利用函数性质求解不等式问

姚丽

利用函数的图象求解不等式问题

例1［2014年嘉兴市第一中学高三阶段测试（文科）第17题］ 已知实数x，y满足y≥1，

x+y≤2，

y≤2x+m，且z=x+2y，若z的最小值的取值范围为［0，2］，则z的最大值的取值范围是.

解析： 由不等式组作出实数x，y满足的可行域，如图1 阴影部分所示.

根据可行域的图象，可以将目标函数z=x+2y看成是直线方程y=-x+，z取到最小值亦即直线在y轴上的截距取到最小值.由图1可知，当直线y=-x+过直线y=2x+m与y=1的交点A时，在y轴上的截距最小，即z取到最小值. A点坐标为

，1，即当x=，y=1时，zmin=x+2y=.又zmin∈［0，2］，即∈［0，2］，所以m∈［1，5］.

同理，当直线y=-x+过直线y=2x+m与x+y=2的交点B时，在y轴上的截距最大，即z取到最大值. B点坐标为

，

，即当x=，y=时，zmax=x+2y=.又m∈［1，5］，所以∈

，5，即z的最大值的取值范围是

，5.

点评： 线性规划问题常和不等式、最值问题相联系，利用函数图象的位置关系求解是最常用的方法.在例1中，我们将目标函数看成是一组斜率为-的直线，利用z取到最值与该组直线在y轴上的截距取到最值相对应这一点，找到z取最小、最大值时直线所过的特殊点A，B，利用m的取值范围来求出z的最大值的取值范围.

利用函数的单调性求解不等式问题

例2［2012年高考数学浙江卷（文科）第10题］设a>0，b>0，e是自然对数的底数.

（A） 若ea+2a=eb+3b，则a>b

（B） 若ea+2a=eb+3b，则a

（C） 若ea-2a=eb-3b，则a>b

（D） 若ea-2a=eb-3b，则a

解析： 若ea+2a=eb+3b，则必有ea+2a>eb+2b.

构造函数f（x）=ex+2x，则f′（x）=ex+2>0恒成立，所以函数f（x）在x>0上单调递增.因为ea+2a>eb+2b，即f（a）>f（b），所以a>b，选A.其余选项可用同种方法排除.

点评： 利用函数单调性求解不等式问题的关键，是要将函数值的不等关系与自变量的不等关系进行合理的转化.例2解法的巧妙之处，就在于通过判断函数f（x）的单调性,将函数值f（a）与f（b）的大小关系转化为自变量a，b间的大小关系.

利用函数的奇偶性求解不等式问题

例3［2013年高考数学四川卷（理科）第14题］ 已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-4x，那么不等式f（x+2）<5的解集是.

解析： 由题意可知，当x≥0时f（x）=x2-4x，所以当x+2≥0时，f（x+2）=（x+2）2-4（x+2）=x2-4.由f（x+2）<5可得x2-4<5，解得-3

因为f（x）为偶函数，则由函数f（x+2）的图象关于直线x=-2对称可得-7

点评： 奇偶函数的图象具有对称性，通过数形结合法能帮助我们快速解题.在例3中，我们先求出x+2≥0时x的解集,然后通过偶函数图象的对称性得到x+2<0时x的解集，简化了不等式运算，达到事半功倍的效果.

利用函数单调性求解不等式问题的关键，是要将函数值的不等关系与自变量的不等关系进行合理的转化.

利用函数的图象求解不等式问题

例1［2014年嘉兴市第一中学高三阶段测试（文科）第17题］ 已知实数x，y满足y≥1，

x+y≤2，

y≤2x+m，且z=x+2y，若z的最小值的取值范围为［0，2］，则z的最大值的取值范围是.

解析： 由不等式组作出实数x，y满足的可行域，如图1 阴影部分所示.

根据可行域的图象，可以将目标函数z=x+2y看成是直线方程y=-x+，z取到最小值亦即直线在y轴上的截距取到最小值.由图1可知，当直线y=-x+过直线y=2x+m与y=1的交点A时，在y轴上的截距最小，即z取到最小值. A点坐标为

，1，即当x=，y=1时，zmin=x+2y=.又zmin∈［0，2］，即∈［0，2］，所以m∈［1，5］.

同理，当直线y=-x+过直线y=2x+m与x+y=2的交点B时，在y轴上的截距最大，即z取到最大值. B点坐标为

，

，即当x=，y=时，zmax=x+2y=.又m∈［1，5］，所以∈

，5，即z的最大值的取值范围是

，5.

点评： 线性规划问题常和不等式、最值问题相联系，利用函数图象的位置关系求解是最常用的方法.在例1中，我们将目标函数看成是一组斜率为-的直线，利用z取到最值与该组直线在y轴上的截距取到最值相对应这一点，找到z取最小、最大值时直线所过的特殊点A，B，利用m的取值范围来求出z的最大值的取值范围.

利用函数的单调性求解不等式问题

例2［2012年高考数学浙江卷（文科）第10题］设a>0，b>0，e是自然对数的底数.

