数学教学中应强化的几种数学观念

李树臣+袁中海

《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标2011年版》）在“课程的总目标”中指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.”这实际上是在强调数学教育要重视对数学观念的培养问题.所谓数学观念，就是指运用数学的观点、方法去观察、认识问题的自觉意识和思维方式.我们常说某人有没有“数学头脑”，实际上就是指他能否运用数学方法来解难答疑.归根结底是指他数学观念的有、无、强、弱的问题.在义务教育阶段，我们应要求学生在学习数学基础知识，形成基本技能的过程中，不断形成和强化至少下面八种最基本的数学观念：

1 本质结构观念

我们知道，任何事物都有质和形两个方面，“质”是一事物成为它自身并区别于另一事物的内在规定性，是事物存在的根据，是事物的根本性质.“形”是外在的表现.事物的质也是一种事物——区别于事物本身的另一层次的理想事物，因而也有自己的形.数学所研究的形，正是事物的这种形.从这个意义上讲，数学的全部内容都是关于客观事物本质结构的表述.因此，数学教育必须培养学生看问题要从本质结构出发，努力形成明确的本质结构观念.

案例1 一元二次方程概念的建立过程.

笔者在引入一元二次方程的概念时，首先给出以下三个实际问题，引导学生去思考与探索：

（1）教室的面积为54m2，长比宽的2倍少3m，如果设教室的宽为xm，则长为 m，所列方程为 .

（2）直角三角形斜边的长为11cm，两条直角边长的差为7cm，如果设较短直角边的长为ycm，则较长直角边的长为 cm，所列方程为 .

（3）如图1，点C是线段AB上的一点，且

学生思考后不难得到下面三个方程：

x（2x-3）=54；y2+（y+7）2=112；z2=1-z.

为了概括方便，我们将其整理成下面的形式：

2x2-3x-54=0；y2+7y-36=0；z2+z-1=0.

然后，引导学生分析这三个方程的属性，学生会发现很多：如它们分别是从计算教室的长和宽，求直角三角形的直角边以及线段的比值得到的，含有不同的未知数，两边都是整式，最高项的次数都是2等等.

这时，引导学生针对上面的众多属性进行分析与综合，在学生相互交流的基础上，得到三个本质属性：（1）方程两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2.这就是一元二次方程的本质属性，至于用什么字母作为未知数，是从怎样的实际问题抽象出来的等，这些属性都是非本质的，数学教学关注的是本质属性.

有了上面的认识，给出一元二次方程概念的时机已经成熟.我们将一元二次方程定义为：“只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.”一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式.

在以上一元二次方程概念的形成过程中，我们是时刻抓住它的本质属性进行教学的.在数学教学中，我们应对每一个概念都能从它的本质结构出发，进行重点讲解和各种有益的训练.久而久之，学生就能树立起在观察、分析任何事物时都能从本质结构出发的数学观念.只有这样，才能实现《课标2011年版》提出的“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”的要求.

2 空间观念

空间观念是一个人对周围环境和实物的直接感知，图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面.《课标2011年版》指出“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等.”空间观念至少反映了如下5个方面的要求：（1）由形状简单的实物抽取出空间图形；（2）由空间图形反映出实物；（3）由复杂图形中分解出简单的、基本的图形；（4）由基本的图形中寻找基本元素及其关系；（5）由文字或符号作出图形.可见，形成学生空间观念的过程是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象、分析的过程，它贯穿在图形与几何学习的全过程之中，无论是图形的认识，图形的运动，图形与坐标等都承载着发展学生空间观念的任务.

例如，通过学习数轴这一概念，让学生在头脑中形成如下的一些认识：任何一个有理数在数轴上都对应着一个点；互为相反的两个数位于原点的两边，到原点的距离相等；在数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数要大；借助于数轴可以直观的理解绝对值的概念等等.通过进一步的学习，要让学生明白在一维直线空间里“实数和点是一一对应的”.在二维平面空间里，要准确地描述一个点的位置，要用两个实数（x，y）才能完成，而且要从本质上理解A（3，4）和B（4，3）为什么是两个不同的点及这两个点的位置关系是怎样的.在此基础上，可以进行如下拓宽：如果学生杜雨笑在沂南四中七年级六班三组，可以写成（7，6，3），启发学生思考（7，1，5），（8，3，6）代表什么意义？通过交流得出，这些数字的顺序是不可交换的，它们是有严格的先后顺序的，其本质是对应的关系.

学生有了上面的知识基础，进一步可以得到下面的认识：在我们生活的空间里，任何事物均处于一定的空间之中，均在其空间中与其它相关事物保持一定的联系.事物的空间位置以及它与其相关事物之间的联系是客观的，一般保持稳定状态，不可轻易强行改变，否则，事物便会在其空间中失去平衡，空间也便会出现紊乱无序状态.

案例2 画一条直线，将图2所示的正方形分为两个相同的部分（或全等的部分）.

