浅谈初中数学符号化教学策略

钱德春

数学符号是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的有效载体.符号化是数学的显著特征，它使数学关系的表述、几何图形和逻辑关系的表示更准确、规范、简明，也使数学更充满魅力.《义务教育数学课程标准》（2011版）的十大核心词中排在第二位的就是“符号意识”，要求学生“能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理.建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式.”要让学生经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维.初中学生在数学符号化过程中，因数学符号的概括性与抽象性而感到枯燥、乏味，难以适应数学符号化表述方式，难以理解数学符号内涵，不能熟练地进行文字语言、图形语言和符号语言的互译……凡此种种，直接影响了数学的学习.笔者就如何发展学生的符号意识，克服数学符号化学习中的障碍谈谈教学策略.

1 在了解数学符号形成过程中激发兴趣

数学符号是人们为了方便数学表示和表述数学关系而创造的，它随着数学发展的需要而产生，也随着数学的发展而完善和完美.数学符号及其产生的过程是非常有趣的.如十六世纪法国数学家维叶特用“=”表示两个量的差别，可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平等而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等号“=”就从1540年开始使用起来.数学符号的形成也很有意义，有的来源于象形，如三角形符号“△”、平行四边形符号“”、圆的符号“⊙”、平行符号“∥”等；有的则来源于会意，如“>”表示“左”大“右”小；有的则是单词或字母的缩写和变形，如“tan”则是单词tangent的缩写，而平方根号“〖KF（〗 〖KF）〗”则是由拉丁单词Radix（根值）的第一个字母r演变而来.

不少学生对新数学符号不适应以至对数学学习产生障碍.教学时，教师不妨通过播放视频、讲故事、引导学生上网搜索、组织做相关游戏等多种形式让学生了解相关符号的形成和演变过程；在学习有关数学符号时，不妨先让学生设计自己认为合适的符号，再与通用的数学符号进行比较，让学生在自然、快乐中感受数学符号的无穷魅力和数学家的智慧，在活动中形成对数学符号和数学学习的浓厚兴趣，消除对数学符号学习心理障碍.如在学习相似符号时学生经常把“〖XCqdc-2.tif〗”写成“〖XCqdc-1.tif〗”，原因是学生对符号的意义和由来不了解.“〖XCqdc-2.tif〗”是由英文词组“Similar figures”的第一个字母“S”旋转90°而成，如果教师讲清缘由，学生出错的机率会大大减少.

另外，教师还可以根据学习内容，适时适度介绍和归纳数学符号的种类，如数量符号（35、圆周率π等），运算符号如（+、-、×、÷、〖KF（〗 〖KF）〗、∶等），关系符号（=、≌、>、∥、⊥等），结合符号（“（）”、“[]”、“{}”等），性质符号（如正号“+”、负号“-”、绝对值符号“||”等），标志符号（如三角形“△”，圆“⊙”等），这样，学生在体验学习乐趣的同时，又能形成系统的认识.2 在实例比较中认识使用数学符号的必要性

数学符号具有简明、概括的特点.一个用文字难以准确表述数学意义的数学问题，如果使用符号语言就显得简洁、快捷.

如“a、b两数的和与这两数差的积”用字母表示为“（a+b）（a-b）”；又如x的相反数的绝对值的倒数，用符号表示1|-x|；再如“直线AB垂直于直线CD，D为垂足”用符号可写为：AB⊥CD于点D.多么简洁啊.可以设想，计算题（-12）-2-〖KF（〗（-2）2〖KF）〗+sin30°tan60°如果没有数学符号，要用语言描述这样的式子，那是多么复杂的事情啊.显然，数学符号化克服了文字表达的冗长、累赘的缺陷.

在教学时，教者应多列举这样的例子，通过实例比较，让学生充分体验符号语言在数学表示中准确、简洁的优越性，感受到数学符号在数学学习中无可替代的作用，认识到数学符号产生的必然性和必要性，从而强化学生的符号化意识.

3 在经历符号化过程中培养数学符号意识

数学符号化教学应该遵循循序渐进的原则，根据学生认知规律，逐步渗透.有时不妨先尝试用语言表述，当学生解决了知识障碍时，再引入新的符号.

