一个混沌纠缠系统的动力学分析

杨 敏，俞建宁，张建刚，安新磊

(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州 730070)

一个混沌纠缠系统的动力学分析

杨 敏，俞建宁，张建刚，安新磊

(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州 730070)

通过一系列动力学分析，验证了一个纠缠系统是混沌的．当混沌纠缠实现时，所有的平衡点是不稳定的鞍结点．数值计算显示这个系统有一个正的Lyapunov指数，这表明该系统是混沌的．通过局部放大的分岔图验证了系统由倍周期分岔通向混沌的过程，并分析了该混沌系统的Hopf分岔现象．关键词：混沌纠缠；Hopf分岔；Lyapunov指数；数值仿真

气象学家Lorenz[1]在1963年首次在一个三维自治系统中发现了混沌吸引子．学者们在研究混沌理论及其应用的过程中，不断认识到混沌理论的研究价值及应用价值．随着科学技术的发展，对混沌理论的深入研究和工程实际的需要，各种各样的非线性混沌系统被相继提出[1-2]．近年来，人们不仅研究非线性对系统动力学的影响，而且开始探索利用分岔、混沌等非线性现象造福人类，设计和建造新的人工混沌系统已经成为研究热点[3-5]．文献[6]提出了混沌纠缠的概念，它是一种新的产生混沌的方法，基本原理是通过纠缠函数纠缠两个或多个稳定的线性子系统来产生一个人造的混沌系统，混沌纠缠提供了更简单的方法来设计和构建新的混沌吸引子．在实际中混沌纠缠可以被用来作为一个指导原则，以有效地构造人工混沌系统．

文献[6]提出了一个新的纠缠系统，但此系统只用来举例，并没有验证其是否是混沌的，也没有做任何动力学分析．本文经过一系列动力学分析，验证了该纠缠系统是混沌的．

1 混沌吸引子

当通过一些非线性函数进行纠缠时，如果两个或多个线性子系统能产生混沌行为，这种现象就叫混沌纠缠，其中非线性函数叫做纠缠函数[6]．

考虑两个线性子系统，一个是二维的，另两个是一维的．分别如下所示：

通过正弦函数纠缠（1），（2）和（3）三个子系统，得到以下系统：

其中),,,(dcba是纠缠系数，)sin,sin,sin,(sin wzyx是纠缠函数．

图1表示在这组参数下系统（4）的相图．

图1 当a=1, b=1, c=8.2, d=1时系统(4)的相图

1.1 对称性和不变性

1.2 耗散性与吸引子的存在

由于系统（4）的向量场散度：

1.3 分岔图、Lyapunov指数和Lyapunov指数谱

图2表示Lyapunov指数随时间变化的图，图3表示系统随参数c变化的Lyapunov指数图，图4表示c关于x的分岔图．

图2 Lyapunov指数图

图3 Lyapunov指数谱

图4 c关于x的分岔

1.4 参数对系统的影响

图5 当c=3时系统(4)的相图

随着c的增大，系统（4）表现出周期和混沌，开始收敛于一个固定的点．当3=c时，一个简单的吸引子如图5所示．当5=c时，一个简单的吸引子如图6所示．当2.8＞c时，系统（4）有复杂的混沌吸引子．

图6 当c=5时系统(4)的相图

2 分岔分析

数值模拟显示所有的平衡点都是不稳定的．

要分析新系统的动力学特性，首先是要找出它的平衡点，由于（4）是一个超越方程组，通常不容易找到其精确的解，所以这里只考虑

3 结 论

通过一系列动力学分析，验证了一个新纠缠系统是混沌的．数值计算显示这个系统有一个正的Lyapunov指数，这表明是混沌的，最后分析了该混沌系统的Hopf分岔现象．

[1] Lorenz E N. Determ inistic nonperiodic flow [J]. J. Atmos. Sc, 1963, (20): 130-141.

[2] Pecora L M, Carroll T L. Synchronization in chaotic systems [J]. Physical Review Letters, 1990, (64): 821-824.

[3] Chu Y D, LI X F, Zhang J G, et al. Nonlinear dynam ics analysis of a new autonomous chaotic system [J]. Zhejiang Univ Sci A, 2007, (8): 1408-1413.

[4] 李险峰, 张建刚, 褚衍东. 一个新自治混沌系统的动力学分析[J]. 复杂系统与复杂性科学, 2008, 5(1): 28-36.

[5] 唐良瑞, 李静, 樊冰, 等. 新三维混沌系统及其电路仿真[J]. 物理学报, 2009, 58(2): 785-793.

[6] Zhang H T, Liu X Z. Chaos entanglement: a new approach to generate chaos [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2013, 23(5): 1330014-1330031.

[7] 李群宏, 徐德贵. 一个类Lorenz系统的动力学分析[J]. 重庆理工大学学报, 2011, (25): 112-116.

[8] Hassard B D, Kazarinoff N D, Wan Y H. Theory and Applications of Hopf Bifurcation [M]. London: Cambridge Universty Press, 1981: 70-80.

Dynam ical Analysis on a Chaos Entanglement System

YANG M ing,YU Jianning, ZHANG Jiangang, AN Xinlei
(School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

Dynam ical analysis verifies that new chaos entanglement system is chaotic and all equilibra are unstable saddle points when chaos entanglement is achieved. Numerical computation shows that this system has one positive Lyapunov exponent, which implies that the very system is chaotic. And the route from periodic-doubling to chaos is demonstrated by partial enlarged bifurcation diagrams. Finally, the existence of Hopf bifurcation is analyzed for that system.

Chaos Entanglement; Hopf Bifurcation; Lyapunov Exponent; Numerical Simulation

O415.5

：A

：1674-3563(2014)03-0012-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.03.002 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：封毅)

2013-11-21

国家自然科学基金(11161027)；教育部的项目(212180)；甘肃省自然科学基金(101RJZA067)

杨敏(1984- )，女，甘肃白银人，硕士研究生，研究方向：非线性动力学及分岔与混沌控制