理论研究强激光场中2pz态氢原子的电离

初玉玲，唐增华，马凤才，李永庆

（1.赤峰学院物理与电子信息工程学院，赤峰024001；2.辽宁大学物理学院，沈阳110036）

将（4）式和 （5）式代入 （2）式，并利用ψf 是算符HA（t）的本征函数，经计算后可得

1 引 言

由于激光技术的不断发展，原子与分子在强激光场中的非线性物理现象在理论和实验上引起了广泛的关注，例如阈上电离，双电离，高次谐波的产生等［1-7］.但是由于强场电离机制的复杂性，即使是最简单的氢原子在强激光场的电离，我们也不是十分清楚其中的电离机制［8］，所以为了进一步研究更为复杂的原子和分子的强场电离，有必要详细地研究一下氢原子在强激光场中的电离情况.

由于电磁场中原子的Schrödinger方程不能够得到解析解，而且现在的计算能力也非常有限，所以到目前为止对于多电子原子是无法获得精确的数值解.因此，现在研究强场电离的过程，分析与理解实验的结果，只能借助一些理论模型.到目前为止，对于强激光场与物质相互作用研究的理论中，最重要的就是1965年Keldysh提出的单电子原子在强激光场中的光致电离理论［9］，在这一理论中，他推导了氢原子在线性偏振激光场中，由基态直接跃迁到Volkov连续态的电离率表达式，其中一个非常重要的贡献就是提出了判断不同电离机制的绝热参数γ，即Keldysh参数.从他的表达式中能够分析得到光致电离的主要特点［10］，例如光致电离率的指数相关性等特点，Keldysh理论开启了强场物理研究的新篇章.目前，对于计算原子光致电离率的方法，除了Keldysh理论之外，还有两个非常重要的理论，一个是Faisal理论［11］，他从S矩阵元出发，推导了原子强场多光子电离跃迁矩阵元的一般表达式，在推导过程中系统的末态忽略长程库仑势的影响.后来，Reiss［12］进一步发展了强场电离理论，使得这一理论能够计算线性偏振和圆偏振激光场中任意阶相互作用的跃迁几率.Reiss理论与Keldysh理论一个重要的不同点就是原子和激光场之间相互作用的哈密顿表示形式不同，Keldysh 运用的是r⇀·F⇀形式，即长度规范，而Reiss运用的是p⇀·A⇀形式，即速度规范.Faisal独立提出了强场电离的理论模型，他与Reiss都运用速度规范的相互作用哈密顿，但他采用直接时间S 矩阵形式，这三个理论后来就被称为KFR 理论［13-17］.

众所周知，电磁相互作用具有规范不变性，因此用不同规范的理论计算原子分子的电离率应该相同.Faisal也从理论上证明了表示原子从束缚态到自由态跃迁振幅的S矩阵元的级数，在规范变换下逐级都是不变的.然而，在用KFR 强场近似理论计算原子分子电离率的实际过程中，不同规范理论却得出不同的结果.这两种规范似乎构成了两种不同的理论模型.尤其是最近，Bauer［18］分别在长度规范下和速度规范下计算了隧穿区域的1s态氢原子在强激光场中的电离率，从结果来看两种规范的理论之间至少存在一个数量级的差异，对圆偏振的情况，这种差异更为明显［19］.对于哪种规范的强场近似理论能够更准确地描述强场电离过程引起了许多研究者广泛的争论.其中许多研究结果表明强场近似长度规范的理论优于速度规范的理论，与实验数据以及Schrödinger方程的数值解符合得更好.然而，也有一些人不认同此观点，他们也提出了速度规范理论的优越之处.所以规范选择的争论十分激烈.为了研究两种规范存在差异的本质原因，最近我们运用速度规范理论推导了强激光场中1s态氢原子电离率表达式，我们得到结果和Keldysh 在长度规范下的结果一样简洁，将会对两种规范理论之间存在差异的原因研究提供一个重要的理论参考［20］，并且证明了两种规范理论之间的差异不是由数学方法造成的，其中可能存在需要深入研究的问题.为了更好地理解强场电离机制，本文研究了激发态氢原子的强场电离情况.

我们以S跃迁矩阵理论［12］为出发点，一般而言，这是处理电子从束缚态跃迁到自由态的一种很好的方法.并且运用偶极近似原理，在这种情况下只考虑电磁场中的电场部分，电子只和强激光场作用，忽略原子核对电离电子的长程库仑势作用，电离电子的波函数用Volkov平面波来描述，这是一种非常适用的描述自由电子的方法.我们以2pz态氢原子为例进行计算，在隧穿电离的情况下 （Keldysh绝热γ ＜＜1），运用速度规范理论推导了其在强激光场中的电离率公式，得到一个和Keldysh理论一样简洁的表达式，将会对原子强场电离机制的研究提供重要的理论参考.在推导过程中我们用到了两个近似，分别是在积分过程中用到的鞍点积分方法［21］，并且假设电离电子的动量非常小，满足p2＜＜2Eb.在推导过程中，使用的是原子单位（=m=ħ=1），电子的电荷数取-1.