如“∵、∴”符号的学习.学生在七年级学习“几何说理”时都会自然用到“因为、所以”的文字语言，教师不宜过早地使用“∵、∴”的符号语言.因为起始年级学生的认知能力有限，什么表示“因为”，什么表示“所以”很容易混淆，加之学生刚接触的“几何说理”又是学习难点，这样会使难点集中，不利于有效学习.因此，在学生初始学习“几何说理”阶段不要急于用符号表示，当学生对演绎推理的基本方法有了初步了解后，再引入“∵、∴”等符号，会起到事半功倍的效果.

再如“字母表示数”是从学生长期习惯的以数字运算为主的算术过渡到以字母、符号为主的代数，是认识上的飞跃.代数是学习其它内容的基础，也是符号化数学思想的开始，更是进一步精化数学语言、探求数学科学丰富内涵的重要手段和强有力的工具.但学生由于对数学符号不适应，在列代数式中往往是错误千奇百怪.如“a与b的商的123倍”，学生易写成（a÷b）×123、123（a÷b）或“123ab”等；“a、b两数和的平方”和“a、b两数的平方和”经常混淆等.出现这些现象很正常，教者不必操之过急，应给学生犯错、纠错的机会，帮助学生理解代数与算术的区别与联系、用字母表示数的意义和作用，让学生经历尝试、体验的过程，逐步强化符号意识，实现知识的积累和能力的提升.4 在语言互译中加深对数学符号的理解

在学习新的数学符号语言时，教师应注意引导学生进行多种语言互译的训练.一是引导学生经历问题（包括数学内部问题和数学外部问题）的数学符号化、数学符号语言文字化过程；二是进行文字语言的数量关系或空间形式与数学符号的连结或互译与转换，以加深学生对数学符号的理解.endprint

以苏科版初中数学教材七年级下册第九章第4节“乘法公式”中的“完全平方公式”教学为例：教师引导学生探究公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，结合图形面积和运算律、代数式、公式、法则的学习，调动学生视听和操作感官的能动作用，实现三种数学语言的互通互译.

完全平方公式的三种数学语言表达分别为：

（1）符号语言——（a+b）2=a2+2ab+b2；

（2）文字语言——两项和的平方，等于两项的平方和加上这两项乘积的两倍；

（3）图形语言——（见下图）.

教学中，要突出符号的语义与限制条件，注意数学符号语言的形式与内容的统一，即通过面积推出公式，这里的a、b表示线段的长，从而增强学生感性认识；在得出基本公式后，再用代数计算方法推导公式，进而明确：公式中的字母a、b是任意的，不仅可以代表线段长度，还可以是一个数（正数、负数）、一个代数式（整式、分式）.这样，一方面突出“字母表示数”的基本换元思想；另一方面，让学生经历了从特殊到一般的认识过程，将零碎的、具体的、局部的知识积累上升为对规律的整体认识，这时的公式已经不再是枯燥的、简单的字母和数量关系，而是现实的、有意义的有机整体.只有这样，学生才能真正深刻领会和理解数学符号语言的真谛.5 在潜移默化中把握数学符号的内涵

数学符号除了具有简明、概括、抽象的特点外，还具有数学符号表意的多样性、多种符号表意的一致性和数学符号的隐蔽性三种特点.

5.1 同一符号表意的多样性

在数学中往往运用一个符号（数字、字母、运算、关系等）来表达文字语言中词语所要表示的多种意义，从而可以缩短表达式的“长度”.

例如：符号“-”既可以视作运算符号的“减号”，又可以作为性质符号的“负号”，如：“3-a”可以理解为“3与a的差”，也可以看成“3与-a”的和；又如：“3a”可以看成“3乘以a”，或看成“3与a的和”、也可以理解为“a的3倍”，还可以看成就是一个数；再如23既可以理解为“2除以3的商”，也可以理解为“整体‘1分为3份的其中2份”，还可以看成一个具体的数；y=-2x+3既可以表示方程，即x与y之间的相等关系，也可以表示x、y之间的一次函数，还可以表示平面直角坐标系中的一条直线，又可以表示三维直角坐标系中的一个平面……

同一种符号的不同含义容易让学生产生混淆.有时因为学生数学符号感不强，看到符号时不能很快地辨别出符号的实际意义，从而阻碍数学思维，甚至产生错误.我们应培养学生多种方法解释数学符号意义的能力，使之能根据不同线索对同一符号的不同意义作分类，从而拓宽思路.

5.2 多种符号表意的一致性

有时同一种数学意义，有多种不同的符号表示方法.

例如：a除以b，可写为a÷b，也可表示为a∶b，还可以写为ab；又如数学与字母或字母与字母相乘：如3与a的积，可写为3×a、3·a，也可写为3a（乘号省略），但数与数时只能用“×”，如3乘以2，只能写为3×2，一般不写成3·2，更不能省略乘号写为32.