（A） 若ea+2a=eb+3b，则a>b

（B） 若ea+2a=eb+3b，则a

（C） 若ea-2a=eb-3b，则a>b

（D） 若ea-2a=eb-3b，则a

解析： 若ea+2a=eb+3b，则必有ea+2a>eb+2b.

构造函数f（x）=ex+2x，则f′（x）=ex+2>0恒成立，所以函数f（x）在x>0上单调递增.因为ea+2a>eb+2b，即f（a）>f（b），所以a>b，选A.其余选项可用同种方法排除.

点评： 利用函数单调性求解不等式问题的关键，是要将函数值的不等关系与自变量的不等关系进行合理的转化.例2解法的巧妙之处，就在于通过判断函数f（x）的单调性,将函数值f（a）与f（b）的大小关系转化为自变量a，b间的大小关系.

利用函数的奇偶性求解不等式问题

例3［2013年高考数学四川卷（理科）第14题］ 已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-4x，那么不等式f（x+2）<5的解集是.

解析： 由题意可知，当x≥0时f（x）=x2-4x，所以当x+2≥0时，f（x+2）=（x+2）2-4（x+2）=x2-4.由f（x+2）<5可得x2-4<5，解得-3

因为f（x）为偶函数，则由函数f（x+2）的图象关于直线x=-2对称可得-7

点评： 奇偶函数的图象具有对称性，通过数形结合法能帮助我们快速解题.在例3中，我们先求出x+2≥0时x的解集,然后通过偶函数图象的对称性得到x+2<0时x的解集，简化了不等式运算，达到事半功倍的效果.

利用函数单调性求解不等式问题的关键，是要将函数值的不等关系与自变量的不等关系进行合理的转化.

利用函数的图象求解不等式问题

例1［2014年嘉兴市第一中学高三阶段测试（文科）第17题］ 已知实数x，y满足y≥1，

x+y≤2，

y≤2x+m，且z=x+2y，若z的最小值的取值范围为［0，2］，则z的最大值的取值范围是.

解析： 由不等式组作出实数x，y满足的可行域，如图1 阴影部分所示.

根据可行域的图象，可以将目标函数z=x+2y看成是直线方程y=-x+，z取到最小值亦即直线在y轴上的截距取到最小值.由图1可知，当直线y=-x+过直线y=2x+m与y=1的交点A时，在y轴上的截距最小，即z取到最小值. A点坐标为

，1，即当x=，y=1时，zmin=x+2y=.又zmin∈［0，2］，即∈［0，2］，所以m∈［1，5］.

同理，当直线y=-x+过直线y=2x+m与x+y=2的交点B时，在y轴上的截距最大，即z取到最大值. B点坐标为

，

，即当x=，y=时，zmax=x+2y=.又m∈［1，5］，所以∈

，5，即z的最大值的取值范围是

，5.

点评： 线性规划问题常和不等式、最值问题相联系，利用函数图象的位置关系求解是最常用的方法.在例1中，我们将目标函数看成是一组斜率为-的直线，利用z取到最值与该组直线在y轴上的截距取到最值相对应这一点，找到z取最小、最大值时直线所过的特殊点A，B，利用m的取值范围来求出z的最大值的取值范围.

利用函数的单调性求解不等式问题

例2［2012年高考数学浙江卷（文科）第10题］设a>0，b>0，e是自然对数的底数.

（A） 若ea+2a=eb+3b，则a>b

（B） 若ea+2a=eb+3b，则a

（C） 若ea-2a=eb-3b，则a>b

（D） 若ea-2a=eb-3b，则a

解析： 若ea+2a=eb+3b，则必有ea+2a>eb+2b.

构造函数f（x）=ex+2x，则f′（x）=ex+2>0恒成立，所以函数f（x）在x>0上单调递增.因为ea+2a>eb+2b，即f（a）>f（b），所以a>b，选A.其余选项可用同种方法排除.

点评： 利用函数单调性求解不等式问题的关键，是要将函数值的不等关系与自变量的不等关系进行合理的转化.例2解法的巧妙之处，就在于通过判断函数f（x）的单调性,将函数值f（a）与f（b）的大小关系转化为自变量a，b间的大小关系.

利用函数的奇偶性求解不等式问题

例3［2013年高考数学四川卷（理科）第14题］ 已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-4x，那么不等式f（x+2）<5的解集是.

解析： 由题意可知，当x≥0时f（x）=x2-4x，所以当x+2≥0时，f（x+2）=（x+2）2-4（x+2）=x2-4.由f（x+2）<5可得x2-4<5，解得-3

因为f（x）为偶函数，则由函数f（x+2）的图象关于直线x=-2对称可得-7

点评： 奇偶函数的图象具有对称性，通过数形结合法能帮助我们快速解题.在例3中，我们先求出x+2≥0时x的解集,然后通过偶函数图象的对称性得到x+2<0时x的解集，简化了不等式运算，达到事半功倍的效果.

利用函数单调性求解不等式问题的关键，是要将函数值的不等关系与自变量的不等关系进行合理的转化.