圆锥曲线中的最值与范围问题

戴三

圆锥曲线中的最值与范围问题是高考的考查热点，往往以圆锥曲线（包括圆）与直线为载体，结合函数、不等式及导数等知识，综合考查解题能力. 求解这类问题的基本方法有几何特征法和代数法.

几何特征法

几何特征法即利用圆锥曲线的几何特征蕴含的条件，如抛物线上任意一点到焦点的距离等于其到准线的距离、过椭圆焦点的所有弦中通径最短等，构造相应的函数或不等式求解.

例1已知直线l：x+y+3=0和圆C：x2+y2-2x-2y-2=0，设A是直线l上一动点，直线AC交圆C于点B，若在圆C上存在点M，使∠MAB=，则点A横坐标的取值范围为

.

解析： 圆C：（x-1）2+（y-1）2=4. 如图1所示，过C点作CN⊥AM于点N，则CN≤CM=2.在Rt△CNA中，∠NAC=，所以AC=2CN≤4.

设A（x，-x-3），则AC2=（x-1）2+（-x-3-1）2=2x2+6x+17≤16，解得≤x≤.

所以点A横坐标的取值范围为≤x≤.

点评： 解答例1 的关键是利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，建立不等关系求解.当直线AM与圆C相切时，N, M两点重合，CN取到最大值2；而AC可通过∠MAB与CN建立量的关系，由此构建以点A的横坐标x为自变量、以AC为因变量的函数，进而求解.

例2［2013年嘉兴市高三教学测试（一）第17题］ 已知抛物线y2=4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，∠AFB=，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为.

解析： 如图2所示，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1.

设FA=t1，FB=t2，则由∠AFB=可得AB=.因为AM=MB，NM∥AA1∥BB1，所以MN=（AA1+BB1）.由抛物线定义可知AA1=FA，BB1=FB，所以MN=（FA+FB）=（t1+t2），所以=.

由[t1][2]+[t2][2]≥2t1t2可得2[t1][2]+2[t2][2]≥2t1t2+（[t1][2]+[t2][2]）=（t1+t2）2，t1+t2≤·，所以≤=，当且仅当t1=t2时取到等号，所以的最大值为.

点评： 例2利用抛物线的定义，将线段MN的长度与FA，FB的长度t1，t2相联系，构造了含有双变量的函数，然后利用不等式（a+b）2≤2（a2+b2）求得函数的最大值.

代数法

利用题目所给条件的范围或限制，如点的坐标、直线的斜率、线与线之间构成的多边形的面积等，构造相应的函数或不等式求解.

例3设椭圆+=1 （a>b>0）的焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），直线l：x=a2交x轴于点A，且F2为F1 A的中点.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 如图3所示,过F1，F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D，E，M，N四点，试求四边形DMEN面积的最大值和最小值.

解析： （1） 由F2为F1A的中点可得F1F2=F2 A，又OF2=1，所以F2 A=2，点A的坐标为（3，0）.由直线l：x=a2交x轴于点A可得a=，b==，所以椭圆方程为+=1.

（2） 当直线DE与x轴垂直时，MN=2a=2.由F1（-1，0），椭圆方程+=1可得点D-1，

，所以DF1=，DE=2DF1=， 四边形DMEN的面积S==4.

同理，当MN与x轴垂直时，也可得四边形DMEN的面积S==4.

当直线DE，MN均不与x轴垂直时，设直线DE：y=k（x+1），代入+=1中消去y，得（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0.设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2=

，

x1x2=

.所以x1-x2==，DE==·x1-x2= .

设直线MN：y=-（x-1），同理可得MN=.所以四边形DMEN的面积S==··=.

令u=k2+，得S==4-<4.因为u=k2+≥2，所以4>S≥4-=，当且仅当k2=1时取等号.所以当k=±1时，Smin=；当直线DE或MN与x轴垂直时，Smax=4.

点评： 与抛物线的焦点弦长的计算方法（往往利用定义，即几何特征法）不同，椭圆的焦点弦长一般利用代数法求解，以焦点弦的斜率或倾斜角为变量来表示其长度，如例3中的DE=.例3正是通过建立四边形DMEN的面积S与焦点弦的斜率k的函数关系，求得了面积S的最值.

与抛物线的焦点弦长的计算方法（往往利用定义，即几何特征法）不同，椭圆的焦点弦长一般利用代数法求解，以焦点弦的斜率或倾斜角为变量来表示其长度.

【练一练】 ［2012年嘉兴市高三教学测试（二） 第9题］ 已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈，1，则实数m的取值范围是（A） 0，（B） ，+∞（C） 0，∪，+∞（D） ，1∪1，【参考答案】解析： 先将椭圆方程x2+my2=1化为标准方程：x2+=1，因方程为椭圆方程，所以m>0.又因其焦点位置不确定，所以需要分类讨论.当0<<1即 m>1时，椭圆长半轴长a=1，短半轴长b=，所以离心率e===.由e∈，1可得<<1.因为m>1，所以<1恒成立.当<时，解得m>.当>1即0

圆锥曲线中的最值与范围问题是高考的考查热点，往往以圆锥曲线（包括圆）与直线为载体，结合函数、不等式及导数等知识，综合考查解题能力. 求解这类问题的基本方法有几何特征法和代数法.