5.3 数学符号的隐蔽性

有时数学符号具有隐蔽性，有的只是因为书写位置的不同而引起数学含义的完全不同.

如“3a”中乘号是隐蔽（省略）的，而符号“sinα”则是一种特定的符号隐蔽方式，理解为α角的正弦函数，不能理解为sin与α的积；有的以书写位置的不同来表意，如式子“an”中乘方没有符号，式子“ani”表示数ai的n次方，这里的下标i只表示与其他数的区别，Anm中m又表示另一种意思；〖KF（〗a〖KF）〗中则包含这样的三层意义：①根指数为2；②a是非负数；③〖KF（〗a〖KF）〗是a的算术平方根，也是非负数.教者只有揭示这些隐性含义，学生才能理解其中蕴涵的数学价值.6 在类比与对比教学中减少符号化学习的负迁移

数学符号之间有时是相互演变转化的，如约等于符号“≈”是把“=”的两条平行且相等的线段变成两条波浪线；大于号“>”加斜线就变成“≥”（大于或等于），加竖线就变成“≯”（不大于）；将相似符号“∽”下方加上等号就变成“≌”（全等）；又如（）”“[]”与“{}”，它们相互之间的联系与区别一目了然，教者通过类比的方法由已经学习过的符号演变出新的符号，学生自然能在类比联想中迅速掌握新的符号.

类比教学法是利用学习中正迁移规律进行的，但有时学生在学习了一种数学符号后也有可能对其他符号学习产生负迁移，教学中又要通过对比的方法克服这种负迁移对学习的影响.如在学习了平行四边形记号“”后，有学生臆想正方形用“□”表示、梯形用“”表示；在学习了“∠”的符号后有学生用“└”表示直角；又如3与字母a相乘时省略乘号，但在遇到数3与分式ab相乘时学生可能会受到3a影响而写为3ab……教师在教学时要引导学生明确符号的合理性、规定性、一致性和公认性.再如：有时为了说明同一问题中用同一字母附加记号表示不同意义时，往往在字母右上方加一撇，如y′，但这在导数中是“y的导数”的表示方法之一，如果依然那样理解就会引起混淆……教师要对教学内容的地位、前后联系要有一定的认识高度和整体的把握，教学时做必要的铺添与说明，这样才能消除学生的认识误区，减少负迁移的影响.endprint

以苏科版初中数学教材七年级下册第九章第4节“乘法公式”中的“完全平方公式”教学为例：教师引导学生探究公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，结合图形面积和运算律、代数式、公式、法则的学习，调动学生视听和操作感官的能动作用，实现三种数学语言的互通互译.

完全平方公式的三种数学语言表达分别为：

（1）符号语言——（a+b）2=a2+2ab+b2；

（2）文字语言——两项和的平方，等于两项的平方和加上这两项乘积的两倍；

（3）图形语言——（见下图）.

教学中，要突出符号的语义与限制条件，注意数学符号语言的形式与内容的统一，即通过面积推出公式，这里的a、b表示线段的长，从而增强学生感性认识；在得出基本公式后，再用代数计算方法推导公式，进而明确：公式中的字母a、b是任意的，不仅可以代表线段长度，还可以是一个数（正数、负数）、一个代数式（整式、分式）.这样，一方面突出“字母表示数”的基本换元思想；另一方面，让学生经历了从特殊到一般的认识过程，将零碎的、具体的、局部的知识积累上升为对规律的整体认识，这时的公式已经不再是枯燥的、简单的字母和数量关系，而是现实的、有意义的有机整体.只有这样，学生才能真正深刻领会和理解数学符号语言的真谛.5 在潜移默化中把握数学符号的内涵

数学符号除了具有简明、概括、抽象的特点外，还具有数学符号表意的多样性、多种符号表意的一致性和数学符号的隐蔽性三种特点.

5.1 同一符号表意的多样性

在数学中往往运用一个符号（数字、字母、运算、关系等）来表达文字语言中词语所要表示的多种意义，从而可以缩短表达式的“长度”.