对这个问题绝大多数学生都能画出四条符合要求的直线，如图3所示.endprint

《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标2011年版》）在“课程的总目标”中指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.”这实际上是在强调数学教育要重视对数学观念的培养问题.所谓数学观念，就是指运用数学的观点、方法去观察、认识问题的自觉意识和思维方式.我们常说某人有没有“数学头脑”，实际上就是指他能否运用数学方法来解难答疑.归根结底是指他数学观念的有、无、强、弱的问题.在义务教育阶段，我们应要求学生在学习数学基础知识，形成基本技能的过程中，不断形成和强化至少下面八种最基本的数学观念：

1 本质结构观念

我们知道，任何事物都有质和形两个方面，“质”是一事物成为它自身并区别于另一事物的内在规定性，是事物存在的根据，是事物的根本性质.“形”是外在的表现.事物的质也是一种事物——区别于事物本身的另一层次的理想事物，因而也有自己的形.数学所研究的形，正是事物的这种形.从这个意义上讲，数学的全部内容都是关于客观事物本质结构的表述.因此，数学教育必须培养学生看问题要从本质结构出发，努力形成明确的本质结构观念.

案例1 一元二次方程概念的建立过程.

笔者在引入一元二次方程的概念时，首先给出以下三个实际问题，引导学生去思考与探索：

（1）教室的面积为54m2，长比宽的2倍少3m，如果设教室的宽为xm，则长为 m，所列方程为 .

（2）直角三角形斜边的长为11cm，两条直角边长的差为7cm，如果设较短直角边的长为ycm，则较长直角边的长为 cm，所列方程为 .

（3）如图1，点C是线段AB上的一点，且

学生思考后不难得到下面三个方程：

x（2x-3）=54；y2+（y+7）2=112；z2=1-z.

为了概括方便，我们将其整理成下面的形式：

2x2-3x-54=0；y2+7y-36=0；z2+z-1=0.

然后，引导学生分析这三个方程的属性，学生会发现很多：如它们分别是从计算教室的长和宽，求直角三角形的直角边以及线段的比值得到的，含有不同的未知数，两边都是整式，最高项的次数都是2等等.

这时，引导学生针对上面的众多属性进行分析与综合，在学生相互交流的基础上，得到三个本质属性：（1）方程两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2.这就是一元二次方程的本质属性，至于用什么字母作为未知数，是从怎样的实际问题抽象出来的等，这些属性都是非本质的，数学教学关注的是本质属性.

有了上面的认识，给出一元二次方程概念的时机已经成熟.我们将一元二次方程定义为：“只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.”一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式.

在以上一元二次方程概念的形成过程中，我们是时刻抓住它的本质属性进行教学的.在数学教学中，我们应对每一个概念都能从它的本质结构出发，进行重点讲解和各种有益的训练.久而久之，学生就能树立起在观察、分析任何事物时都能从本质结构出发的数学观念.只有这样，才能实现《课标2011年版》提出的“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”的要求.

2 空间观念

空间观念是一个人对周围环境和实物的直接感知，图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面.《课标2011年版》指出“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等.”空间观念至少反映了如下5个方面的要求：（1）由形状简单的实物抽取出空间图形；（2）由空间图形反映出实物；（3）由复杂图形中分解出简单的、基本的图形；（4）由基本的图形中寻找基本元素及其关系；（5）由文字或符号作出图形.可见，形成学生空间观念的过程是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象、分析的过程，它贯穿在图形与几何学习的全过程之中，无论是图形的认识，图形的运动，图形与坐标等都承载着发展学生空间观念的任务.

例如，通过学习数轴这一概念，让学生在头脑中形成如下的一些认识：任何一个有理数在数轴上都对应着一个点；互为相反的两个数位于原点的两边，到原点的距离相等；在数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数要大；借助于数轴可以直观的理解绝对值的概念等等.通过进一步的学习，要让学生明白在一维直线空间里“实数和点是一一对应的”.在二维平面空间里，要准确地描述一个点的位置，要用两个实数（x，y）才能完成，而且要从本质上理解A（3，4）和B（4，3）为什么是两个不同的点及这两个点的位置关系是怎样的.在此基础上，可以进行如下拓宽：如果学生杜雨笑在沂南四中七年级六班三组，可以写成（7，6，3），启发学生思考（7，1，5），（8，3，6）代表什么意义？通过交流得出，这些数字的顺序是不可交换的，它们是有严格的先后顺序的，其本质是对应的关系.

学生有了上面的知识基础，进一步可以得到下面的认识：在我们生活的空间里，任何事物均处于一定的空间之中，均在其空间中与其它相关事物保持一定的联系.事物的空间位置以及它与其相关事物之间的联系是客观的，一般保持稳定状态，不可轻易强行改变，否则，事物便会在其空间中失去平衡，空间也便会出现紊乱无序状态.

案例2 画一条直线，将图2所示的正方形分为两个相同的部分（或全等的部分）.

