浅谈幂级数的敛散性与函数的幂级数展开
2014-07-03马晓东李淑娟
马晓东++李淑娟
摘 要：幂级数是数学分析当中重要概念之一，在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个。幂级数被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域。本文就幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域、马克劳林级数等内容进行浅析。
关键词：幂级数 敛散性 收敛半径 收敛区间 收敛域 马克劳林级数
中图分类号：O173 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（b）-0089-02
1 幂级数的概念
1.1 幂级数
形如或的级数称为幂级数，其中常数叫做幂级数的系数。
1.2 收敛半径与收敛区间[1]
如果幂级数不是仅在c=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R存在，它具有下列性质：
当时，幂级数绝对收敛；
当时，幂级数发散；
当x=R与X=-R时，幂级数可能收敛也可能发散。
正数R通常叫做幂级数的收敛半径。由幂级数在处的收敛性决定它在区间、或上收敛，这区间叫做幂级数的收敛域，而开区间（-R，R）称为幂级数的收敛区间。
如果仅在c=0收敛，就规定R=0，如果对一切c都收敛，则规定R=。
1.3 收敛半径的求法
（1）对于不缺项的幂级数
定理：设幂级数的系数有则：
①当0<<时，有R=。
②当=0时，定义R=。
③当时，定义R=0。
（2）对于缺项的幂级数，例如
令，，考察==
则当<1时，级数收敛，此时可得知
①当时，R=。
②当时，R=。
③当时，定义R=0。
2 将初等函数展开为幂级数
如果f（x）在点的某邻域内具有各有阶导数、、…，…，这时称幂级数
为函数f（x）在x=处展开的泰勒级数。
特别地，取得幂级数
称为函数的马克劳林级数。
常用的马克劳林级数有：
（1）
（2）Sinx=
（3）Cosx=
（4）Ln（1+x）=
（5）
3 间接展开法
利用幂级数的基本性质与几个常用的标准展开式，将初等函数展开为幂级数的方法，称为间接展开法。
4 幂级数的基本性质
（1）幂级数的和函数S（x）在其收敛区间（-R，R）内为连续函数。
（2）幂级数在其收敛区间（-R，R）内可以逐项积分，即：
=
且逐项积分后所得到的幂级数的收敛半径也是R。
（3）幂级数在其收敛区间（-R，R）内可以逐项求导，即：
（注意下标的变化）
且逐项求导后所得的幂级数的收敛半径仍为R。
说明：如果逐项积分或逐项微分后的幂级数在c=R（或-R）处收敛，则性质2，3在c=R（或-R）处仍成立。
（4）若的收敛区间为（），的收敛区间为（），则
且的收敛区间为（-R，R），其中R=min
典型例题分析[2]
4.1 选择题
（1）幂级数的收敛区间为（ ）。
A.（-1，1） B.
C. D.
分析：因为
所以且当x=-1时，发散。
当x=1时，收敛，故收敛区间为，答：C。
（2）设幂级数在c=2处收敛，则该幂级数在c=-1处必定（ ）。
A.发散 B.条件收敛
C.绝对收敛 D.敛散性不能确定
分析：由于幂级数在其收敛区间（-R，R）内绝对收敛，在时发散.可知，当幂级数在c=2处收敛时，必有。因此在（-2，2）内必定绝对收敛，由于c=-1（-2，2），因此可知在c=-1处必定绝对收敛，故应选C，答：C。
（3）下列幂级数中，收敛半径为R=1的是（ ）。
A. B.
C. D.
分析：A
B
C
D
可见B为正确答案，答：B。
4.2 填空题
（1）幂级数的收敛域为
分析：当，即0 又当x=0时，=发散。 而当x=2时，=收敛。 故收敛域为，答：。 （2）关于的幂级数展开式为（-2 分析： = = （-2 答：（-2 4.3 解答题 （1）求幂级数的收敛半径。 分析： ，于是可知收敛半径为答：2。 （2）求的收敛区间。 分析：所给级数为不缺项情形，， = 因此，所以幂级数的收敛区间为（-3，3），答：（-3，3）。 （3）求的收敛半径、收敛区间和收敛域。 分析： 于是 可知收敛半径为R=即当即时，收敛。 当c=0时，=发散。 当c=2时，收敛。 故收敛区间为（0，2），收敛域为，答：1，（0，2），。 （4）把函数展开为x-2的幂级数，并求收敛区间。 分析：= 利用函数 ，R=1，得到 ，， 所以 （5）求函数的马克劳林级数展开式。 分析：已知 =， 答： （6）将函数展开成的幂级数。 分析： = = 利用公式（2）与（3）以代入得： ， ， 在处的展开式为： Sinc= 参考文献 [1] 高霞.高等数学[M].南开大学出版社，2010. [2] 叶正道.高等数学[M].中国社会出版社，2005.