例如：符号“-”既可以视作运算符号的“减号”，又可以作为性质符号的“负号”，如：“3-a”可以理解为“3与a的差”，也可以看成“3与-a”的和；又如：“3a”可以看成“3乘以a”，或看成“3与a的和”、也可以理解为“a的3倍”，还可以看成就是一个数；再如23既可以理解为“2除以3的商”，也可以理解为“整体‘1分为3份的其中2份”，还可以看成一个具体的数；y=-2x+3既可以表示方程，即x与y之间的相等关系，也可以表示x、y之间的一次函数，还可以表示平面直角坐标系中的一条直线，又可以表示三维直角坐标系中的一个平面……

同一种符号的不同含义容易让学生产生混淆.有时因为学生数学符号感不强，看到符号时不能很快地辨别出符号的实际意义，从而阻碍数学思维，甚至产生错误.我们应培养学生多种方法解释数学符号意义的能力，使之能根据不同线索对同一符号的不同意义作分类，从而拓宽思路.

5.2 多种符号表意的一致性

有时同一种数学意义，有多种不同的符号表示方法.

例如：a除以b，可写为a÷b，也可表示为a∶b，还可以写为ab；又如数学与字母或字母与字母相乘：如3与a的积，可写为3×a、3·a，也可写为3a（乘号省略），但数与数时只能用“×”，如3乘以2，只能写为3×2，一般不写成3·2，更不能省略乘号写为32.

5.3 数学符号的隐蔽性

有时数学符号具有隐蔽性，有的只是因为书写位置的不同而引起数学含义的完全不同.

如“3a”中乘号是隐蔽（省略）的，而符号“sinα”则是一种特定的符号隐蔽方式，理解为α角的正弦函数，不能理解为sin与α的积；有的以书写位置的不同来表意，如式子“an”中乘方没有符号，式子“ani”表示数ai的n次方，这里的下标i只表示与其他数的区别，Anm中m又表示另一种意思；〖KF（〗a〖KF）〗中则包含这样的三层意义：①根指数为2；②a是非负数；③〖KF（〗a〖KF）〗是a的算术平方根，也是非负数.教者只有揭示这些隐性含义，学生才能理解其中蕴涵的数学价值.6 在类比与对比教学中减少符号化学习的负迁移

数学符号之间有时是相互演变转化的，如约等于符号“≈”是把“=”的两条平行且相等的线段变成两条波浪线；大于号“>”加斜线就变成“≥”（大于或等于），加竖线就变成“≯”（不大于）；将相似符号“∽”下方加上等号就变成“≌”（全等）；又如（）”“[]”与“{}”，它们相互之间的联系与区别一目了然，教者通过类比的方法由已经学习过的符号演变出新的符号，学生自然能在类比联想中迅速掌握新的符号.

类比教学法是利用学习中正迁移规律进行的，但有时学生在学习了一种数学符号后也有可能对其他符号学习产生负迁移，教学中又要通过对比的方法克服这种负迁移对学习的影响.如在学习了平行四边形记号“”后，有学生臆想正方形用“□”表示、梯形用“”表示；在学习了“∠”的符号后有学生用“└”表示直角；又如3与字母a相乘时省略乘号，但在遇到数3与分式ab相乘时学生可能会受到3a影响而写为3ab……教师在教学时要引导学生明确符号的合理性、规定性、一致性和公认性.再如：有时为了说明同一问题中用同一字母附加记号表示不同意义时，往往在字母右上方加一撇，如y′，但这在导数中是“y的导数”的表示方法之一，如果依然那样理解就会引起混淆……教师要对教学内容的地位、前后联系要有一定的认识高度和整体的把握，教学时做必要的铺添与说明，这样才能消除学生的认识误区，减少负迁移的影响.endprint

以苏科版初中数学教材七年级下册第九章第4节“乘法公式”中的“完全平方公式”教学为例：教师引导学生探究公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，结合图形面积和运算律、代数式、公式、法则的学习，调动学生视听和操作感官的能动作用，实现三种数学语言的互通互译.

完全平方公式的三种数学语言表达分别为：

（1）符号语言——（a+b）2=a2+2ab+b2；

（2）文字语言——两项和的平方，等于两项的平方和加上这两项乘积的两倍；

（3）图形语言——（见下图）.

