八年级学生数学能力测评及教学建议——基于八万名学生几何典型错例分析

杜宵丰 吝孟蔚 黄 迪

八年级学生数学能力测评及教学建议
——基于八万名学生几何典型错例分析

杜宵丰 吝孟蔚 黄 迪

错例是一种重要的教育资源。分析学生在几何题目中的错误作答，这有利于教师了解学生对几何知识的掌握程度及其数学思维过程，从而做到有效教学，逐步培养学生的数学素养。本文基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》，对来自三个省市的83792名学生进行测试，将经典的几何错例作为分析样本，揭示出学生错误背后突显出的数学能力问题，并为加强数学教学提出相应的改进建议。

数学；几何；错例；能力问题；教学启示

几何是初中数学教学中的重要内容之一。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）强调要注重发展学生的空间观念和几何直观，要求学生能根据物体特征抽象出几何图形，并能利用图形描述和分析问题。在北京师范大学“区域质量健康体检”项目中，通过对三个地区的83792名学生进行测试，研究者发现，学生在几何解题中存在很多问题，如思维混乱、审题思维不缜密、忽视隐含条件、几何概念掌握不到位等。教师应该充分认识中学生数学能力中存在的问题，从而采取适当的教学策略，帮助学生做出必要的改进。

一、问题的提出

分析学生在数学题目中的错误答案，能够帮助教师更好地了解学生对几何知识的掌握程度和数学思维过程，从而促进教学。本文基于《标准》对三个地区的83792名学生进行测试，详细解析了几何错例，试图揭示学生错误背后突显出的数学能力问题，并提出相应的教学建议。

二、测试内容框架

本测试按照《标准》将考查内容分为数与代数、图形与几何、统计与概率三个维度。由于实施测评的三个地区所用教材版本不同，因此，在选择考查内容时，课题组综合了三个地区的相同知识点。三套试卷中共有15道图形与几何的题目，所考知识点依据表1。

表1 图形与几何测试框架表

三、测试能力框架

本评价项目基于《标准》，结合我国数学教育实际情况将能力框架划分为“了解、理解、掌握、运用”四个层次。具体描述见表2。

表2 能力类别的指标及具体描述

四、测试题目类型

初中数学素养测评项目主要采用纸笔测试，力图对学生数学知识技能、思想方法以及数学能力的发展状况做较为全面的评价。试题结构包括选择题、填空题和解答题，其分数比例为2:1:2。不同的内容类别中，数与代数、图形与几何、统计与概率所占比例约为5:3.5:1.5。试题中考查了解、理解、掌握、运用的题目比例约为2:3:3:2。测试题目难度在75%左右，难度水平1、水平2、水平3、水平4的题目比例3:5:2:0.5。试题既能照顾到知识覆盖各层面的学生情况，又能充分地通过各种题型功能反映学生的认知水平、解题能力以及数学语言的正确灵活运用，同时也体现出学生在求解过程中的观察、猜想、验证、推理等数学活动。

测评选取的几何题目分别从4个能力层次出发，考查学生几何知识的掌握情况。调查显示，学生的错误作答很有特点，能较好地反映出他们在数学学习中存在的一些问题。

五、几何错例分析中突显出中学生的数学能力问题

1.几何审题思维不缜密

审题是做对题目的开端，它需要一定的数学知识为基础，更需要有良好的数学思维和数学意识为保证。著名数学家波利亚说：“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图。”因此，审题思维是否缜密，直接影响到学生思考问题的条理性、深刻性以及问题解决的能力。初中生正处于具体形象思维向抽象形象思维转变的过渡阶段，由于所学知识不系统、不全面，他们很容易在审题过程中因思维不周密而出现解题错误，也容易导致思维的片面性。下文以测试B卷第17题为例，展示了学生思维不缜密的表现。

如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，若重叠部分构成菱形，则重叠部分周长的最小值是____________．

