像高手一样解题

在数学爱好者看来，

解题不只是巩固知识与方法、训练思维的过程，

更是一场攀登智力之峰的游戏.

现在，让我们沿着高手的视线，

一探他们眼中的数学题.

与问题“对话”

数学语言以精确而简洁著称，被誉为“科学的语言”，形式化和符号化是它的主要特点.如果把整个数学的解题过程看成是解题者与数学问题的一场“对话”，高手便是那个能够迅速领会题目中形式化、符号化语言所传递信息的人.

例1如图1所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥BC，AD=DC，A1A=AB=2，BC=3.

（1） 求证： BC⊥AB1；

（2） AB1∥平面BC1D；

（3） 求四棱锥B-AA1C1D的体积.

我们先从已知条件中去领会题目传达的信息.

已知1： 三棱柱ABC-A1B1C1

⇒ 三棱柱中有很多平行关系，如两底面平行、侧棱互相平行……

已知2： A1A⊥底面ABC

⇒ A1A与底面ABC的三条边垂直.结合从已知1获得的信息，还可以得出A1A与另一底面A1B1C1的三条边也垂直.

由A1A⊂平面A1ACC1 且A1A⊂平面A1ABB1，可以得到平面A1ACC1⊥底面ABC、平面A1ABB1⊥底面ABC、平面A1ACC1⊥底面A1B1C1……

已知3： AB⊥BC

⇒ 由已知2可得A1A⊥BC，结合已知3可知BC⊥平面A1ABB1，所以BC垂直平面A1ABB1内的所有直线，如BC⊥A1B（∠A1BC=90°），BC⊥AB1，后者正是（1）要证的结论……

已知4： AD=DC

⇒ D为AC中点.只要再取一个中点，就将出现中位线.另一个中点可以取在从A点出发的各条线段上，如AA1，AB1，AC1；也可以取在从C点出发的各条线段上，如CC1，CA1，CB1.

由线线平行可以得到线面平行.如取CB1的中点E，由AB1∥DE，C1B∩CB1=E可得AB1∥平面BC1D.这正是（2）要证的结论……

现在来看问题（3）.过点B作BF⊥AC于点F，由于平面A1ACC1⊥底面ABC （由已知2可得），则BF就是四棱锥B-AA1C1D的高.由此可得VB-AA1C1D=·BF·SAA1C1D=···AC·A1A=3.

在对例1进行分析的过程中，我们发现，如果解题者领会到形式化和符号化语言背后传递的信息，甚至有所拓展，解题过程将会更为顺利.不过，这种信息的领会和拓展是建立在必要的知识与技能之上的.正如荷兰数学教育家G·波利亚在其传世名著《怎样解题》中所言：“好的思路来源于过去的经验和以前获得的知识.”

解题不只是构建条件与结论之间的联系，更要选择合适的路径，即解题策略.对高手而言，在具体采用某一方法时，他们并不是一味地跟着感觉走，而是“像上帝那样俯瞰”整个问题，对目前的处境作出清醒的评估，并适时对解题策略作出调整.

例2如图2所示，已知抛物线C1：y2=4x，椭圆C2：+=1与x轴正半轴交于点A.过点A作直线l交C1于C，D两点，直线OC，OD分别交C2于E，F两点.

（1） 求证： O点在以EF为直径的圆的内部；

（2） 设△OEF，△OCD的面积分别为S1，S2，若3S2=13S1，求直线l的方程.

解答例2的一般思路： 证明O点在以EF为直径的圆的内部，即证∠EOF为钝角，只需证[OE]·[OF]<0.

设C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），F（x4，y4），由题意可知，x1，x2，x3，x4均大于0.

由直线l过A（2，0）可设其方程为x=my+2，与y2=4x联立消去x，得y2-4my-8=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-8.

由[y1][2]=4x1可得C点坐标为

，y1，则直线OC的方程为y=x，与+=1联立消去y，得x2=，所以x3=.同理可得x4=.

所以[OE]·[OF]=x3x4+y3y4=x3x4+x3·x4=x3x41+

=

-x3x4<0，∠EOF为钝角，O点在以EF为直径的圆内.

（2） 由3S2=13S1可得===.

