对边固支另两边简支矩形薄板弯曲问题的哈密顿方法

朱晓双，何文明

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

对边固支另两边简支矩形薄板弯曲问题的哈密顿方法

朱晓双，何文明

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

利用哈密顿体系以及辛几何中的分离变量和本征函数展开的方法，给出了求解对边固支另两边简支的矩形薄板弯曲问题的方法，并通过实例计算和分析说明了该方法的正确性.

矩形薄板；哈密顿体系；分离变量；本征函数

矩形薄板是土木工程中较为普遍且常用的一种结构元件，尤其是对边固支的矩形薄板在实际工程中更为常见．目前，对于矩形板问题的求解通常采用较为通用的叠加法，但传统的叠加法仍然以半逆解法为基础，在处理一些复杂的矩形板问题（例如悬臂板）时，各叠加项的选取不够理性，尤其是在四边固定的矩形弹性薄板求解中需要多次事先选定挠度函数，计算极为复杂．哈密顿体系是弹性力学体系中的一个重要系统，一切真实的、平衡的过程都可以表示成适当的哈密顿体系．哈密顿体系的数学基础是辛几何理论，钟万勰教授将辛几何方法引入到弹性力学求解中[1-3]，从而使弹性力学的求解计算更为简便；钟阳和殷建华[4]利用辛几何方法讨论了两对边固支另对两边自由弹性矩形薄板的理论解，使得求解过程更加理论化．之后，钟阳、李锐等[5-7]通过导入哈密顿体系分别得到了四边固支矩形弹性薄板的精确解析解和四边固支矩形薄板自由振动的哈密顿解析解，并讨论了矩形中厚板的自由振动问题，利用辛几何中的分离变量和本征函数展开的方法求出了对边简支板自由振动的精确解．曹继伟和简政[8]对两对边简支两对边固支矩形薄板的弹塑性调整系数进行了计算，确定了弹塑性调整系数的理论值．吴家龙[9]、刘小明[10]等应用传统的叠加法求得了对边固支另两边简支矩形薄板的最大挠度值，但计算过程较为复杂．本文运用哈密顿体系方法对对边固支另两边简支矩形薄板弯曲问题进行了研究，从问题的控制方程出发，将问题导入哈密顿体系，并利用辛几何中的分离变量和本征函数展开方法给出了问题的解析求解方法．本文所给方法的优点是在求解过程中不必事先人为地选取挠度函数，通过直接推导就可以求出问题的解析解，这样就突破了传统叠加法的限制，使得问题的求解更加合理，因而具有一定的应用价值．

文中最后通过实例计算验证了所给方法的正确性．

1 弹性矩形薄板弯曲问题的控制方程与哈密顿体系

取一个微小单元体，由弹性薄板理论可知，矩形薄板弯曲问题的控制方程和内力[1]有如下关系．剪力与弯矩：

2 矩形薄板弯曲问题的辛几何方法

取两对边固支另两边简支矩形薄板如图1所示，x方向的两条侧边0y=，y b=为简支．方程（9）的齐次方程为：

方程（11）可由分离变量法求解．令

这里μ是待求本征值，()yψ是与之对应的本征函数向量．

设iψ和jψ分别为本征值iμ和jμ对应的本征函数向量，则采用文献[11]类似的方法可导出下面本征函数向量之间的共轭辛正交关系：

图1 两对边固支另两对边简支矩形薄

3 实例计算与分析

表1 计算结果比较

4 结 语

本文将矩形薄板的控制方程导入哈密顿体系，利用辛几何方法对对边固支另两边简支矩形薄板的弯曲问题进行了求解，得到了问题的解析解，且求解过程较以往采用叠加法的更加合理．最后，通过实例分析证明了所给方法的正确性．

[1] 钟万勰. 弹性力学求解新体系[M]. 大连: 大连理工大学出版社, 1995: 63-96.

[2] 钟万勰. 分离变量法与哈密尔顿体系[J]. 计算结构力学及其应用, 1991, 8(3): 229-240.

[3] 钟万勰. 条形域平面弹性问题与哈密尔顿体系[J]. 大连理工大学学报, 1991, 31(4): 373-384.

[4] 钟阳, 殷建华. 两对边固支另对两边自由弹性矩形薄板理论解[J]. 重庆建筑大学学报, 2005, 27(6): 29-32.

[5] 钟阳, 李锐, 刘月梅. 四边固支矩形弹性薄板的精确解析解[J]. 力学季刊, 2009, 30(2): 287-303.

[6] 钟阳, 李锐, 田斌. 四边固支矩形薄板自由振动的哈密顿解析解[J]. 应用力学学报，2011, 28(4): 323-327.

[7] 钟阳, 李锐, 田斌. 矩形中厚板自由振动问题的哈密顿体系与辛几何解法[J]. 动力学与控制学报, 2009, 7(4): 302-302.

[8] 曹继伟, 简政. 两对边简支两对边固支矩形薄板弹塑性调整系数计算[J]. 水利与建筑工程学报, 2009, 7(2): 102-104.

[9] 吴家龙. 弹性力学[M]. 北京: 高等教育出版社, 2011: 323-324.

[10] 刘小明, 俞进萍, 谭道宏. 弹性力学题解[M]. 武汉: 华中科技大学出版社, 2003: 482-487.

[11] 胡海昌. 弹性力学的变分原理及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 1981: 207-314.

The Hamiltonian Approach to the Bending Problem of Rectangular Thin Plate with Clamped and Simply Supported Boundary Conditions at two Opposite Sides

ZHU Xiaoshuang, HE Wenming
(School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

A correct solution was put forward to the rectangular thin plate bending problem with clamped and simply supported boundary conditions at two opposite sides. With the Ham iltonian system, the analytical solution was derived through the methods of variables of separation and Eigen-function expansion in the simplistic geometry, and a real example was used to illustrate the correctness of the calculation method.

Rectangular Thin Plate; Hamiltonian System; Variables of Separation; Eigen-function

O24

：A

：1674-3563(2014)03-0035-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.03.006 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：王一芳)

2013-08-19

朱晓双(1987- )，女，河南漯河人，硕士研究生，研究方向：计算机数学与复杂系统控制