摘 要：幂级数是数学分析当中重要概念之一，在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个。幂级数被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域。本文就幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域、马克劳林级数等内容进行浅析。
关键词：幂级数 敛散性 收敛半径 收敛区间 收敛域 马克劳林级数
中图分类号：O173 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（b）-0089-02
1 幂级数的概念
1.1 幂级数
形如或的级数称为幂级数，其中常数叫做幂级数的系数。
1.2 收敛半径与收敛区间[1]
如果幂级数不是仅在c=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R存在，它具有下列性质：
当时，幂级数绝对收敛；
当时，幂级数发散；
当x=R与X=-R时，幂级数可能收敛也可能发散。
正数R通常叫做幂级数的收敛半径。由幂级数在处的收敛性决定它在区间、或上收敛，这区间叫做幂级数的收敛域，而开区间（-R，R）称为幂级数的收敛区间。
如果仅在c=0收敛，就规定R=0，如果对一切c都收敛，则规定R=。
1.3 收敛半径的求法
（1）对于不缺项的幂级数
定理：设幂级数的系数有则：
①当0<<时，有R=。
②当=0时，定义R=。
③当时，定义R=0。
（2）对于缺项的幂级数，例如
令，，考察==
则当<1时，级数收敛，此时可得知
①当时，R=。
②当时，R=。
③当时，定义R=0。
2 将初等函数展开为幂级数
如果f（x）在点的某邻域内具有各有阶导数、、…，…，这时称幂级数
为函数f（x）在x=处展开的泰勒级数。
特别地，取得幂级数
称为函数的马克劳林级数。
常用的马克劳林级数有：
（1）
（2）Sinx=
（3）Cosx=
（4）Ln（1+x）=
（5）
3 间接展开法
利用幂级数的基本性质与几个常用的标准展开式，将初等函数展开为幂级数的方法，称为间接展开法。
4 幂级数的基本性质
（1）幂级数的和函数S（x）在其收敛区间（-R，R）内为连续函数。
（2）幂级数在其收敛区间（-R，R）内可以逐项积分，即：
=
且逐项积分后所得到的幂级数的收敛半径也是R。
（3）幂级数在其收敛区间（-R，R）内可以逐项求导，即：
（注意下标的变化）
且逐项求导后所得的幂级数的收敛半径仍为R。
说明：如果逐项积分或逐项微分后的幂级数在c=R（或-R）处收敛，则性质2，3在c=R（或-R）处仍成立。
（4）若的收敛区间为（），的收敛区间为（），则
且的收敛区间为（-R，R），其中R=min
典型例题分析[2]
4.1 选择题
（1）幂级数的收敛区间为（ ）。
A.（-1，1） B.
C. D.
分析：因为
所以且当x=-1时，发散。
当x=1时，收敛，故收敛区间为，答：C。
（2）设幂级数在c=2处收敛，则该幂级数在c=-1处必定（ ）。
A.发散 B.条件收敛
C.绝对收敛 D.敛散性不能确定
分析：由于幂级数在其收敛区间（-R，R）内绝对收敛，在时发散.可知，当幂级数在c=2处收敛时，必有。因此在（-2，2）内必定绝对收敛，由于c=-1（-2，2），因此可知在c=-1处必定绝对收敛，故应选C，答：C。
（3）下列幂级数中，收敛半径为R=1的是（ ）。
A. B.
C. D.
分析：A
B
C
D
可见B为正确答案，答：B。
4.2 填空题
（1）幂级数的收敛域为
分析：当，即0 又当x=0时，=发散。 而当x=2时，=收敛。 故收敛域为，答：。 （2）关于的幂级数展开式为（-2 分析： = = （-2 答：（-2 4.3 解答题 （1）求幂级数的收敛半径。 分析： ，于是可知收敛半径为答：2。 （2）求的收敛区间。 分析：所给级数为不缺项情形，， = 因此，所以幂级数的收敛区间为（-3，3），答：（-3，3）。 （3）求的收敛半径、收敛区间和收敛域。 分析： 于是 可知收敛半径为R=即当即时，收敛。 当c=0时，=发散。 当c=2时，收敛。 故收敛区间为（0，2），收敛域为，答：1，（0，2），。 （4）把函数展开为x-2的幂级数，并求收敛区间。 分析：= 利用函数 ，R=1，得到 ，， 所以 （5）求函数的马克劳林级数展开式。 分析：已知 =， 答： （6）将函数展开成的幂级数。 分析： = = 利用公式（2）与（3）以代入得： ， ， 在处的展开式为： Sinc= 参考文献 [1] 高霞.高等数学[M].南开大学出版社，2010. [2] 叶正道.高等数学[M].中国社会出版社，2005.
