线段旋转的面积问题

黄栋

旋转虽然在初中课本出现的并不多，但是却经常与函数组合成复杂的数学问题；许多对数学感兴趣并且空间思维敏锐的学生，也经常深入分析旋转中的面积问题，并且提出各种各样的疑问和见解.下面笔者将和大家一起来探究在旋转过程中，线段扫过的面积问题.

首先根据旋转中心位置的不同，把线段的旋转分为三类：旋转中心为线段的端点，旋转中心在线段上，旋转中心在线段之外.

旋转中心为线段的端点.如图1，可以很明显看出，线段扫过的面积为扇形的面积，从而得出（0°<α≤360°）.（注：本文旋转角α的范围为0°<α≤360°）

旋转中心在线段的端点之间.通过图2我们亦可以轻松得出，旋转角度小于180°时，线段扫过的面积为两块扇形的面积和.即：S=α360π（BC2+AC2）（0°<α≤180°）.

先看最简单的图11，很显然在旋转角大于等于360°的情况下，阴影区域为一个圆环，这个圆环可以看做是线段AC所扫出的阴影，因为线段BC被覆盖，所以在此情况下可以直接当线段BC不存在.因此面积为S=π（OA2-OC2）=πAC2（α=360°）.

图7、8、9、10我们从整体上想象下：用剪刀沿着A′B′（图10沿着A′E与AC）把阴影分成两部分，大的部分为线段AC旋转扫过的面积，小的部分为线段BC旋转扫过的没被大的阴影覆盖的面积；所以此类面积可以分成两部分相加.第一部分线段AC扫过的面积为S1=α360π（OA2-OC2）=α360πAC2.图8、9中第二部分为以OB为半径的弓形面积（注：∠BOC=β，这个角必须给出或者可以根据长度用三角函数很容易求出，否则面积无法计算）.则弓形面积为：S2=2β360πOB2-OC×BC.只有旋转角在2∠BOC与360°-2∠BOC之间时，第二部分才为一个弓形.所以图8、9总体的阴影面积为：S=S1+S2（2β≤α≤360°-2β）.〖TPhd-6.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗图12〖TS）〗

图7中的第二部分为不规则图形，下面单独把图7里面两个圆的部分放大.如图12所示，区域①（弧BB′，线段B′E及线段BE围合而成）为线段BC扫过还没有被覆盖的区域，区域②（弧BD′，线段BE及线段ED′围合而成）为线段BC没有扫过，线段CD旋转到线段C′D′的位置，也没有扫到的区域（即图7中的空白区域）.我们发现区域①+区域②就是之前所求过的弓形，所以如果能把区域②面积求出，那么那个不规则的区域①的面积就知道了.

我们知道∠BOD=2β，当点D′到达或超过点B时，区域②就不存在了，就变成了图8、9这种情况.所以图7是在旋转角α<2β的情况下出现的.

下面我们专注于扇形OBD′这个区域，做EF垂直OB与点F.∠BOD′=∠BOD-∠DOD′=2β-α，∠BOE=12（2β-α）=β-α2，∠OBE=90°-∠BOC=90°-β.因为OF=EF·cot∠BOE=EF·cot（β-α2），FB=EF·cot∠OBE=EF·cot（90°-β）=EF·tanβ，OF+FB=OB.所以OB=EF·〖JB（[〗cot（β-α2）+tanβ〖JB）]〗，所以EF=OBtanβ+cot（β-α2）所以区域②的面积为扇形减去俩三角形：S3=2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）.则区域①面积为之前所求弓形面积减去区域②面积：S4=2β360πOB2-OC×BC-〖JB（[〗2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）〖JB）]〗.

所以图7总的面积为：S=S1+S4（0<α<2β）.

经过图7的分析，后面就简单多了.图10与图7是一模一样的，刚图7里面第二块阴影是空白部分需要减去，在图10里面，第二块面积正好是重叠部分，也是需要减去，在这里需要大家注意的只有一件事情，就是α的取值范围.通过上面分析我们可以得出当360°-2β<α<360°时，图10这种情况就出现了.

因为∠B′OD=α+2β-360°，所以∠B′OE=12（α+2β-360°）.

下面只需要把角度改一下，重叠部分的面积就出来了：

S5=α+β-360360πOB2-OB2tanβ+cot（α2+β）.