本题是一道体现图形转换思想的题目，能力层次为理解，综合考查了学生对菱形和正方形的区分与联系。

经过访谈调查笔者了解到，回答错误的学生主要是将问题中求解重叠部分周长的最小值看作是求解重叠部分面积的最小值。该部分学生对于菱形和正方形的掌握比较到位，解题思路也比较清晰，但由于审题不清，不能分辨信息的有效性，从而得出错误答案。由此可见，提高学生的解题、审题、分析能力尤为重要。

2.几何概念掌握不到位

数学概念是人类对现实世界的空间形式和数量关系的简明、概括的反映。概念是数学知识体系的基本单位。《标准》明确指出：“有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题。”

当前的数学教学存在着把概念与性质、公式、定理和生活实际割裂开来，甚至对立起来的问题。一部分数学教师认为讲清概念就是让学生熟记定义，忽视了学生对概念内涵和外延的理解。重解题、轻概念的教学现象一定程度上仍然在延续，这也是学生对数学概念掌握不到位、概念应用意识差的主要原因。在解题中，概念掌握不到位就会导致错误不断，如测试B卷第20题。

一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形.如图，第一个四边形为面积是1的筝形．依次连接该筝形各边中点得到第2个四边形，然后再依次连接这个四边形各边中点得到第3个四边形.按照此方法继续下去，请回答下列各题：

（1）第2个四边形是什么图形？面积是多少？

（2）第3个四边形是什么图形？面积是多少？

（3）第10个、第11个四边形是什么图形？面积是多少？

该题给出了新的四边形的定义“一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形”，再要求学生进行图形规律的讨论，能力层次是运用。在分析学生的作答情况时笔者发现，学生错答的原因主要表现为几何概念不明确、几何思维缺乏逻辑性等方面。笔者对学生作答情况进行了编码、统计，约68.1%的学生在第（1）（2）问作答中完全正确，而在错误作答中，约15.5%的学生仅能正确判断图形，约3.9%的学生只能正确求出面积。第（3）问完全回答正确的学生比率为38.8%。

该题以学生不熟悉的筝形为背景，借助中位线，又涉及到矩形、菱形的判定，对概念及性质理解掌握不到位的学生就容易出现错误判断。由题目中的条件学生仅能推得第2个四边形对边平行且相等、邻边垂直的结论，因此，部分学生则判断图形为正方形。出现这种结论的原因在于：一是学生混淆了正方形与矩形的概念，二是学生对筝形的概念进行了扩充，有意或无意地添加了“筝形两条对角线相等”的条件。

对于特殊四边形如平行四边形、矩形、菱形、正方形，学生虽在生活中有所接触，但转化为数学语言后他们经常会混淆部分特殊四边形的概念。在对图形进行加工后，学生如果思考不充分则很容易主观地增添或忽视某些条件和性质。

3．几何思维缺乏逻辑性

逻辑思维是运用概念、判断、推理等思维形式所进行的思考活动，是一种有条件、有步骤、有根据、渐进式的抽象思考方式。它是重要的数学能力之一，数学教学目标中就十分强调培养学生思维的逻辑性。

几何解题中，学生如果缺乏逻辑思维能力，就无法识别出题目所考查的知识点，也容易思维混乱，对题目结论进行主观臆断。此外，思维逻辑性的缺失也会使学生无法充分结合图形，挖掘题目中的隐含信息，从而造成学生思考不深入、不全面以及浅尝辄止的后果，如测试B卷第20题。

在分析中笔者发现，该部分学生将第2个四边形判断为平行四边形，他们仅利用了中位线的性质，未运用题目中所给筝形的概念得出进一步的结论，说明思维逻辑性的欠缺导致了学生在解题过程中的思考不够深入。然而，该部分学生在第（2）问中的解答却是正确的，其将平行四边形四边中点连线形成的四边形判断为菱形，显然，这些学生的推断是不合理的。在学生访谈中笔者也发现，有些学生仅凭直观的图形呈现（题目中的图形更像是菱形），继而判断其他图形也是菱形，由此可见，他们在得出正确答案的过程中存在主观臆断、思维不严密的问题。

