函数的比例关系在物理学中的应用

郑建德

数学的理念在物理教学中得到广泛运用，因此，教师要善于引导学生运用数学方法来解决物理问题，这具有很大的意义。比如数学函数的比例关系，来解决物理的问题，学生可以简化繁琐运算过程、减小运算量，为解题节省时间、提高解题速度及准确性，从而激发他们学习物理的兴趣。

物理问题数学运用意义记得在刚学物理的第一节课的课堂上，我们的物理老师在介绍如何学习物理时曾说过一句话，数学中的一些知识对学习物理具有很重要的作用，在二十多年物理教育教学实践感悟中确实如此。先别说大学物理中应用导数、微积分来解决物理问题的重要性，也不说高中物理中应用一元二次方程、二元一次方程组的函数比例关系在解决物理问题的重要性，就说说数学中函数的比例关系在初中物理学中的应用及意义。

在物理规律或公式中，各个物理量在一定的条件下都存在着比例关系。如液体压强P=ρ液gh中，当液体密度ρ液一定时，液体内部压强P与深度h成正比例关系，液体内部同深度h处，液体内部压强P与液体密度ρ液成正比例关系。又如，吸热或放热公式Q=cm△t，当物质的比热容C和物体质量m一定时，物体吸收或放出的热量Q与物体升高或降低的温度△t成比例关系，当物体质量m和物体升高或降低的温度△t一定时，物体吸收或放出的热量Q与物质的比热容C成正比例关系，当物体吸收或放出的热量Q与物体质量m一定时，物体升高或降低的温度△t与物质的比热容C成反比例关系；又比如，电功率的计算公式P=UI，当通过电路的电流I一定时（如在串联电路中），电流做功的功率P与加在电路两端的电压U成正比例关系，当加在电路两端的电压U一定时（如在并联电路中），电流做功的功率P与通过电路的电流I成正比例关系，当电流通过电路做功的功率P一定时，通过电路的电流I与加在电路两端的电压U成反比例关系等。很多物理问题所描述的现象都可分成开始状态和最终状态，而且在状态变化的过程中至少存在一个物理量是不变的（一定的），根据物理现象所表达的物理规律，分别找出开始状态和最终状态中的已知量和未知量，并确定未知量和已知量之间的比例关系，列出比例式，进行计算分析问题。

一、可以不用求出中间量

所谓的中间量就是物理现象变化过程中始终不变的物理量。通常情况下，大多数人解答物理问题的办法是：先根据物理现象的开始状态中各个已知量和中间量存在的物理规律，求出中间量，然后再根据现象变化后的最终状态中的未知量跟已知量和中间量存在的物理规律，求出未知量，像这样按部就班地解答物理问题，不但运算过程繁琐、运算量大、运算速度慢、浪费时间，而且容易出错。若根据物理规律或公式，利用比例关系，列出始末状态对应的比例式，省去中间过程。这不但可以简化运算过程、减少运算量、提高运算速度、节省时间，还可避免因中间过程出错而引起整个问题都错，提高解决问题的准确性。

例1.加在某导体两端的电压是36V，导体中的电流是0.9A，若导体两端电压变为6V，则通过这段導体的电流是多少？

分析：此题按常规解法，应先根据开始状态中的电压（U1=36V）和电流（I1=0.9A），利用欧姆定律I1=U1R求出导体的电阻R，而因为导体的电阻是导体本身的一种特性，不随加在导体两端的电压和通过导体的电流的变化而变化，故而可以再根据求得的导体电阻值和最终状态中的电压值（U2=6V），利用欧姆定律I2=U2R求出此时通过导体的电流I2，在这过程中，若导体的电阻R求错了，那最后的电流I2也会跟着错了。而此题中导体的电阻R是一个不变的物理量，根据欧姆定律I=UR，当导体电阻R一定时，通过导体的电流I与加在导体两端的电压U成正比例，列出比例式I2I1=U2U1，根据比例式可求出得，I2=U2U1•I1，把已知量U2、U1、I1的值代入上式中，求出I2的值，简单、省时、不易错。

解：根据欧姆定律I=UR，在导体电阻R一定时，通过导体的电流与加导体两端的电压U成正比，即I2I1=U2U1，可得：I2=U2U1•I1=6V36V×0.9A=0.15A

答：通过这段导体的电流是0.15A。

二、可约去比例式中相同的数，简化运算过程

在很多物理现象变化的过程中，开始状态和最终状态的同一物理量往往存在一定的倍数关系，利用比例式计算时，可直接约掉式中的分子和分母相同的公约数或数级（如103）。在选择题和填空题中，开始状态和最终状态中描述的同一物理量的数值往往较小。这种情况下，利用比例关系用口算就可以得出结果，从而减少了由于运算量较大时出现的错误，大大地节省时间和提高解题的准确性及速度。

例2.0一根质地、粗细均匀的木棒重力900N，放在水平面上，如下图，若在木棒的一端用竖直向上的力将木棒抬起，这力应多大？

分析：此题中的木棒可以看作杠杆，因为木棒是水平的，且动力F是竖直向上的，所以动力臂L1等于木棒的总长度AB，而由于木棒的质地、粗细是均匀的，故而这里作为阻力的木棒重G的作用点就在木棒的几何中心点上，且重力是竖直向下的，所以阻力臂L2就等于木棒的一半长度12AB，根据杠杆平衡时力与力臂是成反比例关系，列出比例式：FG=L2L1，可求得动力F=L2L1•G，将已知的动力臂L1、阻力臂L2和阻力G的值分别代入上式，约去L1和L2 相同的数，简化运算过程，即可求出动力F的值。此题若改为选择题或填空题时，根据杠杆平衡时力跟力臂是成反比例的，抬起木棒的过程中，由于动力臂（L1=LAB）等于阻力臂（L2=12LAB）的2倍，所以动力F就等于阻力G的二分之一，即F=12G=12×900N=450N，这就更简单了，不用笔算，甚至口算就行了。