OC·OD=·=·=，因为x1+x2===4（m2+1），x1x2==4，所以OC·OD=4.

OE·OF====，其中（x3x4）2=·，[x3][2]+[x4][2]=+.接下来等待我们的是大量的计算，过程相当烦琐……

解题高手的思路： （1） 证明O点在以EF为直径的圆的内部，即证∠EOF为钝角， 只需证[OE]·[OF]<0.

设C（x1，y1），D（x2，y2）.设直线l：x=my+2，与y2=4x联立消去x，得y2-4my-8=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-8.

由[OC]·[OD]=x1x2+y1y2=+y1y2=-8=-4<0可证得∠COD为钝角.因为∠EOF=∠COD，所以∠EOF为钝角，O点在以EF为直径的圆内.

（2） 由3S2=13S1可得===.

设E（x3，y3），F（x4，y4），因为O，E，C三点共线，O，F，D三点也共线，所以=·=

·

==.

由[y1][2]=4x1可得C点坐标为

，y1，则直线OC方程为y=x，与+=1联立消去x，得[y3][2]=.同理可得[y4][2]=.所以（y3y4）2==.

因为=·==，所以y3y4=，即（y3y4）2==

2，解得m=±1，所以直线l的方程为x±y-2=0.

“像上帝那样俯瞰”整个问题，源于解题高手的“全局视野”.在例2的求解过程中，他们把图2看成一个整体，将证明∠EOF为钝角转化为证明∠COD为钝角；同时，在预估到计算OE·OF，OC·OD可能面临的困难后，选择先将其优化为·，并利用相似三角形和各个对应点之间的坐标关系，巧妙地将·转化为

·

，大大提高了解题效率.

“全局视野”的练就历程

要想练就解题高手的“全局视野”，就不能满足于解决某个问题，而要在成功解题后，自觉地反思和回顾，寻找更简便的方法.

例3已知+=1，求证：+=1.

解析1： 比较条件和结论，使人联想到α，β之间可能存在cosα=±cosβ或sinα=±sinβ等关系.

=1-

⇒cos4αsin2β=sin2βcos2β-sin4αcos2β

⇒cos4αsin2β=sin2βcos2β-sin4α（1-sin2β）

⇒sin2β·（cos4α-sin4α）=cos2β·sin2β-sin4α

⇒sin2β·（cos2α-sin2α）=cos2β·sin2β-sin4α

⇒sin2β·（cos2α-cos2β）=sin2α·（sin2β-sin2α）

⇒sin2β·（cos2α-cos2β）=sin2α·（1-cos2β-1+cos2α）

⇒sin2β=sin2α

⇒cos2β=cos2α.

所以+=+=1.

解析2： 分析已知条件，联想到圆方程的形式，可知点A

，

在圆x2+y2=1上，再结合cos2α+sin2α=1，能否使例3得证呢？

设点A

，

，因为

2+

2=+=1，所以点A在圆x2+y2=1上.

设圆上一点C（cosβ，sinβ），则过点C的单位圆的切线的斜率=，化简得切线方程x·cosβ+y·sinβ=1.

将点A的坐标代入切线方程，可得·cosβ+·sinβ=cos2α+sin2α=1，所以点A在过C点的圆x2+y2=1的切线上.因为点A也在该圆上，所以A，C两点重合，即

=cosβ，

=sinβ.所以cos2α=cos2β，

sin2α=sin2β，可得+=1.

解析3： 由已知条件联想到一个结构相似的问题：已知a·+b·=1，求证：a2+b2=1.

因为a·+b·≤+=1 （①），又a·+b·=1，所以①式能取到等号，所以a=

，

b=

，由此可得a2+b2=1.

如果例3用以上方法求解，会不会比解析1、解析2更加简便呢？

+cos2β≥2=2cos2α且+sin2β≥2=2sin2α，两式相加得+≥1，当且仅当

=cos2β，

=sin2β时等号成立，所以cos2α=cos2β，

sin2α=sin2β，由此可得+=1.

回顾例3的整个解题过程，每一种解法都比之前的更加简便.高手们在不断地利用之前学过的知识，探索更加有效的解题途径.他们能从问题或解题过程中获得灵感，进而浮想联翩，最终又回到数学现实，对猜想进行严谨的证明.