几何特征法

几何特征法即利用圆锥曲线的几何特征蕴含的条件，如抛物线上任意一点到焦点的距离等于其到准线的距离、过椭圆焦点的所有弦中通径最短等，构造相应的函数或不等式求解.

例1已知直线l：x+y+3=0和圆C：x2+y2-2x-2y-2=0，设A是直线l上一动点，直线AC交圆C于点B，若在圆C上存在点M，使∠MAB=，则点A横坐标的取值范围为

.

解析： 圆C：（x-1）2+（y-1）2=4. 如图1所示，过C点作CN⊥AM于点N，则CN≤CM=2.在Rt△CNA中，∠NAC=，所以AC=2CN≤4.

设A（x，-x-3），则AC2=（x-1）2+（-x-3-1）2=2x2+6x+17≤16，解得≤x≤.

所以点A横坐标的取值范围为≤x≤.

点评： 解答例1 的关键是利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，建立不等关系求解.当直线AM与圆C相切时，N, M两点重合，CN取到最大值2；而AC可通过∠MAB与CN建立量的关系，由此构建以点A的横坐标x为自变量、以AC为因变量的函数，进而求解.

例2［2013年嘉兴市高三教学测试（一）第17题］ 已知抛物线y2=4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，∠AFB=，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为.

解析： 如图2所示，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1.

设FA=t1，FB=t2，则由∠AFB=可得AB=.因为AM=MB，NM∥AA1∥BB1，所以MN=（AA1+BB1）.由抛物线定义可知AA1=FA，BB1=FB，所以MN=（FA+FB）=（t1+t2），所以=.

由[t1][2]+[t2][2]≥2t1t2可得2[t1][2]+2[t2][2]≥2t1t2+（[t1][2]+[t2][2]）=（t1+t2）2，t1+t2≤·，所以≤=，当且仅当t1=t2时取到等号，所以的最大值为.

点评： 例2利用抛物线的定义，将线段MN的长度与FA，FB的长度t1，t2相联系，构造了含有双变量的函数，然后利用不等式（a+b）2≤2（a2+b2）求得函数的最大值.

代数法

利用题目所给条件的范围或限制，如点的坐标、直线的斜率、线与线之间构成的多边形的面积等，构造相应的函数或不等式求解.

例3设椭圆+=1 （a>b>0）的焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），直线l：x=a2交x轴于点A，且F2为F1 A的中点.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 如图3所示,过F1，F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D，E，M，N四点，试求四边形DMEN面积的最大值和最小值.

解析： （1） 由F2为F1A的中点可得F1F2=F2 A，又OF2=1，所以F2 A=2，点A的坐标为（3，0）.由直线l：x=a2交x轴于点A可得a=，b==，所以椭圆方程为+=1.

（2） 当直线DE与x轴垂直时，MN=2a=2.由F1（-1，0），椭圆方程+=1可得点D-1，

，所以DF1=，DE=2DF1=， 四边形DMEN的面积S==4.

同理，当MN与x轴垂直时，也可得四边形DMEN的面积S==4.

当直线DE，MN均不与x轴垂直时，设直线DE：y=k（x+1），代入+=1中消去y，得（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0.设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2=

，

x1x2=

.所以x1-x2==，DE==·x1-x2= .

设直线MN：y=-（x-1），同理可得MN=.所以四边形DMEN的面积S==··=.

令u=k2+，得S==4-<4.因为u=k2+≥2，所以4>S≥4-=，当且仅当k2=1时取等号.所以当k=±1时，Smin=；当直线DE或MN与x轴垂直时，Smax=4.

点评： 与抛物线的焦点弦长的计算方法（往往利用定义，即几何特征法）不同，椭圆的焦点弦长一般利用代数法求解，以焦点弦的斜率或倾斜角为变量来表示其长度，如例3中的DE=.例3正是通过建立四边形DMEN的面积S与焦点弦的斜率k的函数关系，求得了面积S的最值.

与抛物线的焦点弦长的计算方法（往往利用定义，即几何特征法）不同，椭圆的焦点弦长一般利用代数法求解，以焦点弦的斜率或倾斜角为变量来表示其长度.

【练一练】 ［2012年嘉兴市高三教学测试（二） 第9题］ 已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈，1，则实数m的取值范围是（A） 0，（B） ，+∞（C） 0，∪，+∞（D） ，1∪1，【参考答案】解析： 先将椭圆方程x2+my2=1化为标准方程：x2+=1，因方程为椭圆方程，所以m>0.又因其焦点位置不确定，所以需要分类讨论.当0<<1即 m>1时，椭圆长半轴长a=1，短半轴长b=，所以离心率e===.由e∈，1可得<<1.因为m>1，所以<1恒成立.当<时，解得m>.当>1即0

圆锥曲线中的最值与范围问题是高考的考查热点，往往以圆锥曲线（包括圆）与直线为载体，结合函数、不等式及导数等知识，综合考查解题能力. 求解这类问题的基本方法有几何特征法和代数法.