第20题前两问要求学生求解出图形面积，第3问得根据对前两问的求解总结归纳出规律，以避免繁复的计算。探索规律的题目需要有假设猜想，但学生首先需要理解其中蕴含的变化趋势，在这类题目中，学生往往容易忽视对题目的分析。教师应引导学生重点分析题目中的已知信息，在此基础上进行合理构思和猜想。从上述错例来看，学生对复杂图形中的中点四边形计算尚未达到灵活运用的水平。在教学中，教师可以利用剪拼、方格纸或软件引导学生发现任意四边形与其中点四边形面积之间的关系，让学生对该问题有较为直观的认识，然后再从数学上作出分析。对于学有余力的学生，教师还可以将此类问题一般化，考察第n个图形的情况。

4．空间观念不强

《标准》中强调的空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。空间观念对初中数学，特别是初中几何的学习起着至关重要的作用。

许多初中学生在学习几何时表示感到困难，无法在头脑中想象出物体的形状，缺乏空间表象能力，空间组合复杂时不能顺利建立映像。而导致这种现象的原因除了几何课程自身的特点，日常教学中对学生空间想象力训练的不足也是主要原因。空间观念不强严重影响了学生分析问题、解决问题的能力。下文以测试B卷第5题为例进行分析。

如图，在一张三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=45°，D、E分别是AC、AB的中点，现把纸片沿DE剪开．那么能拼成几种不同形状的四边形？（）

A.1 B.2 C.3 D.4

本题的能力层次为了解，主要考查各类四边形的概念。学生需根据题目中的条件，进行合理拼接。正确拼法如下所示。

由分析可知，学生在三角形中位线和各类四边形知识的掌握上不够熟练，在平时的学习中较少使用“拼接”这样的分析思路，因此，学生难以在具体题目中灵活地运用，从而遗漏一些重要的隐含信息。选择A选项的学生主要集中在拼法（2），说明学生仅达到对图形“补”的程度，而“拼”的意识还比较薄弱。选择B选项的学生之所以拼出了两种图形，是因为这一部分学生通过条件“D、E分别是AC、AB的中点”，拼出（2）和（3）；另一部分学生能拼出（1）和（2），原因是（1）和（2）是对称图形，比较直观；还有少部分学生拼出（1）和（3）。上述学生无法找全3个图形的原因在于，学生在解题时无法在头脑中形成清晰的几何图形，只是利用题目中的已知条件进行简单的拼接，空间观念较差。也有一部分学生拼出了4种或多于4种的情况，这是因为该部分学生忽略了题目中拼出四边形的限定条件。还有些学生做题取巧，认为正确答案往往是最多的一项，他们在答题中出现了态度不认真的情况，虽然对知识脉络比较清晰，能较好地运用知识来进行推理，但在解题过程中，却忽略了题目中的限定条件。

5．几何过程性探究能力不足

《标准》明确规定了以“经历”、“体验”、“探索”为标志的过程性目标，希望学生在学习几何课程时“经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程”。不难看出，新标准要求学生对几何有一定的过程性探究能力。

在目前的数学教学中，一部分教师不太重视学生的学习过程，认为学生掌握了知识点就达到了教学的目的，忽略了让学生体验和探究知识的过程，忽视了学生之间的交流与合作，从而导致学生对数学知识的认识局限于表象，最终在解题过程中，他们只会机械地生搬硬套，无法灵活运用所学知识解决问题。详见B卷第11题。

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以三条边为斜边做三个等腰直角三角形，若三个等腰直角三角形的直角边分别记为a，b，c，则a，b，c的关系是（ ）．

A.a+b＜c B.a2+b2＞c2

C.a+b=c D.a2+b2=c2

本题的能力层次为掌握，主要考查学生对勾股定理的进一步应用。学生普遍熟知勾股定理的内容，并能利用它解决直角三角形的计算问题，但本题的情境相对复杂，在直角三角形ABC外部又有新的图形，这三个新的图形实为相似图形。在这样的背景下，学生需要将新图形的边长与三角形ABC的边长建立起联系，以便利用三角形ABC三边关系表示新图形的边长关系。19.3%的学生选择了B项，访谈调查显示，该类学生主要是从视觉上判断a+b＞c，因而得出a2+ b2＞c2的结论，说明学生对勾股定理的认识只限于结论，忽视了过程性的探究。