2 理论计算

对于强激光场中的2pz态氢原子，由2pz态直接跃迁到Volkov连续态的光致电离率为

根据Reiss理论，跃迁矩阵元可以表示为［12］

其中ψf表示电子末态波函数，即Volkov连续态，φi表示无外场存在时的系统初态波函数，HA（t）是电子和激光场相互作用的Hamiltonian，在速度规范下可以表示为

对于线性偏振激光场，运用偶极近似原理，激光场的矢势可以表示为（t）=cosωt，其中表示极化矢量方向，ω 是激光场的频率，A 是矢势的振幅，对应的电场可以表示为（t）=-∂t（t）=sinωt，其中F=Aω 是电场强度，速度规范下Volkov波函数为

其中HA（，τ）是将 （3）中算符-i用其本征值替换.V 是归一化常数.系统的初态波函数为

其中

将（4）式和 （5）式代入 （2）式，并利用ψf 是算符HA（t）的本征函数，经计算后可得

其中

Φ（ ξn ）是Dawson积分，定义为

其中

将（15）式代入 （9）中得到氢原子由2pz态跃迁到Volkov连续态的总电离率为（16）式为本文的一个主要结论：2pz态氢原子强场电离率的表达式，这个式子和Keldysh 推导的长度规范的基态氢原子的电离率表达式一样简洁，将对原子强场电离的研究提供一个理论参考.

3 计算结果与讨论

这部分我们从数值上来分析和讨论在速度规范下2pz态氢原子的电离率，并和其他研究者的结果进行比较.Bauer在速度规范下计算的圆偏振激光场中的2pz态氢原子电离率的表达式为［19］

其中Eb和n0的意义和前面是相同的，θ是动量和极化矢量方向之间的夹角，Jn是广义Bessel函数.

由于我们研究的是低频高强度激光场的情况，电离率的表达式是关于激光参数ω 和强度参数z1的函数，满足条件ω＜＜1，z1＞＞1和附加条件F ＜＜1a.u..所以在实际的计算过程中，我们首先设定频率ω 为固定值，强度参数z1作为变量，研究电离率随强度参数z1如何变化，然后再反过来把强度参数z1作为固定值，而将频率ω 作为变量，研究电离率随频率ω 如何变化，为了满足低频高强度的条件，在计算过程中我们取强度参数z1=100，或者取频率ω=0.01a.u..在图1中给出了三种情况计算的2pz态氢原子电离率的结果，它们分别随着强度参数z1而变化，而频率ω 固定为0.01a.u..文中 （9）式和 （16）式的结果分别用虚线和实线表示，2pz态氢原子在圆偏振激光场中的电离率即 （17）式用加点虚线表示，在图2中，这三种氢原子的电离率表示形式和图1中是相同的，不同的是在图2中电离率是随频率ω 的变化情况，这时强度参数z1=100.在图3中，当电场强度F ＜＜1a.u.时，三种情况的2pz态氢原子的电离率随电场强度F 的变化情况，从这三幅图中我们可以看出，我们本文中结果［（9）式和 （16）式］在数值上吻合地非常好.显然，圆偏振激光场中的2pz态氢原子电离率要明显小于线偏振的情况.此外，如果忽略小项γ2，本文中我们得到的结果的指数部分和Keldysh 以及Bauer等人的结果是相同的［9，18］，这些表达式的不同之处就在于指数前因子部分.

图1 圆偏振和线偏振激光场中2pz氢原子的电离率随Reiss强度参数z1的变化，激光频率ω 固定为0.01a.u.Fig.1 Plot of 2pz hydrogen atom ionization rates for the linearly polarized laser field or circularly polarized laser field as a function of the Reiss intensity parameter z1，with the laser frequency ωfixed at 0.01a.u.

图2 圆偏振和线偏振激光场中2pz氢原子的电离率随激光频率ω 的变化，Reiss强度参数z1固定为100Fig.2 Plot of 2pz hydrogen atom ionization rates for the linearly polarized laser field or circularly polarized laser field as a function of the laser frequencyω，with the Reiss intensity parameter z1 fixed at 100.

图3 圆偏振和线偏振激光场中2pz氢原子的电离率随电场强度F 的变化，激光频率ω固定为0.01a.u.Fig.3 Plot of 2pz hydrogen atom ionization rates for the linearly polarized laser field or circularly polarized laser field（forω=0.01a.u.）as a function of the electric field F

4 结 论

本文运用速度规范理论在隧穿电离的情况下推导了2pz态氢原子在强激光场中的电离率公式，我们的表达式要比Bauer在圆偏振激光场中运用同样方法得到的结果要简洁得多［19］，从目前的研究情况来看，这是运用速度规范理论计算的2pz态氢原子在强激光场中的电离率的最简洁的表达式，通过数据分析可以看出，圆偏振激光场中2pz态氢原子的电离率通常要比线偏振激光场中的情况小几个数量级.此外，对于隧穿电离的情况，本文中得到的电离率公式的指数部分和其他研究者得到的结果是相同的，这也说明了电离机制的本质是由公式中指数部分所决定的.

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