那么弓形面积-重叠部分就是：endprint

旋转虽然在初中课本出现的并不多，但是却经常与函数组合成复杂的数学问题；许多对数学感兴趣并且空间思维敏锐的学生，也经常深入分析旋转中的面积问题，并且提出各种各样的疑问和见解.下面笔者将和大家一起来探究在旋转过程中，线段扫过的面积问题.

首先根据旋转中心位置的不同，把线段的旋转分为三类：旋转中心为线段的端点，旋转中心在线段上，旋转中心在线段之外.

旋转中心为线段的端点.如图1，可以很明显看出，线段扫过的面积为扇形的面积，从而得出（0°<α≤360°）.（注：本文旋转角α的范围为0°<α≤360°）

旋转中心在线段的端点之间.通过图2我们亦可以轻松得出，旋转角度小于180°时，线段扫过的面积为两块扇形的面积和.即：S=α360π（BC2+AC2）（0°<α≤180°）.

先看最简单的图11，很显然在旋转角大于等于360°的情况下，阴影区域为一个圆环，这个圆环可以看做是线段AC所扫出的阴影，因为线段BC被覆盖，所以在此情况下可以直接当线段BC不存在.因此面积为S=π（OA2-OC2）=πAC2（α=360°）.

图7、8、9、10我们从整体上想象下：用剪刀沿着A′B′（图10沿着A′E与AC）把阴影分成两部分，大的部分为线段AC旋转扫过的面积，小的部分为线段BC旋转扫过的没被大的阴影覆盖的面积；所以此类面积可以分成两部分相加.第一部分线段AC扫过的面积为S1=α360π（OA2-OC2）=α360πAC2.图8、9中第二部分为以OB为半径的弓形面积（注：∠BOC=β，这个角必须给出或者可以根据长度用三角函数很容易求出，否则面积无法计算）.则弓形面积为：S2=2β360πOB2-OC×BC.只有旋转角在2∠BOC与360°-2∠BOC之间时，第二部分才为一个弓形.所以图8、9总体的阴影面积为：S=S1+S2（2β≤α≤360°-2β）.〖TPhd-6.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗图12〖TS）〗

图7中的第二部分为不规则图形，下面单独把图7里面两个圆的部分放大.如图12所示，区域①（弧BB′，线段B′E及线段BE围合而成）为线段BC扫过还没有被覆盖的区域，区域②（弧BD′，线段BE及线段ED′围合而成）为线段BC没有扫过，线段CD旋转到线段C′D′的位置，也没有扫到的区域（即图7中的空白区域）.我们发现区域①+区域②就是之前所求过的弓形，所以如果能把区域②面积求出，那么那个不规则的区域①的面积就知道了.

我们知道∠BOD=2β，当点D′到达或超过点B时，区域②就不存在了，就变成了图8、9这种情况.所以图7是在旋转角α<2β的情况下出现的.

下面我们专注于扇形OBD′这个区域，做EF垂直OB与点F.∠BOD′=∠BOD-∠DOD′=2β-α，∠BOE=12（2β-α）=β-α2，∠OBE=90°-∠BOC=90°-β.因为OF=EF·cot∠BOE=EF·cot（β-α2），FB=EF·cot∠OBE=EF·cot（90°-β）=EF·tanβ，OF+FB=OB.所以OB=EF·〖JB（[〗cot（β-α2）+tanβ〖JB）]〗，所以EF=OBtanβ+cot（β-α2）所以区域②的面积为扇形减去俩三角形：S3=2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）.则区域①面积为之前所求弓形面积减去区域②面积：S4=2β360πOB2-OC×BC-〖JB（[〗2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）〖JB）]〗.

所以图7总的面积为：S=S1+S4（0<α<2β）.

经过图7的分析，后面就简单多了.图10与图7是一模一样的，刚图7里面第二块阴影是空白部分需要减去，在图10里面，第二块面积正好是重叠部分，也是需要减去，在这里需要大家注意的只有一件事情，就是α的取值范围.通过上面分析我们可以得出当360°-2β<α<360°时，图10这种情况就出现了.

因为∠B′OD=α+2β-360°，所以∠B′OE=12（α+2β-360°）.

下面只需要把角度改一下，重叠部分的面积就出来了：

S5=α+β-360360πOB2-OB2tanβ+cot（α2+β）.