在数学爱好者看来，

解题不只是巩固知识与方法、训练思维的过程，

更是一场攀登智力之峰的游戏.

现在，让我们沿着高手的视线，

一探他们眼中的数学题.

与问题“对话”

数学语言以精确而简洁著称，被誉为“科学的语言”，形式化和符号化是它的主要特点.如果把整个数学的解题过程看成是解题者与数学问题的一场“对话”，高手便是那个能够迅速领会题目中形式化、符号化语言所传递信息的人.

例1如图1所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥BC，AD=DC，A1A=AB=2，BC=3.

（1） 求证： BC⊥AB1；

（2） AB1∥平面BC1D；

（3） 求四棱锥B-AA1C1D的体积.

我们先从已知条件中去领会题目传达的信息.

已知1： 三棱柱ABC-A1B1C1

⇒ 三棱柱中有很多平行关系，如两底面平行、侧棱互相平行……

已知2： A1A⊥底面ABC

⇒ A1A与底面ABC的三条边垂直.结合从已知1获得的信息，还可以得出A1A与另一底面A1B1C1的三条边也垂直.

由A1A⊂平面A1ACC1 且A1A⊂平面A1ABB1，可以得到平面A1ACC1⊥底面ABC、平面A1ABB1⊥底面ABC、平面A1ACC1⊥底面A1B1C1……

已知3： AB⊥BC

⇒ 由已知2可得A1A⊥BC，结合已知3可知BC⊥平面A1ABB1，所以BC垂直平面A1ABB1内的所有直线，如BC⊥A1B（∠A1BC=90°），BC⊥AB1，后者正是（1）要证的结论……

已知4： AD=DC

⇒ D为AC中点.只要再取一个中点，就将出现中位线.另一个中点可以取在从A点出发的各条线段上，如AA1，AB1，AC1；也可以取在从C点出发的各条线段上，如CC1，CA1，CB1.

由线线平行可以得到线面平行.如取CB1的中点E，由AB1∥DE，C1B∩CB1=E可得AB1∥平面BC1D.这正是（2）要证的结论……

现在来看问题（3）.过点B作BF⊥AC于点F，由于平面A1ACC1⊥底面ABC （由已知2可得），则BF就是四棱锥B-AA1C1D的高.由此可得VB-AA1C1D=·BF·SAA1C1D=···AC·A1A=3.

在对例1进行分析的过程中，我们发现，如果解题者领会到形式化和符号化语言背后传递的信息，甚至有所拓展，解题过程将会更为顺利.不过，这种信息的领会和拓展是建立在必要的知识与技能之上的.正如荷兰数学教育家G·波利亚在其传世名著《怎样解题》中所言：“好的思路来源于过去的经验和以前获得的知识.”

解题不只是构建条件与结论之间的联系，更要选择合适的路径，即解题策略.对高手而言，在具体采用某一方法时，他们并不是一味地跟着感觉走，而是“像上帝那样俯瞰”整个问题，对目前的处境作出清醒的评估，并适时对解题策略作出调整.

例2如图2所示，已知抛物线C1：y2=4x，椭圆C2：+=1与x轴正半轴交于点A.过点A作直线l交C1于C，D两点，直线OC，OD分别交C2于E，F两点.

（1） 求证： O点在以EF为直径的圆的内部；

（2） 设△OEF，△OCD的面积分别为S1，S2，若3S2=13S1，求直线l的方程.

解答例2的一般思路： 证明O点在以EF为直径的圆的内部，即证∠EOF为钝角，只需证[OE]·[OF]<0.

设C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），F（x4，y4），由题意可知，x1，x2，x3，x4均大于0.

由直线l过A（2，0）可设其方程为x=my+2，与y2=4x联立消去x，得y2-4my-8=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-8.

由[y1][2]=4x1可得C点坐标为

，y1，则直线OC的方程为y=x，与+=1联立消去y，得x2=，所以x3=.同理可得x4=.

所以[OE]·[OF]=x3x4+y3y4=x3x4+x3·x4=x3x41+

=

-x3x4<0，∠EOF为钝角，O点在以EF为直径的圆内.

（2） 由3S2=13S1可得===.

OC·OD=·=·=，因为x1+x2===4（m2+1），x1x2==4，所以OC·OD=4.