对这个问题绝大多数学生都能画出四条符合要求的直线，如图3所示.endprint

《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称《课标2011年版》）在“课程的总目标”中指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力.”这实际上是在强调数学教育要重视对数学观念的培养问题.所谓数学观念，就是指运用数学的观点、方法去观察、认识问题的自觉意识和思维方式.我们常说某人有没有“数学头脑”，实际上就是指他能否运用数学方法来解难答疑.归根结底是指他数学观念的有、无、强、弱的问题.在义务教育阶段，我们应要求学生在学习数学基础知识，形成基本技能的过程中，不断形成和强化至少下面八种最基本的数学观念：

1 本质结构观念

我们知道，任何事物都有质和形两个方面，“质”是一事物成为它自身并区别于另一事物的内在规定性，是事物存在的根据，是事物的根本性质.“形”是外在的表现.事物的质也是一种事物——区别于事物本身的另一层次的理想事物，因而也有自己的形.数学所研究的形，正是事物的这种形.从这个意义上讲，数学的全部内容都是关于客观事物本质结构的表述.因此，数学教育必须培养学生看问题要从本质结构出发，努力形成明确的本质结构观念.

案例1 一元二次方程概念的建立过程.

笔者在引入一元二次方程的概念时，首先给出以下三个实际问题，引导学生去思考与探索：

（1）教室的面积为54m2，长比宽的2倍少3m，如果设教室的宽为xm，则长为 m，所列方程为 .

（2）直角三角形斜边的长为11cm，两条直角边长的差为7cm，如果设较短直角边的长为ycm，则较长直角边的长为 cm，所列方程为 .

（3）如图1，点C是线段AB上的一点，且

学生思考后不难得到下面三个方程：

x（2x-3）=54；y2+（y+7）2=112；z2=1-z.

为了概括方便，我们将其整理成下面的形式：

2x2-3x-54=0；y2+7y-36=0；z2+z-1=0.

然后，引导学生分析这三个方程的属性，学生会发现很多：如它们分别是从计算教室的长和宽，求直角三角形的直角边以及线段的比值得到的，含有不同的未知数，两边都是整式，最高项的次数都是2等等.

这时，引导学生针对上面的众多属性进行分析与综合，在学生相互交流的基础上，得到三个本质属性：（1）方程两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2.这就是一元二次方程的本质属性，至于用什么字母作为未知数，是从怎样的实际问题抽象出来的等，这些属性都是非本质的，数学教学关注的是本质属性.

有了上面的认识，给出一元二次方程概念的时机已经成熟.我们将一元二次方程定义为：“只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.”一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式.

在以上一元二次方程概念的形成过程中，我们是时刻抓住它的本质属性进行教学的.在数学教学中，我们应对每一个概念都能从它的本质结构出发，进行重点讲解和各种有益的训练.久而久之，学生就能树立起在观察、分析任何事物时都能从本质结构出发的数学观念.只有这样，才能实现《课标2011年版》提出的“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”的要求.

2 空间观念

空间观念是一个人对周围环境和实物的直接感知，图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面.《课标2011年版》指出“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等.”空间观念至少反映了如下5个方面的要求：（1）由形状简单的实物抽取出空间图形；（2）由空间图形反映出实物；（3）由复杂图形中分解出简单的、基本的图形；（4）由基本的图形中寻找基本元素及其关系；（5）由文字或符号作出图形.可见，形成学生空间观念的过程是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象、分析的过程，它贯穿在图形与几何学习的全过程之中，无论是图形的认识，图形的运动，图形与坐标等都承载着发展学生空间观念的任务.

例如，通过学习数轴这一概念，让学生在头脑中形成如下的一些认识：任何一个有理数在数轴上都对应着一个点；互为相反的两个数位于原点的两边，到原点的距离相等；在数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数要大；借助于数轴可以直观的理解绝对值的概念等等.通过进一步的学习，要让学生明白在一维直线空间里“实数和点是一一对应的”.在二维平面空间里，要准确地描述一个点的位置，要用两个实数（x，y）才能完成，而且要从本质上理解A（3，4）和B（4，3）为什么是两个不同的点及这两个点的位置关系是怎样的.在此基础上，可以进行如下拓宽：如果学生杜雨笑在沂南四中七年级六班三组，可以写成（7，6，3），启发学生思考（7，1，5），（8，3，6）代表什么意义？通过交流得出，这些数字的顺序是不可交换的，它们是有严格的先后顺序的，其本质是对应的关系.

学生有了上面的知识基础，进一步可以得到下面的认识：在我们生活的空间里，任何事物均处于一定的空间之中，均在其空间中与其它相关事物保持一定的联系.事物的空间位置以及它与其相关事物之间的联系是客观的，一般保持稳定状态，不可轻易强行改变，否则，事物便会在其空间中失去平衡，空间也便会出现紊乱无序状态.

案例2 画一条直线，将图2所示的正方形分为两个相同的部分（或全等的部分）.

对这个问题绝大多数学生都能画出四条符合要求的直线，如图3所示.endprint