教学中，要突出符号的语义与限制条件，注意数学符号语言的形式与内容的统一，即通过面积推出公式，这里的a、b表示线段的长，从而增强学生感性认识；在得出基本公式后，再用代数计算方法推导公式，进而明确：公式中的字母a、b是任意的，不仅可以代表线段长度，还可以是一个数（正数、负数）、一个代数式（整式、分式）.这样，一方面突出“字母表示数”的基本换元思想；另一方面，让学生经历了从特殊到一般的认识过程，将零碎的、具体的、局部的知识积累上升为对规律的整体认识，这时的公式已经不再是枯燥的、简单的字母和数量关系，而是现实的、有意义的有机整体.只有这样，学生才能真正深刻领会和理解数学符号语言的真谛.5 在潜移默化中把握数学符号的内涵

数学符号除了具有简明、概括、抽象的特点外，还具有数学符号表意的多样性、多种符号表意的一致性和数学符号的隐蔽性三种特点.

5.1 同一符号表意的多样性

在数学中往往运用一个符号（数字、字母、运算、关系等）来表达文字语言中词语所要表示的多种意义，从而可以缩短表达式的“长度”.

例如：符号“-”既可以视作运算符号的“减号”，又可以作为性质符号的“负号”，如：“3-a”可以理解为“3与a的差”，也可以看成“3与-a”的和；又如：“3a”可以看成“3乘以a”，或看成“3与a的和”、也可以理解为“a的3倍”，还可以看成就是一个数；再如23既可以理解为“2除以3的商”，也可以理解为“整体‘1分为3份的其中2份”，还可以看成一个具体的数；y=-2x+3既可以表示方程，即x与y之间的相等关系，也可以表示x、y之间的一次函数，还可以表示平面直角坐标系中的一条直线，又可以表示三维直角坐标系中的一个平面……

同一种符号的不同含义容易让学生产生混淆.有时因为学生数学符号感不强，看到符号时不能很快地辨别出符号的实际意义，从而阻碍数学思维，甚至产生错误.我们应培养学生多种方法解释数学符号意义的能力，使之能根据不同线索对同一符号的不同意义作分类，从而拓宽思路.

5.2 多种符号表意的一致性

有时同一种数学意义，有多种不同的符号表示方法.

例如：a除以b，可写为a÷b，也可表示为a∶b，还可以写为ab；又如数学与字母或字母与字母相乘：如3与a的积，可写为3×a、3·a，也可写为3a（乘号省略），但数与数时只能用“×”，如3乘以2，只能写为3×2，一般不写成3·2，更不能省略乘号写为32.

5.3 数学符号的隐蔽性

有时数学符号具有隐蔽性，有的只是因为书写位置的不同而引起数学含义的完全不同.

如“3a”中乘号是隐蔽（省略）的，而符号“sinα”则是一种特定的符号隐蔽方式，理解为α角的正弦函数，不能理解为sin与α的积；有的以书写位置的不同来表意，如式子“an”中乘方没有符号，式子“ani”表示数ai的n次方，这里的下标i只表示与其他数的区别，Anm中m又表示另一种意思；〖KF（〗a〖KF）〗中则包含这样的三层意义：①根指数为2；②a是非负数；③〖KF（〗a〖KF）〗是a的算术平方根，也是非负数.教者只有揭示这些隐性含义，学生才能理解其中蕴涵的数学价值.6 在类比与对比教学中减少符号化学习的负迁移

数学符号之间有时是相互演变转化的，如约等于符号“≈”是把“=”的两条平行且相等的线段变成两条波浪线；大于号“>”加斜线就变成“≥”（大于或等于），加竖线就变成“≯”（不大于）；将相似符号“∽”下方加上等号就变成“≌”（全等）；又如（）”“[]”与“{}”，它们相互之间的联系与区别一目了然，教者通过类比的方法由已经学习过的符号演变出新的符号，学生自然能在类比联想中迅速掌握新的符号.

类比教学法是利用学习中正迁移规律进行的，但有时学生在学习了一种数学符号后也有可能对其他符号学习产生负迁移，教学中又要通过对比的方法克服这种负迁移对学习的影响.如在学习了平行四边形记号“”后，有学生臆想正方形用“□”表示、梯形用“”表示；在学习了“∠”的符号后有学生用“└”表示直角；又如3与字母a相乘时省略乘号，但在遇到数3与分式ab相乘时学生可能会受到3a影响而写为3ab……教师在教学时要引导学生明确符号的合理性、规定性、一致性和公认性.再如：有时为了说明同一问题中用同一字母附加记号表示不同意义时，往往在字母右上方加一撇，如y′，但这在导数中是“y的导数”的表示方法之一，如果依然那样理解就会引起混淆……教师要对教学内容的地位、前后联系要有一定的认识高度和整体的把握，教学时做必要的铺添与说明，这样才能消除学生的认识误区，减少负迁移的影响.endprint