洛仑兹-狄拉克方程的新降阶方法

杨邦王

(温州大学物理与电子信息工程学院，浙江温州 325035)

洛仑兹-狄拉克方程的新降阶方法

杨邦王

(温州大学物理与电子信息工程学院，浙江温州 325035)

针对洛仑兹-狄拉克方程的新降阶方法在氢原子中的适用尺度问题，通过数值计算二维氢原子来比较新降阶方法和原方法在2费米到100 000费米区间内的差异，两种降阶方法在远离质子的区域计算结果基本一致，而在靠近质子几费米区域内，新方法的结果和原方法相差较大．表明在氢原子外围区域，两种方法对于洛仑兹-狄拉克方程来说都是适用的；研究电子在更近区域内的运动行为，新降阶方法更加准确．新降阶方法计算的表达式比原降阶方法复杂，所以关于氢原子，有时联合使用两种降阶方法也会是一个不错的考量．

洛仑兹-狄拉克方程；降阶方法；二维氢原子

洛仑兹-狄拉克方程（LDE）作为三阶微分方程存在很多困难，比如它的初值问题，我们不能任意给定体系的初始加速度，它总要受到一定限制[1]．不同于牛顿类型的方程，在给定初始条件后，运动有时也是不确定的[2]，此外它又存在超前加速现象和发散解[3]．为了解决这些困难，Landau和Lifshitz推导了LDE的近似形式LLE[4]，他们第一次通过用外力项近似取代辐射项的办法来对方程进行降阶，Kerner[5]和Sanz[6]讨论了关于时间对称的外力形式以及加速度按电荷展开成级数的情形，Piazza[7]研究了任意极化平面波内LLE的精确解问题．最近，王国忠[8]改进了LDE的降阶方法，在更小的尺度上，他的方法要比原来的降阶方法更加精准．LDE的降阶形式使原方程避免了超前加速解和发散解的发生，这似乎更适合用来描写电荷在电磁环境内的运动问题．

本文中，我们将研究新降阶方法在氢原子中的适用尺度问题，通过两种降阶方法数值计算二维氢原子沿着x轴2费米到100 000费米区间内电子的轨迹和速度，比较它们之间存在的差异，进而讨论它们的适用尺度．

1 原降阶方法

二维氢原子的LDE为：取国际单位制，其中0τ表示方程的特征时间，e，m，c，0ε分别表示电子的电量、质量、光速和真空介电常数．希腊字母μ，ν分别取0，1，2，F表示氢原子中的电磁场张量，如果我们忽略它的磁场部分，它可以表示成：

2 新降阶方法

原降阶方法的关键是用库仑力代替加速度辐射项内的所有加速度，下面我们来介绍一种稍微不同的降阶方法[8]，先把洛仑兹-狄拉克方程重新写成矩阵形式：

通过两种降阶方法，得到了两个不同的加速度表达式，原降阶方法在尺度较小时是不准的，因为库仑力而辐射项经过求导它们将正比于等等，这样在尺度比较小的时候，原降阶方法就有可能是发散的．而新降阶方法的表达式中含有根号，我们也要注意在应用时出现虚数的区域，因为这意味着这个方法在该区域内也是失效的．

3 两种降阶方法的计算结果

研究两种降阶方法在2费米到100 000费米区间内的差别，在该区间段内让电子从100 000费米处沿着x轴跑向质子，电子的初始速度将由维里定理来决定[10]，维里定理描述了电子的动能和势能的一个关系：其中T表示电子的动能，W表示电子的势能．如果取定电子的位置，则根据该定理就能方便计算电子的速度；此外，注意到上述加速度公式内都是关于原时的表达式，所以我们还要将实验室速度转化为原时速度，它们之间的关系为：，v是实验室速度．关于原时速度的表达式为：结合这些，我们能算出电子原时速度的表达式：

