是要根据已知条件，应用中学数学的配凑法，找到多项式u（x）、v（x），使f（x）u（x）+g（x）v（x）=1成立.其本质是：代数式的恒等变形思想.

例2：已知：f（x）、g（x）互素，证明：（f（x），f（x）+g（x））=（f（x）+g（x），g（x））=（f（x）g（x），f（x）+g（x））=1.

证明：由（f（x），g（x））=1？圳？埚u（x）、v（x），使得：f（x）u（x）+g（x）v（x）=1，配凑得：f（x）[u（x）-v（x）]+[f（x）+g（x）]v（x）=1[f（x）+g（x）]u（x）+g（x）[v（x）-u（x）]=1.

从而有：（f（x），f（x）+g（x））=（f（x）+g（x），g（x））=1.

又因为：f（x）g（x）[u（x）-v（x）]+[f（x）+g（x）]g（x）v（x）= g（x），所以f（x）g（x），f（x）+g（x）的任意公因式h（x），都是f（x）、g（x）的公因式；反之亦然.从而有：（f（x）g（x），f（x）+g（x））=（f（x），g（x））=1.[1]

4.凡涉及多项式、商式、余式系数的命题，都可尝试用待定系数法解之.

使用待定系数法时，多项式应设为标准式，且遵循次数定理.

例4：设多项式f（x）被x-1、x-2、x-3除所得余数依次为4、8、16，求f（x）被（x-1）（x-2）（x-3）除所得余式.

由余数定理可得方程组：f（1）=a+b+c=4f（x）=4a+2b+c=8f（3）=9a+3b+c=16，解之得：a=2，b=-2，c=4.

5.涉及多项式函数值及判别抽象数的属性的命题，可尝试用构造法证之.

根据已知条件构造方程（组）、函数或多项式证明命题，是中学数学常用的方法，在高等代数中也有广泛应用.

二、迁移中学数学因式分解的方法和公式，证明矩阵可逆并求出逆矩阵

三、涉及抽象矩阵的特征根与特征向量的问题，可迁移等量替换、恒等变形的思想求解

参考文献：

[1]马訾伟等主编.高等代数全程导学及习题全解（第五版）.中国时代经济出版社，2010.11：29、52.

[2]杨子胥主编.高等代数精选题解（第一版），高等教育出版社，2008.6：180-182.

[3][4]毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳（第2版），华中科技大学出版社，2003.3：90，322.endprint

摘 要： 本文从三个方面阐述了中学数学思想和方法在高等代数解题中的应用，并指出它既是解决高等代数疑难问题的有效途径，又是学习、研究高等代数的有效方法.

关键词： 迁移 中学数学思想和方法 高等代数

高等代数中的许多内容很抽象，逻辑十分严密，初学者在学习中普遍感到困难.这不仅与学生的数学基础有关，而且与学生的认识方法论也有很大关系.越是抽象内容的学习，越是迫切需要初学者在已有认知结构和认识结构中找到理解抽象知识的支撑点.

中学数学是学习高等代数的基础，其丰富的数学思想和方法对高等代数的学习具有重要的指导作用.正确迁移中学数学知识特别是思想和方法解决高等代数的问题，既是解决高等代数疑难问题的有效途径，又是一种高效的学习方法.

一、迁移中学数学的思想和方法，解决多项式的疑难问题

多项式中命题的证明，是初学者首先会碰到的一个难题.导致学习困难的主要原因是脱离中学数学，认识方法不当.解决这个问题的有效方法就是：归类认识，总结规律，正确迁移中学数学的思想和方法.

1.凡结论只涉及正反两面的命题，均可尝试用反证法证之.

反证法的本质是证明命题的逆否命题成立.相当于换一个途径证明命题，蕴含了化归思想.程序是：否定结论，推出矛盾.在高等代数各章内容中都有广泛的应用.

例1：证明：若f（x）是一个正系数多项式，且f（0）、f（1）都是奇数，则f（x）没有整数根.

证明：假设f（x）存在整数根x，则必存在q（x）∈z[x]，使得： f（x）=（x-α）q（x），从而有：f（0）=（-α）q（0）f（1）=（1-α）q（1），因为f（0）、f（1）都是奇数，q（0）、q（1）都是整数，由整数的奇偶性关系知：-α、1-α必是奇数，即：α既是奇数又是偶数，这不可能.故f（x）没有整数根.

2.凡证明互素的命题，都可尝试用配凑法证之.

证明互素的命题，关键是要根据已知条件，应用中学数学的配凑法，找到多项式u（x）、v（x），使f（x）u（x）+g（x）v（x）=1成立.其本质是：代数式的恒等变形思想.

例2：已知：f（x）、g（x）互素，证明：（f（x），f（x）+g（x））=（f（x）+g（x），g（x））=（f（x）g（x），f（x）+g（x））=1.

证明：由（f（x），g（x））=1？圳？埚u（x）、v（x），使得：f（x）u（x）+g（x）v（x）=1，配凑得：f（x）[u（x）-v（x）]+[f（x）+g（x）]v（x）=1[f（x）+g（x）]u（x）+g（x）[v（x）-u（x）]=1.

从而有：（f（x），f（x）+g（x））=（f（x）+g（x），g（x））=1.

又因为：f（x）g（x）[u（x）-v（x）]+[f（x）+g（x）]g（x）v（x）= g（x），所以f（x）g（x），f（x）+g（x）的任意公因式h（x），都是f（x）、g（x）的公因式；反之亦然.从而有：（f（x）g（x），f（x）+g（x））=（f（x），g（x））=1.[1]

4.凡涉及多项式、商式、余式系数的命题，都可尝试用待定系数法解之.

使用待定系数法时，多项式应设为标准式，且遵循次数定理.

例4：设多项式f（x）被x-1、x-2、x-3除所得余数依次为4、8、16，求f（x）被（x-1）（x-2）（x-3）除所得余式.

由余数定理可得方程组：f（1）=a+b+c=4f（x）=4a+2b+c=8f（3）=9a+3b+c=16，解之得：a=2，b=-2，c=4.

5.涉及多项式函数值及判别抽象数的属性的命题，可尝试用构造法证之.

根据已知条件构造方程（组）、函数或多项式证明命题，是中学数学常用的方法，在高等代数中也有广泛应用.

二、迁移中学数学因式分解的方法和公式，证明矩阵可逆并求出逆矩阵

三、涉及抽象矩阵的特征根与特征向量的问题，可迁移等量替换、恒等变形的思想求解

参考文献：

[1]马訾伟等主编.高等代数全程导学及习题全解（第五版）.中国时代经济出版社，2010.11：29、52.

[2]杨子胥主编.高等代数精选题解（第一版），高等教育出版社，2008.6：180-182.

[3][4]毛纲源.线性代数解题方法技巧归纳（第2版），华中科技大学出版社，2003.3：90，322.endprint