摘 要：幂级数是数学分析当中重要概念之一，在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个。幂级数被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域。本文就幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域、马克劳林级数等内容进行浅析。
关键词：幂级数 敛散性 收敛半径 收敛区间 收敛域 马克劳林级数
中图分类号：O173 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（b）-0089-02
1 幂级数的概念
1.1 幂级数
形如或的级数称为幂级数，其中常数叫做幂级数的系数。
1.2 收敛半径与收敛区间[1]
如果幂级数不是仅在c=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R存在，它具有下列性质：
当时，幂级数绝对收敛；
当时，幂级数发散；
当x=R与X=-R时，幂级数可能收敛也可能发散。
正数R通常叫做幂级数的收敛半径。由幂级数在处的收敛性决定它在区间、或上收敛，这区间叫做幂级数的收敛域，而开区间（-R，R）称为幂级数的收敛区间。
如果仅在c=0收敛，就规定R=0，如果对一切c都收敛，则规定R=。
1.3 收敛半径的求法
（1）对于不缺项的幂级数
定理：设幂级数的系数有则：
①当0<<时，有R=。
②当=0时，定义R=。
③当时，定义R=0。
（2）对于缺项的幂级数，例如
令，，考察==
则当<1时，级数收敛，此时可得知
①当时，R=。
②当时，R=。
③当时，定义R=0。
2 将初等函数展开为幂级数
如果f（x）在点的某邻域内具有各有阶导数、、…，…，这时称幂级数
为函数f（x）在x=处展开的泰勒级数。
特别地，取得幂级数
称为函数的马克劳林级数。
常用的马克劳林级数有：
（1）
（2）Sinx=
（3）Cosx=
（4）Ln（1+x）=
（5）
3 间接展开法
利用幂级数的基本性质与几个常用的标准展开式，将初等函数展开为幂级数的方法，称为间接展开法。
4 幂级数的基本性质
（1）幂级数的和函数S（x）在其收敛区间（-R，R）内为连续函数。
（2）幂级数在其收敛区间（-R，R）内可以逐项积分，即：
=
且逐项积分后所得到的幂级数的收敛半径也是R。
（3）幂级数在其收敛区间（-R，R）内可以逐项求导，即：
（注意下标的变化）
且逐项求导后所得的幂级数的收敛半径仍为R。
说明：如果逐项积分或逐项微分后的幂级数在c=R（或-R）处收敛，则性质2，3在c=R（或-R）处仍成立。
（4）若的收敛区间为（），的收敛区间为（），则
且的收敛区间为（-R，R），其中R=min
典型例题分析[2]
4.1 选择题
（1）幂级数的收敛区间为（ ）。
A.（-1，1） B.
C. D.
分析：因为
所以且当x=-1时，发散。
当x=1时，收敛，故收敛区间为，答：C。
（2）设幂级数在c=2处收敛，则该幂级数在c=-1处必定（ ）。
A.发散 B.条件收敛
C.绝对收敛 D.敛散性不能确定
分析：由于幂级数在其收敛区间（-R，R）内绝对收敛，在时发散.可知，当幂级数在c=2处收敛时，必有。因此在（-2，2）内必定绝对收敛，由于c=-1（-2，2），因此可知在c=-1处必定绝对收敛，故应选C，答：C。
（3）下列幂级数中，收敛半径为R=1的是（ ）。
A. B.
C. D.
分析：A
B
C
D
可见B为正确答案，答：B。
4.2 填空题
（1）幂级数的收敛域为
分析：当，即0 又当x=0时，=发散。 而当x=2时，=收敛。 故收敛域为，答：。 （2）关于的幂级数展开式为（-2 分析： = = （-2 答：（-2 4.3 解答题 （1）求幂级数的收敛半径。 分析： ，于是可知收敛半径为答：2。 （2）求的收敛区间。 分析：所给级数为不缺项情形，， = 因此，所以幂级数的收敛区间为（-3，3），答：（-3，3）。 （3）求的收敛半径、收敛区间和收敛域。 分析： 于是 可知收敛半径为R=即当即时，收敛。 当c=0时，=发散。 当c=2时，收敛。 故收敛区间为（0，2），收敛域为，答：1，（0，2），。 （4）把函数展开为x-2的幂级数，并求收敛区间。 分析：= 利用函数 ，R=1，得到 ，， 所以 （5）求函数的马克劳林级数展开式。 分析：已知 =， 答： （6）将函数展开成的幂级数。 分析： = = 利用公式（2）与（3）以代入得： ， ， 在处的展开式为： Sinc= 参考文献 [1] 高霞.高等数学[M].南开大学出版社，2010. [2] 叶正道.高等数学[M].中国社会出版社，2005.