几何特征法

几何特征法即利用圆锥曲线的几何特征蕴含的条件，如抛物线上任意一点到焦点的距离等于其到准线的距离、过椭圆焦点的所有弦中通径最短等，构造相应的函数或不等式求解.

例1已知直线l：x+y+3=0和圆C：x2+y2-2x-2y-2=0，设A是直线l上一动点，直线AC交圆C于点B，若在圆C上存在点M，使∠MAB=，则点A横坐标的取值范围为

.

解析： 圆C：（x-1）2+（y-1）2=4. 如图1所示，过C点作CN⊥AM于点N，则CN≤CM=2.在Rt△CNA中，∠NAC=，所以AC=2CN≤4.

设A（x，-x-3），则AC2=（x-1）2+（-x-3-1）2=2x2+6x+17≤16，解得≤x≤.

所以点A横坐标的取值范围为≤x≤.

点评： 解答例1 的关键是利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，建立不等关系求解.当直线AM与圆C相切时，N, M两点重合，CN取到最大值2；而AC可通过∠MAB与CN建立量的关系，由此构建以点A的横坐标x为自变量、以AC为因变量的函数，进而求解.

例2［2013年嘉兴市高三教学测试（一）第17题］ 已知抛物线y2=4x的焦点为F，若点A，B是该抛物线上的点，∠AFB=，线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N，则的最大值为.

解析： 如图2所示，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1.

设FA=t1，FB=t2，则由∠AFB=可得AB=.因为AM=MB，NM∥AA1∥BB1，所以MN=（AA1+BB1）.由抛物线定义可知AA1=FA，BB1=FB，所以MN=（FA+FB）=（t1+t2），所以=.

由[t1][2]+[t2][2]≥2t1t2可得2[t1][2]+2[t2][2]≥2t1t2+（[t1][2]+[t2][2]）=（t1+t2）2，t1+t2≤·，所以≤=，当且仅当t1=t2时取到等号，所以的最大值为.

点评： 例2利用抛物线的定义，将线段MN的长度与FA，FB的长度t1，t2相联系，构造了含有双变量的函数，然后利用不等式（a+b）2≤2（a2+b2）求得函数的最大值.

代数法

利用题目所给条件的范围或限制，如点的坐标、直线的斜率、线与线之间构成的多边形的面积等，构造相应的函数或不等式求解.

例3设椭圆+=1 （a>b>0）的焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），直线l：x=a2交x轴于点A，且F2为F1 A的中点.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 如图3所示,过F1，F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D，E，M，N四点，试求四边形DMEN面积的最大值和最小值.

解析： （1） 由F2为F1A的中点可得F1F2=F2 A，又OF2=1，所以F2 A=2，点A的坐标为（3，0）.由直线l：x=a2交x轴于点A可得a=，b==，所以椭圆方程为+=1.

（2） 当直线DE与x轴垂直时，MN=2a=2.由F1（-1，0），椭圆方程+=1可得点D-1，

，所以DF1=，DE=2DF1=， 四边形DMEN的面积S==4.

同理，当MN与x轴垂直时，也可得四边形DMEN的面积S==4.

当直线DE，MN均不与x轴垂直时，设直线DE：y=k（x+1），代入+=1中消去y，得（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0.设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2=

，

x1x2=

.所以x1-x2==，DE==·x1-x2= .

设直线MN：y=-（x-1），同理可得MN=.所以四边形DMEN的面积S==··=.

令u=k2+，得S==4-<4.因为u=k2+≥2，所以4>S≥4-=，当且仅当k2=1时取等号.所以当k=±1时，Smin=；当直线DE或MN与x轴垂直时，Smax=4.

点评： 与抛物线的焦点弦长的计算方法（往往利用定义，即几何特征法）不同，椭圆的焦点弦长一般利用代数法求解，以焦点弦的斜率或倾斜角为变量来表示其长度，如例3中的DE=.例3正是通过建立四边形DMEN的面积S与焦点弦的斜率k的函数关系，求得了面积S的最值.

与抛物线的焦点弦长的计算方法（往往利用定义，即几何特征法）不同，椭圆的焦点弦长一般利用代数法求解，以焦点弦的斜率或倾斜角为变量来表示其长度.

【练一练】 ［2012年嘉兴市高三教学测试（二） 第9题］ 已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈，1，则实数m的取值范围是（A） 0，（B） ，+∞（C） 0，∪，+∞（D） ，1∪1，【参考答案】解析： 先将椭圆方程x2+my2=1化为标准方程：x2+=1，因方程为椭圆方程，所以m>0.又因其焦点位置不确定，所以需要分类讨论.当0<<1即 m>1时，椭圆长半轴长a=1，短半轴长b=，所以离心率e===.由e∈，1可得<<1.因为m>1，所以<1恒成立.当<时，解得m>.当>1即0