指数凸函数的积分不等式及其在Gamma函数中的应用

何晓红

(衢州广播电视大学教务处,浙江衢州324000)

指数凸函数的积分不等式及其在Gamma函数中的应用

何晓红

(衢州广播电视大学教务处,浙江衢州324000)

仿对数凸函数的概念,给出指数凸函数的定义,并证明有关指数凸函数的几个积分不等式,作为应用,得到一个新的Kershaw型双向不等式.

凸函数;指数凸函数;Gamma函数;Kershaw型不等式

1 引言

凸函数理论是一个既经典又极具活力的数学分支,现已渗透到分析、几何和代数的各个数学领域.经典凸函数和对数凸函数的概念见下定义1.有关它们的文献数不胜数,读者可参见文献[1-2]及其它们的参考文献.

定义1设I是一区间,

(i)f:I⊆(−∞,+∞)→R,若任取x,y∈I和α∈(0,1),都有

f(αx+(1−α)y)≤(≥)αf(x)+(1−α)f(y),

则称f为I上的凸(凹)函数.

(ii)f:I⊆(−∞,+∞)→(0,+∞),若任取x,y∈I和α∈(0,1),都有

f(αx+(1−α)y)≤(≥)(f(x))α·(f(y))1−α,

则称f为I上的对数凸(凹)函数.

设0

为a,b的对数平均和指数平均[2].

对于著名的Gamma和Psi函数,本文讨论定义域为(0,+∞)的情形,它们分别定义为:

其中Γ为对数凸函数,即ψ为严格单调增加函数.

根据ψ为凹函数和Hermite-Hadamard不等式(见下引理1),文献[3]得到:若0

此类不等式被称为Gautschi型或Kershaw型不等式.文献[4]给出了:设0

文献[5-6]把(2)式改进为:

有关Kershaw型不等式的研究还可以参见文献[7-9].

仿对数凸函数的定义,本文定义指数凸函数,将研究指数凸函数的积分性质.并把这些积分不等式应用到Gamma函数的理论上,得到一个简洁的Kershaw型双向不等式,并与式(3)不分强弱.定义2设I是一区间,f:I⊆(−∞,+∞)→R,若ef(x)是I上的凸(凹)函数,则称f为I上的指数凸(凹)函数.

2 相关引理

引理1(Hermite-Hadamard不等式)设a

引理2(i)当x>0时,

(ii)ψ(x)是指数凸函数.

证明(i)这是文献[10]中的一个结果.

(ii)

由(4)式知eψ(x)是凸函数,进而ψ(x)是指数凸函数.

引理3设

则f(s)>2ln2.

证明

g为单调减少函数,且易知g(0)=0,所以g(s)在(−1,0)取值为正,g(s)在(0,1)取值为负,因此f(s)在(−1,0)单调增加,f(s)在(0,1)单调减少.又易知

故结论为真.

引理4设f:[a,b]→R为可微的指数凸函数,f′(a)和f′(b)分别记f(x)在x=a处的右导数和在x=b处的左导数.

(i)若任取t∈[a,b],都有1+(t−a)f′(a)>0,则

证明(i)因为单调增加函数,对于t∈[a,b]和x∈[a,t],有

若f′(a)=0时,有

结论显然成立.当f′(a)̸=0时,f(t)≥f(a)+ln(1−af′(a)+tf′(a)),进一步有

至此知(5)式成立.

以下证明类同于式(1)的证明,在此略.

引理4证毕.

3 有关指数凸函数的几个积分不等式

定理1设f:[a,b]→R为可微的指数凸函数,若都有

则有

其中

进而有

证明把引理4中的(5)式中的整理有

(8),(9)式相加得,

其中

因任取t∈[a,b],都有

取t=1,−1,可知−1

定理2设f:[a,b]→R为指数凸函数,则有

进一步,当f(a)̸=f(b)时,有

证明对于x∈[a,b],令x=λa+(1−λ)b,解得

当f(a)=f(b)时,上式即为f(x)≤f(a),相应结论成立.当f(a)̸=f(b)时,进一步有

所以有

注意到

再根据引理1知

所以知(10)式成立.

定理2证毕.

4 一个新的Kershaw型不等式

定理3(i)若b>则

(ii)若b>a>0,则

证明(i)众所周知

此时易知,对于t∈[a,b],有

至此知ψ满足定理1中的(ⅲ)条件.根据引理2和定理1的结论(ⅲ)知(11)式成立.

(ii)根据引理2和定理2知(12)式成立.下面来比较(11),(12)式和(3)式的强弱关系.参见文献[11]的第54节和第541节或文献[12],知

其中

设

表1 (11)式与(1),(2),(3)式的左式强弱比较表

从以上数据可以看出:当a=0.5,b≥10时,有y1>y2>y3>y4.

表2 (12)式与(1),(2),(3)式的右式强弱比较表

从以上数据可以看出:当a=0.5,b≥2时,有z1

参考文献

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[2]匡继昌．常用不等式[M]．4版.济南:山东科学技术出版社,2010.

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[12]Qi F,Guo B N.Monotonicity and convexity of the functio n[J].RGMIA Res.Rep.,2003,6(4): 763-781.

Integral inequalities of exponential convex functions and aplication to Gamma function

He Xiaohong

(Office of Academic A ff airs,Quzhou Radio&TV University,Quzhou324000,China)

Copying a de fi nition of logarithmic convex functions,this paper de fi nes exponential convex functions and establishes some integral inequalities involving the functions.As application,a new Kershaw-type inequality is presented.

convex functions,exponential convex functions,integral inequalities,Gamma function

O178;O174.6

A

1008-5513(2014)01-0069-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.011

2013-11-07.

何晓红(1968-),讲师,研究方向:分析不等式和开放教育.

2010 MSC:33B15,26D15