图1 – 4为两种降阶方法的部分计算结果，其中图1 – 2中的方形线条表示两种方法计算得到的x的比值圆形线条和三角形线条分别表示新降阶方法和原降阶方法的计算结果．为了方便表示，我们把纵坐标取成费米单位，并对它做了以10为底的对数．图1和图3中横坐标为图2和图4中横坐标为0/ττ，取7费米的地方为时间原点．分别计算2费米到100 000费米之间的，下标original表示原降阶方法的计算结果，new表示新降阶方法的结果．由于7费米到100 000费米之间的两种计算结果基本一致（最多相差1/1000的数量级），所以我们只是在图1和图3中绘制出1 000费米到100 000费米的计算结果，在图2和图4中绘制出2费米到7费米的计算结果．此外，图3和图4中的方形线条表示两种方法计算得到的速度的比值：同样地，圆形线条和三角形线条分别表示新降阶方法和原降阶方法的计算结果，图3的速度单位为106m/s，图4速度单位为3×108m/s．

4 结论和讨论

利用两种降阶方法对二维氢原子的LDE进行了降阶，然后通过数值计算研究了它们在2费米到100 000费米区间内存在的差别．发现新降阶方法和原降阶方法在质子的外围区域基本符合，而在质子附近几费米区域，新降阶方法要比原降阶方法准确．显然，如果要研究电子在质子附近区域的运动行为，新降阶方法在该区域尺度是合适的，而在远离质子的尺度上两种方法都能适用．不过，新降阶方法计算的加速度表达式要比原降阶方案复杂，所以在该区域，我们可以继续使用原降阶方法来研究电子的行为．特别的，如果在很靠近质子的某些区域，新降阶方案出现虚数解的情况下，我们不妨联合原降阶方法一起来处理该段区域．

[1] Spohn H. The critical manifold of the lorentz-dirac equation [J]. Europhys. Lett., 2000, 50(3): 287-292.

[2] Balis W E, Huschilt J. Nonuniqueness of physical solutions to the lorentz-dirac equation [J]. Phys. Rev. D., 1976, 13(12): 3237-3239.

[3] Marino M. The unexpected flight of the electron in a classical hydrogen-like atom [J]. J. Phys. A: Math Gen., 2003, 36(44): 11247-11255.

[4] Landau L D, Lifshitz E M. The classical theory of fields [M]. Oxford: Butterworth-Heinemann Ltd., 1975: 226-229.

[5] Kerner E. Can the position variable be a canonical coordinate in a relativistic many-particle theory [J]. J. Math. Phy., 1965, 6(8): 1218-1226.

[6] Sanz J L. On the lorentz-dirac equation[J]. J. Math. Phy., 1979, 20(11): 2334-2338.

[7] Piazza A D. Exact solution of the landau-lifshitz eqution in a plane wave [J]. Lett. Math. Phy., 2008, 83(3): 305-313.

[8] Wang G Z. The influence of vacuum electromagnetic fluctuations on the motion of charged partical [C] // Akdagli A. Behaviour of electromagnetic waves in different media and structures. Rijeka Croatia: InTech, 2011: 353-383.

[9] Aguirregabiria J M. Solving forward lorentz-dirac-like equations [J]. J. Math. Phy., 1997, 30(12): 2391-2402.

[10] 维基百科. 维里定理[EB/OL]. [2013-12-28]. http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%B4%E9%87%8C%E5% AE%9A%E7%90%86.

A New Order Reduction of Lorentz-Dirac Equation

YANG Bangwang
(School of Physics and Electronic Information Engineering, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

This paper describes the applicability of a new order reduction of Lorentz-Dirac equation for a hydrogen atom. It is shown that the new order reduction could be viable on a wider scale in comparison with the original algorithm. By calculating the two-dimensional hydrogen atom, the author figures out that the original method is similar to the results of new order reduction in remote domain of proton and they produce inconsistent results as electron moves close to the proton, which demonstrates that both methods are applicable towards Lorentz-Dirac equation. However, the new order reduction turns out more accurate during the study of electron motion behaviors in much nearer areas. Given the complexity of the order reduction calculations, the joint use of both order reductions for two-dimensional hydrogen atoms tends to be more effective.

Lorentz-Dirac Equation; Order Reduction; Two-dimensional Hydrogen Atom

O411.1

：A

：1674-3563(2014)03-0029-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.03.005 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：封毅)

2013-12-05

杨邦王(1987- )，男，浙江苍南人，硕士研究生，研究方向：数学物理与场论