运用观察，巧思妙解

李等通

摘 要：观察是人们认识客观世界的途径，是有计划、有目的、有意识地知觉事物的过程。观察是学好数学的必备条件，许多数学知识的获得都来源于观察。从观察结构、观察规律、观察特值、观察图形、观察全题等方面论述培养学生的能力。

关键词：数学；观察；培养；思维能力

观察能力是对事物的有意感知。观察能力施展的目的是捕捉进行思维的信息，引发思维，从而获得概念、认识规律、掌握技能。在解决数学问题时，让学生观察各类已知条件和结论之间的内在及外在联系，充分挖掘隐含条件和题型结构，从而全面了解数学信息，联系记忆，简化类化思维过程，进而依据所收集到的信息解决问题。在教学过程中培养学生的观察能力，是能力培养任务中的重要一环，也是学好数学的保证。

一、观察结构，寻求突破

观察能力是人们在认识事物和获取知识的过程中，必须具备的本领。在教学过程中培养学生的观察能力，是能力培养任务中的重要一环，也是学好数学的保证。在解题中，教会学生仔细观察题中的式子的结构特点，联想有关的数学知识和方法，寻求解题的突破口，确定解题思路。

分析：分子的式子是sin4x、sin2xcos2x、cos4x三项的和，与完全平方的结构相似，又联想到（sin2x+cos2x）2=sin4x+cos4x+2sin2xcos2x=1。因此，分子可以化成sin4x+cos4x+sin2xcos2x=1-sin2xcos2x，分母同时可化成2-2sinxcosx=2（1-sinxcosx），问题即可解决。

因此，我在高中数学教学中，有意识地培养学生善于观察的习惯，这样有助于培养学生的直觉思维能力。而直觉思维又经常与解决数学疑难问题相联系，有时从题目的数形特征就可以发现题目的内在规律，进而找到解题的突破点。

二、观察规律，寻找答案

通过观察各元素之间的关系，发现它们的内在联系，从事物的构成规律把握问题的实质，认真运算，从而寻找答案。

例，在数列an中，an=1+22+33+…+nn，（n∈N*），在数列bn中，bn=cos（anπ），（n∈N*），则b2012-b2013=_________.

我在教学时引导学生研究数列an的规律，通过简单的运算可以找到an有这样的奇偶性规律：奇，奇，偶，偶，奇，奇，偶，偶，…，从而bn分别为：-1，-1，1，1，-1，-1，1，1，…，周期为4，所以，b2012-b2013=1-（-1）=2.

实践证明，教师有意识地引导学生经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维法学习一个又一个新概念，有意识地引导学生用各种数学思维方法解决一个又一个数学实际问题，那么学生就会熟悉这些思维方法规律，并能从不自觉到自觉应用这个方法，从而提高分析问题解决问题的能力。

三、观察特值，寻得结果

高中数学问题的条件和结论，都存在着特殊性。求解数学问题时，若能从条件或结论的特殊性出发，抓住隐含在题目中的特殊关系，可帮助学生摆脱思维困境。通过解题，可以培养学生的发散思维能力。

因此，教师要善于引导学生从多角度观察、思考、联想、概括，并获得多种解题途径，从而不断掀起学生的思维浪花，使他们既开阔了视野，又增添了兴趣，也感受到数学的美妙与情趣，更培养了发散思维的灵活性。

四、观察图形，探索解法

数与形是数学中研究的两个方面，这两者既相互区别又密切相关。在教学过程中，如能引导学生充分挖掘题目条件中蕴含的几何意义，构造几何图形使条件中的数量关系与几何意义统一为整体，就可以有效解决一些较为复杂的数学问题。比如，某些代数问题，三角问题往往都有几何背景，借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，从而便于探索解题思路，找到问题的结论。

紧密结合教学内容和学生生活实际，制作数学主题图，把数学知识图画化，把复杂问题简单化，把隐蔽问题揭示出来。这能充分调动学生的求知欲望，激发学生的学习兴趣，发散学生的数学思维，提高学生的能力。

五、观察全题，发掘隐含

所谓隐含条件，是指题目中含而未露、不易察觉的固有条件，常是巧妙地隐蔽在题设的背后，极易被人们所忽视。因此在教学中培养学生学会搜寻每一个细节，不放过题中的每一个字，尽可能地发掘隐含条件。最大限度地利用题目所提供的信息，全面审视、各个击破、化繁为简、巧解妙证。

例如，如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F、G分別为EB和AB的中点。求证：

①FD∥平面ABC；②AF⊥BD；③求二面角B-FC-G的正切值。

分析：要证明AF⊥BD，关键是要发掘隐含条件AF⊥平面EBD，仔细看题，其中条件三角形ABC是正三角形，那么就要想到“三边合一”得到AG⊥CG，从而发现CG⊥平面AFG，进而得AF⊥CG，最终可得AF⊥平面EBD，问题即可解决。

说明解题往往就是挖掘隐含条件，所以一定要认真观察全题，不放过题目中的每一个字，从已知条件中挖掘，注意概念与性质，这样才能更好地挖掘隐含条件，再各个击破，使问题获解。

数学概念的形成、命题的发现、解题方法的探究，都离不开观察。因此在课堂教学上要使学生认识到观察的重要性，培养学生的观察兴趣，通过直观渗透及对比、类化、识图、实践等方法，使学生直观认识到观察的重要性及其在实践与解题中的简便快捷等特性，并从中产生兴趣，化被动为主动，积极进行观察和积累，从而提高他们的数学能力。

（作者单位 广东省梅州市大埔实验中学）