十二分之三带来的思考

吉玲莉+李喆

前些日子，听了同仁一节公开课——人教版数学三年级上册《分数的初步认识》第一课时“认识几分之一”。

教师完成新授并进行了一轮基础练习后，出示了这样一道题：

师问：阴影部分用分数怎样表示？

老师话音未落，就有学生脱口而出：“。”

马上有学生反对，认为没有把这个图形平均分成8份，因而阴影部分不能用表示，其他同学也一致认同。

那用哪个分数来表示呢？同学们陷入了沉思……

沉默了一会儿后，又有学生举起了手：“这里有两个分数，那部分（指a部分）表示，这部分（指b部分）也表示。”

老师给予肯定后，又追问：“那阴影部分是整个图形的几分之几呢？”

班上又沉默了，好一会儿，

有学生回答：“。”

老师显然没料到这个结果，愣了一下，含糊地“嗯”了一声，不得不提示学生把a、b两部分阴影剪拼在一起思考，得出：阴影部分占了整个图形的。

……

课后，老师们讨论起“”，有些老师对的来源表示疑惑，有些老师则认为用表示阴影部分是对的，原因是化简后就是，从图形上看，可以看成b部分的面积相当于a部分面积的2倍，也就是把整个图形平均分成12份，阴影部分占了这样的3份，用分数表示是，即。

这些老师还无不遗憾地感叹：“上课老师没有把握好‘，不然得是个多么精彩的生成啊！”

事实是这样吗？在这道题中，阴影部分真的是占整个图形的吗？这引发了我的思考，我们不妨来验证验证。

设大圆半径为R，小圆半径为r，则：

S阴a=πr2

S阴b=πR2-πr2

=π（R2-r2）

当R=nr（n>0）时，a、b两个阴影部分的面积有如下关系：

=

=R2-

=（nr）2-

=n2-1

即：S阴b=（n2-1）S阴a

在本题中，因R=2r，即n=2，代入上式=22-1=3，也就是S阴b=3S阴a。

由此可知，若以阴影部分a为其中一份，是把整个图形平均分成了16份，阴影部分占了整个图形的，即，而非。

为什么这么简单的一道数学题学生会屡屡出错呢？

确实，在我们看来，这是一道再简单不过的题了，但对学生而言，尤其是思维正处于从具体形象思维向抽象思维过渡的三年级学生而言，这道题却是一种挑战。因为这道看似简单的题目却蕴含着丰富的数学思想方法。

首先，它蕴含着数形结合的思想方法。数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，第二种情形是“以形助数”。

本题中，从学习分数的角度来看，是属于“以形助数”，即利用图形帮助理解分数；而从解决这个问题——“阴影部分用分数怎样表示”来看，这题又属于“以数解形”，即给图形赋值，用分数表示阴影部分占整个图形的几分之几。

其次，它蕴含着转化思想。转化思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。

本题中，只需通过剪拼或旋转把阴影部分拼在一起，就能化繁为简了。其实课堂上学生提出用“”表示图中阴影部分，也是通过把图形分解转化而得到的，但是因为学生还没完全形成正确的转化分解思想，思考问题不够严谨，单从直观观察得出答案，出错也就难免了。

学生出错我们是可以理解的，为什么有些老师也会简单地认为能表示图中的阴影部分呢？这更是值得我们深思的地方！

数学是一门严谨的科学，教师作为一名“传道、授业、解惑”的师者，在对待每一个问题时都应持严谨的态度，认真钻研、小心求证，切忌不经论证就草率下结论。我们要教给学生的不仅仅是正确、科学的知识，更应是正确、科学的思想和态度！?endprint