OE·OF====，其中（x3x4）2=·，[x3][2]+[x4][2]=+.接下来等待我们的是大量的计算，过程相当烦琐……

解题高手的思路： （1） 证明O点在以EF为直径的圆的内部，即证∠EOF为钝角， 只需证[OE]·[OF]<0.

设C（x1，y1），D（x2，y2）.设直线l：x=my+2，与y2=4x联立消去x，得y2-4my-8=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-8.

由[OC]·[OD]=x1x2+y1y2=+y1y2=-8=-4<0可证得∠COD为钝角.因为∠EOF=∠COD，所以∠EOF为钝角，O点在以EF为直径的圆内.

（2） 由3S2=13S1可得===.

设E（x3，y3），F（x4，y4），因为O，E，C三点共线，O，F，D三点也共线，所以=·=

·

==.

由[y1][2]=4x1可得C点坐标为

，y1，则直线OC方程为y=x，与+=1联立消去x，得[y3][2]=.同理可得[y4][2]=.所以（y3y4）2==.

因为=·==，所以y3y4=，即（y3y4）2==

2，解得m=±1，所以直线l的方程为x±y-2=0.

“像上帝那样俯瞰”整个问题，源于解题高手的“全局视野”.在例2的求解过程中，他们把图2看成一个整体，将证明∠EOF为钝角转化为证明∠COD为钝角；同时，在预估到计算OE·OF，OC·OD可能面临的困难后，选择先将其优化为·，并利用相似三角形和各个对应点之间的坐标关系，巧妙地将·转化为

·

，大大提高了解题效率.

“全局视野”的练就历程

要想练就解题高手的“全局视野”，就不能满足于解决某个问题，而要在成功解题后，自觉地反思和回顾，寻找更简便的方法.

例3已知+=1，求证：+=1.

解析1： 比较条件和结论，使人联想到α，β之间可能存在cosα=±cosβ或sinα=±sinβ等关系.

=1-

⇒cos4αsin2β=sin2βcos2β-sin4αcos2β

⇒cos4αsin2β=sin2βcos2β-sin4α（1-sin2β）

⇒sin2β·（cos4α-sin4α）=cos2β·sin2β-sin4α

⇒sin2β·（cos2α-sin2α）=cos2β·sin2β-sin4α

⇒sin2β·（cos2α-cos2β）=sin2α·（sin2β-sin2α）

⇒sin2β·（cos2α-cos2β）=sin2α·（1-cos2β-1+cos2α）

⇒sin2β=sin2α

⇒cos2β=cos2α.

所以+=+=1.

解析2： 分析已知条件，联想到圆方程的形式，可知点A

，

在圆x2+y2=1上，再结合cos2α+sin2α=1，能否使例3得证呢？

设点A

，

，因为

2+

2=+=1，所以点A在圆x2+y2=1上.

设圆上一点C（cosβ，sinβ），则过点C的单位圆的切线的斜率=，化简得切线方程x·cosβ+y·sinβ=1.

将点A的坐标代入切线方程，可得·cosβ+·sinβ=cos2α+sin2α=1，所以点A在过C点的圆x2+y2=1的切线上.因为点A也在该圆上，所以A，C两点重合，即

=cosβ，

=sinβ.所以cos2α=cos2β，

sin2α=sin2β，可得+=1.

解析3： 由已知条件联想到一个结构相似的问题：已知a·+b·=1，求证：a2+b2=1.

因为a·+b·≤+=1 （①），又a·+b·=1，所以①式能取到等号，所以a=

，

b=

，由此可得a2+b2=1.

如果例3用以上方法求解，会不会比解析1、解析2更加简便呢？

+cos2β≥2=2cos2α且+sin2β≥2=2sin2α，两式相加得+≥1，当且仅当

=cos2β，

=sin2β时等号成立，所以cos2α=cos2β，

sin2α=sin2β，由此可得+=1.

回顾例3的整个解题过程，每一种解法都比之前的更加简便.高手们在不断地利用之前学过的知识，探索更加有效的解题途径.他们能从问题或解题过程中获得灵感，进而浮想联翩，最终又回到数学现实，对猜想进行严谨的证明.