解：依题意，有：L1=LAB ，L2=12LAB

根据杠杆平衡条件：FL1=GL2，

可得：F=L2L1•G=12LABLAB×900N=450N

答：这个力应为450N。

三、比例式中同一物理量的单位统一即可

常规情况下，应用物理规律或公式进行计算时，公式中的每一个物理量都应采用国际基本单位，才能代入公式中进行计算，而实际问题中很多物理量所给单位都是常用单位。这就使得我们在计算前应先进行单位换算，若单位换算错了，最后的结果也跟着错了。对此也是学生最容易搞错的一个环节，而应用比例关系求解物理问题时，比例式中同一物理量不论是用基本单位，还是用常用单位都可以，只要单位统一，都可以对约，不影响计算结果。这不但可以避免因单位换算搞错而做错题目，而且学生做题时节省时间和提高了解题的准确性及速度。

例3.有一粗细均匀的平底试管质量为50g，高为25㎝，在试管内装入70g的砂子并放入水中，试管露出水面的高度为15㎝，若要使试管不沉入水中，最多可往试管中装入多少克砂子？

分析：此题中在试管加入70g砂子时试管处于漂浮状态，这时试管所受浮力F浮1与试管和砂子的总重（m0+m1）g相等，当向试管加入砂子直至试管口与水面相平时，试管处于悬浮状态，这时试管所受浮力F浮2与试管和砂子的总重（m0+m2）g也相等，再根据阿基米德原理F浮=ρ水gsl，可得m总g=ρ水gsl，而这两种状态下，液体的密度ρ水和试管的横截面S是一定的，这时试管和砂子的总质量m总与试管浸入水中的长度l成正比例关系，据此列出比例式m0+m2m0+m1=l0l1，(l1=l0－l1)可求得最多装入的砂子m2=l0l1(m0+m1)－m0。至此，常规计算都是先将砂子质量m1和m2、试管质量m0和试管浸入水中的长度l1和l2的单位转化为基本单位再代入式中进行计算。这不但使数据复杂化，还使运算过程更麻烦，然而在这比例式中，由于l1和l0的单位可以对约。若直接使用题中提供的常用单位时，不仅式中数据不复杂，运算还简单多了。

解：依题意，不管是初始状态还是终了状态，都有F浮=m总g，

又据阿基米德原理 F浮=ρ水gV排=ρ水gsl

∵这两状态中的ρ水和试管的横截面S是一定的，

∴试管和砂子的总质量m总与试管浸入水的长度l是成正比例的，

即：m0+m2m0+m1=l0l0－l1

∴ m2=l0l0－l1(m0+m1)－m0=25cm25cm－15cm×(50g+70g)－50g=250g

答：最多可往试管内装入250g的砂子。

四、可不用笔算直接分析解题

在很多填空题和选择题中，物理现象变化的初始状态和最终状态中各个物理量都没有具体数值，只是要求根据物理规律判断最终状态中的某个物理是怎么变化的（即是变大、变小或不变）。此类题型若用比例关系来分析解答，成正比例关系时，最终状态中的物理量会随着初始状态中的某一个物理量的增大（或减小）而增大（或减小）；成反比例关系时，最终状态中的物理会随初始状态中的某一物理量的增大（或减小）而減小（或增大）。学生掌握其规律可以节省解题时间，提高解题速度。

例4.如下图所示，当滑动变阻器R1的滑片P向右滑动时，电流表A的示数___，电压表V的示数___ 。（电源电压保持不变）（填“变大”“变小”或“不变”）。

分析：此类题型中，滑动变阻器R1的滑片P右边的电阻线被变阻器R1上方连接滑片P的导线短路，在电路中不起作用，这时滑动变阻器R1的滑片P左边的电阻线与电路中的定值电阻R0是串联的，而串联电路中通过变阻器R1的电流跟通过定值电阻R0的电流是相等的。根据欧姆定律I=UR，当通过导体的电流一定时，加在导体两端的电压U跟导体的电阻R是成正比例关系的，即加在定值电阻R0和变阻器R1两端的电压是按定值电阻R0和变阻器R1的阻值大小进行正比分配的，也就是说电阻大的导体，它两端的电压也跟着大，当变阻器R1的滑片P向右滑动时，连入电路中的电阻变大，则加在变阻器R1两端的电压也变大，所以电压表V的示数将变大；又因为串联电路中的总电阻是等于各个分电阻之和，即R=R1+R0，且电路中的总电压U是不变的，根据欧姆定律I=UR，在总电压U一定的情况下，电路中的总电流I跟电路中的总电阻R是成反比例关系的，即通过电路中的总电流I会随电路中的总电阻R的增大而减小，滑动变阻器R1的滑片P向右滑动时，连入电路中的电阻变大，电路中的总电阻R也变大。所以，电路中的总电流I反而变小，即电流表A的示数将变小。

答：电流表A的示数变小，电压表V的示数变大。

综上所述，不难看出应用函数的比例关系解答物理问题，可以简化运算过程、减小运算量、节省时间、提高解题速度和准确性，这对提高学生的物理成绩和激发学生学习物理的兴趣具有很大意义。因此，教师在教学过程中培养学生学会物理问题用数学来解题的方法。