利用二次求导判断函数单调

苗孟

提问有这样一道题：已知函数f（x）=alnx+x2（a∈R），若存在x∈［1，+∞），使得f（x）≤（a+2）x能成立，求实数a的取值范围.我的解题步骤是：将不等式f（x）≤（a+2）x转化为a（x-lnx）≥x2-2x.由x∈［1，+∞）可得x=lnex>lnx，所以x-lnx>0，不等式a（x-lnx）≥x2-2x可转化为a≥.存在x∈［1，+∞），使得a≥能成立，等价于当x≥1时，a≥

min.

设g（x）=，则g′（x）=.为了判断g′（x）的正负，我花了很长时间终于将它因式分解，得到g′（x）=，但是接下来我还是无法判断其正负……

回答这位同学在求解过程中，由于不能判断一阶导函数g′（x）=的正负，所以无法得出函数g（x）的单调性.在这种情况下，通过二次求导来帮助解题是个好办法.

由于x∈［1，+∞）时≥0，所以可设h（x）=x+2-2lnx，则h′（x）=1-=.当x∈［1，2）时，h′（x）<0，函数h（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，h′（x）>0，函数h（x）单调递增，所以h（x）min=h（2）=4-2ln2>4-2lne2=0，h（x）=x+2-2lnx>0在区间［1，+∞）上恒成立.

由≥0，h（x）=x+2-2lnx>0可得g′（x）=≥0，当且仅当x=1时等号成立，所以函数g（x）=在区间［1，+∞）上单调递增，g（x）min=g（1）=-1，所以实数a的取值范围是［-1，+∞）.

小结对于求参数范围的问题，运用变量分离法分离出参数后构造一个新函数，利用导数求解该函数最值，从而获得参数的取值范围，是最常用的方法之一.如果求导后难以判断一阶导函数的正负，则可以再对一阶导函数进行求导，利用二阶导函数的正负来判断一阶导函数的单调性，从而判断一阶导函数的正负，得到所构造函数的单调性，求出参数的取值范围.