在数学爱好者看来，

解题不只是巩固知识与方法、训练思维的过程，

更是一场攀登智力之峰的游戏.

现在，让我们沿着高手的视线，

一探他们眼中的数学题.

与问题“对话”

数学语言以精确而简洁著称，被誉为“科学的语言”，形式化和符号化是它的主要特点.如果把整个数学的解题过程看成是解题者与数学问题的一场“对话”，高手便是那个能够迅速领会题目中形式化、符号化语言所传递信息的人.

例1如图1所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥BC，AD=DC，A1A=AB=2，BC=3.

（1） 求证： BC⊥AB1；

（2） AB1∥平面BC1D；

（3） 求四棱锥B-AA1C1D的体积.

我们先从已知条件中去领会题目传达的信息.

已知1： 三棱柱ABC-A1B1C1

⇒ 三棱柱中有很多平行关系，如两底面平行、侧棱互相平行……

已知2： A1A⊥底面ABC

⇒ A1A与底面ABC的三条边垂直.结合从已知1获得的信息，还可以得出A1A与另一底面A1B1C1的三条边也垂直.

由A1A⊂平面A1ACC1 且A1A⊂平面A1ABB1，可以得到平面A1ACC1⊥底面ABC、平面A1ABB1⊥底面ABC、平面A1ACC1⊥底面A1B1C1……

已知3： AB⊥BC

⇒ 由已知2可得A1A⊥BC，结合已知3可知BC⊥平面A1ABB1，所以BC垂直平面A1ABB1内的所有直线，如BC⊥A1B（∠A1BC=90°），BC⊥AB1，后者正是（1）要证的结论……

已知4： AD=DC

⇒ D为AC中点.只要再取一个中点，就将出现中位线.另一个中点可以取在从A点出发的各条线段上，如AA1，AB1，AC1；也可以取在从C点出发的各条线段上，如CC1，CA1，CB1.

由线线平行可以得到线面平行.如取CB1的中点E，由AB1∥DE，C1B∩CB1=E可得AB1∥平面BC1D.这正是（2）要证的结论……

现在来看问题（3）.过点B作BF⊥AC于点F，由于平面A1ACC1⊥底面ABC （由已知2可得），则BF就是四棱锥B-AA1C1D的高.由此可得VB-AA1C1D=·BF·SAA1C1D=···AC·A1A=3.

在对例1进行分析的过程中，我们发现，如果解题者领会到形式化和符号化语言背后传递的信息，甚至有所拓展，解题过程将会更为顺利.不过，这种信息的领会和拓展是建立在必要的知识与技能之上的.正如荷兰数学教育家G·波利亚在其传世名著《怎样解题》中所言：“好的思路来源于过去的经验和以前获得的知识.”

解题不只是构建条件与结论之间的联系，更要选择合适的路径，即解题策略.对高手而言，在具体采用某一方法时，他们并不是一味地跟着感觉走，而是“像上帝那样俯瞰”整个问题，对目前的处境作出清醒的评估，并适时对解题策略作出调整.

例2如图2所示，已知抛物线C1：y2=4x，椭圆C2：+=1与x轴正半轴交于点A.过点A作直线l交C1于C，D两点，直线OC，OD分别交C2于E，F两点.

（1） 求证： O点在以EF为直径的圆的内部；

（2） 设△OEF，△OCD的面积分别为S1，S2，若3S2=13S1，求直线l的方程.

解答例2的一般思路： 证明O点在以EF为直径的圆的内部，即证∠EOF为钝角，只需证[OE]·[OF]<0.

设C（x1，y1），D（x2，y2），E（x3，y3），F（x4，y4），由题意可知，x1，x2，x3，x4均大于0.

由直线l过A（2，0）可设其方程为x=my+2，与y2=4x联立消去x，得y2-4my-8=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-8.

由[y1][2]=4x1可得C点坐标为

，y1，则直线OC的方程为y=x，与+=1联立消去y，得x2=，所以x3=.同理可得x4=.

所以[OE]·[OF]=x3x4+y3y4=x3x4+x3·x4=x3x41+

=

-x3x4<0，∠EOF为钝角，O点在以EF为直径的圆内.

（2） 由3S2=13S1可得===.