六、教学建议

1．重视学生数学素养的培养

我们应该从关注学生的主体性着手，重视学生数学基本活动经验的积累，基于“动态数学观”，引导学生经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，培养学生的空间观念和逻辑思维能力从而促进知识的动态生成，并挖掘学生数学思维的深度。学生只有具备敏锐的数学眼光，才能识别出题目中的有效信息，与此同时，细致耐心的作题态度也是不能或缺的。学生在平时的学习中要有意识地注重细节，养成良好的数学学习习惯。此外，教师应培养学生有理有据地思考，而非对题目进行主观臆造，帮助学生认识到数学的严谨性和逻辑性。

在解题时，数学教师要积极地引导学生做到不漏字、不添字，及时抓住题目中的关键字、词，仔细认真推敲，准确理解题意。在此基础上，教师要注重知识的系统性和全面性，培养学生形成系统的知识体系，同时有针对性地训练学生的审题能力，提高学生分析问题的能力，并有意识地训练学生的数学思维方法，帮助他们掌握必要的基础知识与基本技能，增强学生学好数学的愿望与信心，从而养成良好的数学素养。

2．加强几何概念、公式、定理的联系和应用的教学

概念是数学知识体系的基本单位，从错例分析中，我们可以看出学生在学习知识时，对相似的概念和性质容易混淆。对几何概念、公式和定理掌握得不到位是影响学生解题的症结所在。

由此可见，数学教师要注重概念的教学，给学生打下一个扎实的基础，并在日常教学中对各个概念、公式和定理进行串联、总结，引导学生与其他知识发生多向联系，帮助他们理清相关知识之间的区别与联系，从而做到对定理、公式的透彻理解和灵活运用。比如，在学习中位线时，教师可以通过几何画板或具体实物模型，以形象直观的方式演示中位线的形成过程，让学生对中位线的本质属性有更深刻的理解。此外，我们还可以通过创设包含着能紧扣教学内容的数学信息，并承载相应的数学概念、公式、定理或思想方法的有效情境，激励和启发学生主动发现问题、提出问题进而探究问题、解决问题，从而促进学生数学思考能力和创新能力的不断发展。

3．加强初中几何的过程性教学

传统结果取向的评价观念容易导致数学教学中存在重结果、轻过程的现象，伴随而来的教学结果是，学生对数学知识的认识局限于表象，难以变通、难于转化。几何教学的重心不在于公式的几何证明，也不在于公式的识记，而是重在过程。教师应该指导学生经历对几何问题探索的全过程，让学生在参与数学活动的过程中理解与提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系。结合具体的几何内容，数学教师可以采用“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式展开教学，让学生经历知识的形成与应用的过程，在此过程中，学生收获最多的并非是对几何知识的认识，而是问题探究过程中感悟的数学思想和方法。

运用所学知识去解决问题是学生必须掌握的技能之一，但知识与解题脱节的现象屡屡出现，那么，教师应引导学生发现知识、习题以及实际问题之间的联系，从而运用所学知识解决数学问题。比如，在课堂上，教师应与学生积极交流题目中的信息，培养学生发现隐含条件、判断考查知识点的能力。数学教学还应该为学生补充许多模型，让学生在多个图形中探寻问题的解题规律。在问题解决的过程性教学中，学生首先要具备的就是阅读能力和观察能力。其中，阅读能力体现在对题意的理解上，观察能力体现在对图形特征的把握上。虽然我们希望学生具备几何问题代数化的意识，但首要的是建立几何直观并分析几何关系本质，这是能够帮助学生进行下一步的猜想或推导的。

责任编辑/雷 熙

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1674-1536（2014）12-0035-05

本文是北京师范大学教育质量监测协同创新中心“区域质量健康体检项目”的子项目“中学数学学业质量诊断与反馈”（项目编号：105006）的研究成果。

杜宵丰/北京师范大学数学科学学院硕士生，研究方向为数学教育。（北京 100875）

吝孟蔚/北京师范大学教育学部硕士生，研究方向为数学课程与教学论。

黄 迪/北京师范大学教育学部硕士生，研究方向为数学课程与教学论。