那么弓形面积-重叠部分就是：endprint

旋转虽然在初中课本出现的并不多，但是却经常与函数组合成复杂的数学问题；许多对数学感兴趣并且空间思维敏锐的学生，也经常深入分析旋转中的面积问题，并且提出各种各样的疑问和见解.下面笔者将和大家一起来探究在旋转过程中，线段扫过的面积问题.

首先根据旋转中心位置的不同，把线段的旋转分为三类：旋转中心为线段的端点，旋转中心在线段上，旋转中心在线段之外.

旋转中心为线段的端点.如图1，可以很明显看出，线段扫过的面积为扇形的面积，从而得出（0°<α≤360°）.（注：本文旋转角α的范围为0°<α≤360°）

旋转中心在线段的端点之间.通过图2我们亦可以轻松得出，旋转角度小于180°时，线段扫过的面积为两块扇形的面积和.即：S=α360π（BC2+AC2）（0°<α≤180°）.

先看最简单的图11，很显然在旋转角大于等于360°的情况下，阴影区域为一个圆环，这个圆环可以看做是线段AC所扫出的阴影，因为线段BC被覆盖，所以在此情况下可以直接当线段BC不存在.因此面积为S=π（OA2-OC2）=πAC2（α=360°）.

图7、8、9、10我们从整体上想象下：用剪刀沿着A′B′（图10沿着A′E与AC）把阴影分成两部分，大的部分为线段AC旋转扫过的面积，小的部分为线段BC旋转扫过的没被大的阴影覆盖的面积；所以此类面积可以分成两部分相加.第一部分线段AC扫过的面积为S1=α360π（OA2-OC2）=α360πAC2.图8、9中第二部分为以OB为半径的弓形面积（注：∠BOC=β，这个角必须给出或者可以根据长度用三角函数很容易求出，否则面积无法计算）.则弓形面积为：S2=2β360πOB2-OC×BC.只有旋转角在2∠BOC与360°-2∠BOC之间时，第二部分才为一个弓形.所以图8、9总体的阴影面积为：S=S1+S2（2β≤α≤360°-2β）.〖TPhd-6.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗图12〖TS）〗

图7中的第二部分为不规则图形，下面单独把图7里面两个圆的部分放大.如图12所示，区域①（弧BB′，线段B′E及线段BE围合而成）为线段BC扫过还没有被覆盖的区域，区域②（弧BD′，线段BE及线段ED′围合而成）为线段BC没有扫过，线段CD旋转到线段C′D′的位置，也没有扫到的区域（即图7中的空白区域）.我们发现区域①+区域②就是之前所求过的弓形，所以如果能把区域②面积求出，那么那个不规则的区域①的面积就知道了.

我们知道∠BOD=2β，当点D′到达或超过点B时，区域②就不存在了，就变成了图8、9这种情况.所以图7是在旋转角α<2β的情况下出现的.

下面我们专注于扇形OBD′这个区域，做EF垂直OB与点F.∠BOD′=∠BOD-∠DOD′=2β-α，∠BOE=12（2β-α）=β-α2，∠OBE=90°-∠BOC=90°-β.因为OF=EF·cot∠BOE=EF·cot（β-α2），FB=EF·cot∠OBE=EF·cot（90°-β）=EF·tanβ，OF+FB=OB.所以OB=EF·〖JB（[〗cot（β-α2）+tanβ〖JB）]〗，所以EF=OBtanβ+cot（β-α2）所以区域②的面积为扇形减去俩三角形：S3=2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）.则区域①面积为之前所求弓形面积减去区域②面积：S4=2β360πOB2-OC×BC-〖JB（[〗2β-α360πOB2-OB2tanβ+cot（β-α2）〖JB）]〗.

所以图7总的面积为：S=S1+S4（0<α<2β）.

经过图7的分析，后面就简单多了.图10与图7是一模一样的，刚图7里面第二块阴影是空白部分需要减去，在图10里面，第二块面积正好是重叠部分，也是需要减去，在这里需要大家注意的只有一件事情，就是α的取值范围.通过上面分析我们可以得出当360°-2β<α<360°时，图10这种情况就出现了.

因为∠B′OD=α+2β-360°，所以∠B′OE=12（α+2β-360°）.

下面只需要把角度改一下，重叠部分的面积就出来了：

S5=α+β-360360πOB2-OB2tanβ+cot（α2+β）.

那么弓形面积-重叠部分就是：endprint