OC·OD=·=·=，因为x1+x2===4（m2+1），x1x2==4，所以OC·OD=4.

OE·OF====，其中（x3x4）2=·，[x3][2]+[x4][2]=+.接下来等待我们的是大量的计算，过程相当烦琐……

解题高手的思路： （1） 证明O点在以EF为直径的圆的内部，即证∠EOF为钝角， 只需证[OE]·[OF]<0.

设C（x1，y1），D（x2，y2）.设直线l：x=my+2，与y2=4x联立消去x，得y2-4my-8=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-8.

由[OC]·[OD]=x1x2+y1y2=+y1y2=-8=-4<0可证得∠COD为钝角.因为∠EOF=∠COD，所以∠EOF为钝角，O点在以EF为直径的圆内.

（2） 由3S2=13S1可得===.

设E（x3，y3），F（x4，y4），因为O，E，C三点共线，O，F，D三点也共线，所以=·=

·

==.

由[y1][2]=4x1可得C点坐标为

，y1，则直线OC方程为y=x，与+=1联立消去x，得[y3][2]=.同理可得[y4][2]=.所以（y3y4）2==.

因为=·==，所以y3y4=，即（y3y4）2==

2，解得m=±1，所以直线l的方程为x±y-2=0.

“像上帝那样俯瞰”整个问题，源于解题高手的“全局视野”.在例2的求解过程中，他们把图2看成一个整体，将证明∠EOF为钝角转化为证明∠COD为钝角；同时，在预估到计算OE·OF，OC·OD可能面临的困难后，选择先将其优化为·，并利用相似三角形和各个对应点之间的坐标关系，巧妙地将·转化为

·

，大大提高了解题效率.

“全局视野”的练就历程

要想练就解题高手的“全局视野”，就不能满足于解决某个问题，而要在成功解题后，自觉地反思和回顾，寻找更简便的方法.

例3已知+=1，求证：+=1.

解析1： 比较条件和结论，使人联想到α，β之间可能存在cosα=±cosβ或sinα=±sinβ等关系.

=1-

⇒cos4αsin2β=sin2βcos2β-sin4αcos2β

⇒cos4αsin2β=sin2βcos2β-sin4α（1-sin2β）

⇒sin2β·（cos4α-sin4α）=cos2β·sin2β-sin4α

⇒sin2β·（cos2α-sin2α）=cos2β·sin2β-sin4α

⇒sin2β·（cos2α-cos2β）=sin2α·（sin2β-sin2α）

⇒sin2β·（cos2α-cos2β）=sin2α·（1-cos2β-1+cos2α）

⇒sin2β=sin2α

⇒cos2β=cos2α.

所以+=+=1.

解析2： 分析已知条件，联想到圆方程的形式，可知点A

，

在圆x2+y2=1上，再结合cos2α+sin2α=1，能否使例3得证呢？

设点A

，

，因为

2+

2=+=1，所以点A在圆x2+y2=1上.

设圆上一点C（cosβ，sinβ），则过点C的单位圆的切线的斜率=，化简得切线方程x·cosβ+y·sinβ=1.

将点A的坐标代入切线方程，可得·cosβ+·sinβ=cos2α+sin2α=1，所以点A在过C点的圆x2+y2=1的切线上.因为点A也在该圆上，所以A，C两点重合，即

=cosβ，

=sinβ.所以cos2α=cos2β，

sin2α=sin2β，可得+=1.

解析3： 由已知条件联想到一个结构相似的问题：已知a·+b·=1，求证：a2+b2=1.

因为a·+b·≤+=1 （①），又a·+b·=1，所以①式能取到等号，所以a=

，

b=

，由此可得a2+b2=1.

如果例3用以上方法求解，会不会比解析1、解析2更加简便呢？

+cos2β≥2=2cos2α且+sin2β≥2=2sin2α，两式相加得+≥1，当且仅当

=cos2β，

=sin2β时等号成立，所以cos2α=cos2β，

sin2α=sin2β，由此可得+=1.

回顾例3的整个解题过程，每一种解法都比之前的更加简便.高手们在不断地利用之前学过的知识，探索更加有效的解题途径.他们能从问题或解题过程中获得灵感，进而浮想联翩，最终又回到数学现实，对猜想进行严谨的证明.