基于Isight 和RecurDyn 的4-UPS-UPU 并联机构运动学分析*

张海强，徐 丰，朱炎龙，白 龙

(河北工程大学 装备制造学院，河北 邯郸 056038)

0 引言

在并联机构的研究中，运动学分析是并联机构研究的重要对象之一，包括对机构的正解和逆解的计算［1-2］。雷静桃［3］等提出边界搜索法对4-UPS-UPU 并联机构工作空间进行了优化分析，陈修龙等［4］采用一阶影响系数和二阶影响系数分别对4UPS-RPS 并联机构的速度和加速度进行了运动学分析，宋小科等［5］基于虚功原理对空间4自由度并联机床4PUS-RPU 进行了动力学分析。

本文以五自由度并联机构4-UPS-UPU 为研究对象，利用矢量法推导出机构的位置、速度、加速度表达式，得到Jacobian 矩阵和Hessian 矩阵，运用RecurDyn和Isight 软件，采用数值求解与仿真分析的方法对该机构进行运动学分析。实际结果表明，机构的理论求解是正确的。

1 4-UPS-UPU 并联机构模型

1.1 机构描述

4-UPS-UPU 并联机构由上平台、下平台、连接上下平台的4 个驱动支链和中间1 条恰约束主动支链组成，下平台通过4 个完全相同的驱动分支UPS(胡克铰-移动副-球副)与上平台连接，中间支链UPU 依次通过胡克铰-移动副-胡克铰与上平台相连接［6］。

图1 4-UPS-UPU 并联机构简图

1.2 自由度计算

根据空间自由度的计算公式［7］

式中，d为机构的阶数;n为构件数;g为机构运动副数，fi为第i个运动副的自由度。该机构中d=6，n=，则F=5。即沿三坐标轴的移动和绕X、Y轴的转动。

2 4-UPS-UPU 并联机构运动学分析

2.1 4-UPS-UPU 并联机构位置分析

如图1 所示，并联机构上下平台为边长不相等的正方形构成，边长分别为a和b，动坐标系o -xyz固接于上平台，定坐标系O -XYZ固接于下平台。o点为上平台A1A2A3A4的几何中心，x轴平行于A2A3，y轴平行于A1A2，z轴垂直于定平台方向向上。O点位于下平台B1B2B3B4的几何中心，X轴平行于B1B4，Y轴平行于B1B2，Z轴垂直与上平台向上;中间胡克铰铰点分别与动定坐标系原点重合。

Ai点在动坐标系o - xyz的坐标为

则

Bi点在动坐标系O - XYZ下的坐标为

则

o点在定坐标系O - XYZ下的坐标为

由于机构限制绕Z轴转动，所以γ=0°。设上平台绕定坐标系X轴、Y轴的旋角分别为α、β，则旋转矩阵R 为:

式中，sα=sinα，cα= cosα，其他类似。

上平台铰点Ai在定坐标系O-XYZ下的位置矢量可以表示为

驱动支链的向量可以表示为

则驱动支链的长度为

若已知上平台的位姿，则可求出驱动支链的长度，即运动学逆解。

2.2 4-UPS-UPU 并联机构速度分析

设4-UPS-UPU 并联机构上平台的o点的速度为V，则

其中上平台线速度ν

上平台角速度为ω，由于机构限制绕Z轴转动，所以ωz =0°

上平台铰点Ai的速度VAi

其中ri为球铰铰点Ai相对于上平台参考点o的矢径。

第i条驱动支链的速度可以表示为

其中qi为连杆li的单位方向矢量。

将式子(14)代入(15)中，可得

其中，

若J 为非奇异矩阵，则该机构的速度正解为

2.3 4-UPS-UPU 并联机构加速度分析

驱动支链的加速度为杆长对时间的二阶导数［8］，可以表示为

上平台的加速度可以表示为

其中H 为海赛矩阵，是雅可比矩阵J 关于位姿参数φ 对时间的导数，即

若雅可比矩阵J 非奇异，则该机构的加速度正解为

3 并联机构数值算例仿真分析

多学科设计优化软件Isight 能够提供实验设计、近似模型、探索优化和6Simga 质量设计等算法。运用上节建立的机构运动学位置、速度、加速度数学模型，利用Isight 集成Matlab 软件，可以很方便的对机构进行运动学数值仿真［9］。

如图1 所示，模型参数规定如下:上平台边长a =200mm，下平台边长b =400mm，初始位姿角α=0 ，β=0 。设上平台的姿态方程为α=1°/s，β=2°/s。上平台的运动轨迹方程为

在Isight 中集成Matlab 组件，如图2 和图3 所示，设置输入变量和输出变量。

图2 Matlab 组件工作流

图3 Matlab 组件编辑界面

采用实验设计方法(DOE)，在仿真时间10s 内生成100 个随机位姿，求解结束后，History 属性页可得到100 个关于杆长、速度、加速度的点，如图4 所示。

图4 样本点的参数值列表

在Graphs 属性页中，可以绘制杆长、速度、加速度随时间的变化曲线，如图5、6、7 所示。

图5 Isight 中驱动支链长度曲线

图6 Isight 中驱动支链速度曲线

图7 Isight 中驱动支链加速度曲线

4 并联机构运动学仿真验证

RecurDyn 软件是由韩国FunctionBay 公司开发的新一代多体系统仿真软件，能够创建复杂的虚拟样机模型，进行运动学仿真测试。

4.1 运动学逆解的仿真验证

基于SolidWorks，建立4-UPS-UPU 并联机构三维模型，然后导入RecurDyn 中，建立仿真模型［10-12］。在RecurDyn 中添加球副、胡克铰、移动副和笛卡尔驱动Cmotion，并将下平台固定于大地。如图8 所示。

图8 4-UPS-UPU 并联机构仿真模型

仿真参数设置为时间t= 10s，步长step =100。仿真分析结束后，利用后处理功能，测量五个连杆的长度、速度、加速度曲线，如图9、10、11所示。

图9 RecurDyn 中驱动支链长度曲线

图10 RecurDyn 中驱动支链速度曲线

图11 RecurDyn 中驱动支链加速度曲线

从图5～7 和图9～11 可以看出，4UPS-UPU 并联机构运动学的理论求解与仿真分析中的逆解所求的曲线完全一致，说明了运动学理论求解的正确性。

4.2 机构正解的仿真验证

Isight 集成MATLAB，利用图4 所示的杆长数据和公式(10)编程，求解得到上平台参考点的位置，绘制图12 所示的轨迹曲线。

图 12 上平台参考点o 的运动轨迹

利用Isight 运行过程中产生的五个驱动支链长度(见图4)转化为样条曲线spline，导入RecurDyn 中作为五个移动副的驱动函数。

添加完驱动后对仿真模型进行10 秒100 步运动学仿真分析，RecurDyn 仿真结束后，利用测量功能，测得上平台参考点o的运动轨迹，如图13 所示。

图13 上平台参考点轨迹曲线

从图12 和图13 可以看出，点o运动轨迹与我们预期设定的完全一致，说明了理论求解的正解性。

5 结论

(1)以4-UPS-UPU 并联机构作为研究对象，在机构模型和数学模型的基础上，从理论上对位置、速度、加速度进行了分析。

(2)借助Isight 软件和RecurDyn 软件，对该机构进行运动学的逆解和正解进行理论分析和仿真分析。实际结果表明，机构理论求解的正确性。

(3)4-UPS-UPU 并联机构雅可比矩阵和Hessian矩阵求解的正确性，为后续性能指标的建立和优化设计奠定了理论基础。

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