基于p6阶Φ20家族群的一类新LA-群

班桂宁，崔艳，刘海林

（广西大学数学与信息科学学院，广西南宁530004）

基于p6阶Φ20家族群的一类新LA-群

班桂宁，崔艳，刘海林

（广西大学数学与信息科学学院，广西南宁530004）

文章利用群的扩张理论和自由群理论对p6阶群Φ20家族的群进行了推广，得到了有限p-群的一个重要类，并给出了它的一些性质.进一步验证了它是LA-群.

有限p-群；扩张；自同构群；自由群；LA-群；阶

在有限群的研究中，有限p-群是一个非常重要的分支，已经有了许多有意义的结果[1-4].对于阶小于等于p6（p为奇素数）的有限p-群的同构分类已经由Rodney James[5]中给出.而有限p-群的自同构群，有一个十分著名的LA-猜想，即阶大于p2的有限非循环p-群的阶是其自同构群的阶的因子.关于LA-猜想，俞曙霞，班桂宁等得到了许多有价值的结果.本文基于文献[5]，对p6阶群Φ20家族进行了推广，得到了有限p-群的一个重要类，然后用Schreier群扩张理论和自由群理论验证了所构造出的群的存在性，并给出了所得群的一些性质，最后利用群的中心内自同构的特性证明了所得到的群为LA-群.

本文中所考虑的群如G等都是有限p-群，定义关系中所涉及到的所有参数如k，m等均为非负整数，p为奇素数，以及关系中形如[a，b]=1，a,b∈G和ri，ti（i=1，2，3）都与p互素略去不写，其他定义和符号都为标准的，具体可参见文献[6].

1 相关引理

引理1[6]设G是群，a,b,c∈G，则

（1）[a，b]-1=[b，a]；

（2）[ab，c]=[a，c]b[b，a]；

（3）[a，bc]=[a，c][a，b]c.

引理2[7]（Van Dyek）设G是由生成元x1，x2，…，xr和关系fi（x1，x2，…，xr）=1，i∈I所定义的群，H=〈a1，a2，…，ar〉（这些ai可能相同），∀i∈I，则存在唯一的满同态σ∶G=Fr/H→H，使得xiN→ai，其中Fr=〈x1，…，xr〉为自由群，

（Y在Fr中的正规闭包），G=Fr/N.如果||G≤||H<+∞，则上述的σ为群同构（即H是由生成元{a1，a2，…，ar}与定义关系，fi（a1，a2，…，ar）=1，∀i∈I所定义的群）.

引理3[8]设G是PN-群，G/G′和Z（G）的不变型分别为m1≥m2≥…≥mt≥1和k1≥k2≥Λ≥ks≥1，则，其中.

根据引理2计算中心自同构群的阶，需知中心和G/G′的不变型，因此需要把中心和G/G′化成素数幂阶循环群的直积形式，为此引入交换群化为直积的方法（简称WAG方法）：

（1）若存在一个j使得k≤sj.则

（2）对于任意的j，k≥sj，设mi-si=max{m1-s1，Λ，mn-sn}，则对任意j，有sj+mi-si≥sj+mj-sj≥mj，.如果bxa=1，其中，则有bx∈M.可假设x=zpk，所以

且

2 主要结果

定理1设

其中0≤sj≤m1，0≤μj≤m2，（j=0，1，2）.则G成为一个群的充要条件是max{m1，m2}≤m0≤min{k1，k2}，m2≤k0，0≤sj≤m1，0≤μj≤m2，（j=0，1，2）.进一步，在G成群的条件下，有

即定理中所给的关系是群G的定义关系，且

1.

综上可得参数之间的关系为max{m1，m2}≤m0≤min{k1，k2}，m2≤k0，m0≤k0.

（Ⅱ）下面利用群的扩张理论和自由群理论来证明.在证明中所给的条件下群G的存在性下面将分三步完成.

（1）令N=〈β〉×〈β1〉×〈β2〉≌（m0，m1，m2），映射τ= 1N，且因为所以有循环扩张

max{m1，m2}≤m0≤k1，m2≤k0，0≤sj≤m1，0≤μj≤m2，（j=0， 1，2），且设F=〈x0，x1，y0，y1，y2〉是5个生成元的自由群，

令H=〈x0，y0，y1，y2〉，因为是满足群G（1）关系的群，所以，因为，于是，所以

从而得到满足群G（2）的关系正是群G（2）的定义关系.

（3）最后证明群G存在时，且

令H=〈x0，x1，y0，y1，y2〉，因为是满足群G（2）定义关系的群，所以因为，于是，所以

从而得到满足群G的关系正是群G的定义关系.

定理2G有如下性质

其不变型为（k0，k1，k2），

（2）G是PN群，其中m=max{m1，m2}，

证明定理2的式（1）由G的定义关系，显然有

所以有

从而得到G/M是交换群，所以有G′≤M，由此可得

证明定理2的式（2），显然可见，

则

所以

从而

由g的任意性，可得

下面开始计算Z（G）的阶，因为

当m1≥m2时，

对

定理3当m0+k0≥k2>k1≥k0时

（1）若k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，k2-m0≤min{s2，μ2}，则群G是LA-群.

（2）若k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，k2-m0≤μ2或μ2≤k2-m0≤s2，则群G是LA-群.

（3）若k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，m1-s2≥m2-μ2，s2≤μ2≤k2-m0或μ2≤s2≤k2-m0，则群G是LA-群.

（4）若k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，m1-s2

证明首先，把中心Z（G）表示成素数幂阶循环群的直积，分以下四步完成

（i）由

其中m=max{m1，m2}，令

再根据条件m≤m0≤min{k1，k2}，m2≤k0，m0≤k0得

则

所以交换群

（iii）当k0-m2≤min{s0，μ0}时，由（ii）知

令

所以交换群

（iv）当k1-m0≤min{s1，μ1}时，由（iii）知

有WAG方法，有

（a1）当k2-m0≤min{s2，μ2}时，类似（ii）中的方法，

所以

（a2）当min{s2，μ2}≤k2-m0≤max{s2，μ2}时

（a2.1）当s2≤μ2时，，

且

所以

（a2.2）当s2≥μ2时，μ2≤k2-m0≤s2，类似（a2.1）的方法

所以

（a3）当k2-m0≤min{s2，μ2}时

（a3.1）对m1-s2≥m2-μ2，有

则

对于

（a3.1.1）当s2≤μ2≤k2-m0时，则有

则有

所以

（a3.1.2）当s2≤μ2≤k2-m0时，类似（a2.1）的方法

所以

（a3.2）对m1-s2

（a3.2.1）当s2≤μ2≤k2-m0时，类似（a2.1）的方法，

所以

（a3.2.2）当s2≤μ2≤k2-m0时，

所以

由上得到Z（G）的直积形式有以上七种形式，下面开始计算群的中心自同构的阶.

令R=Inn（G）Ac（G）（Ac（G）为G的中心自同构），现在先计算，易知R为Aut（G）的正规p子群.由引理1有

1）当k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，k2-m0≤min{s2，μ2}时由式（1a）知

2）当k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，s2≤k2-m0≤μ2时，由式（2a）知

此时分三种情形讨论，

情形1：若k2-m0+m1-s2≤k0时，

情形2：若k0≤k2-m0+m1-s2≤k1时，

情形3：若k2-m0+m1-s2≥k1时，

若μ2≤k2-m0≤s2时，由式（3a）知

由引理2，

分以下三种情形：

情形1：k2-m0+m2-μ2≤k0，c+2m0=ω+2（k1-m0）+

2（m1+m2+k0+k2）≥ω+2（m1+m2+k0+k2），故有

情形2：k0≤k2-m0+m2-μ2≤k1，c+2m0=ω+（k2-m0）+3（k0-m）+2（k1-m）+（m1+m2-m）+m1≥ω+m1，故有

情形3：k2-m0+m2-μ2≤k1，c+2m0=ω+ 3（k0-m）+2（k1-m）+2m1≥ω+2m1||R=pc+2m0≥||G p2m1,

由上述六种情形知定理3中的式（2）成立.

此时分三种情形讨论：

情形1：若k2-m0+m1-s2≤k0时，

情形2：若k0≤k2-m0+m1-s2≤k1时，d+2m0=ω+2（k0-m0）+2（k0-m）+2（k1-m）+（k2-m）+m1+m2-m≥ω+m1+2m2，

情形3：若k2-m0+m1-s2≥k1时，

若μ2≤s2≤k2-m0时，由式（5a）知

分以下三种情形：

情形1：k2-m0+m1-s2≤k0，e+2m0=ω+2（k0-m0）+ 2（k1-m）+2（k2-m）+2（m1+m2-m），

情形2：k0≤k2-m0+m1-s2≤k1，e+2m0=ω+

情形3：k2-m0+m1-s2≤k1，e+2m0=ω+3（k0-m）+

由上述六种情形知定理3中的式（3）成立.

4）当k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，m1-s2< m2-μ2，s2≤μ2≤k2-m0时，由式（6a）知

f=ω-2m0+2m1+2k0+2k1+2μ2-6m+min{k2-m0+m2-μ2，k0}+min{k2-m0+m2-μ2，k1}，此时我们分三种情形讨论：

情形1：若k2-m0+m2-μ2≤k0时，

情形2：若k0≤k2-m0+m2-μ2≤k1时，

情形3：若k2-m0+m2-μ2≤k1时，

若μ2≤s2≤k2-m0时，由（7a）知

分以下三种情形：

情形1：k2-m0+m2-μ2≤k0，h+2m0=ω+2（k0-m0）+2（k1-m）+ 2（k2-m）+2（m1+m2-m），故有

情形2：k0≤k2-m0+m2-μ2≤k1，

情形3：k2-m0+m2-μ2≥k1，h+2m0=ω+3（k0-m）+

由上述六种情形知该定理中的（4）成立.

故在Z（G）的直积形式下G都为LA-群.

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责任编辑：毕和平

A LA-group Based on Φ20Family Group of p6Qrder

BAN Guining，CUI Yan，LIU Hailin
（School of Mathematics and Information Sciences，Guangxi University，Nanning 530004，China）

In this paper,we generalized Φ20family group of p6order by using the extension theory of group and theory of free groups to obtain,a new series of p-group,and some properties.Furthermore,we proved that the groups are LA-group.

finite group；extention；automorphism group；free group;order

O 152.1

A 文章编号：1674-4942（2014）02-0119-09

2013-09-07

国家自然科学基金项目（61074185）