马尔科夫对称离散信道级联信道容量研究*

王睿甲，王 星，程嗣怡，周东青

（空军工程大学航空航天工程学院，西安 710038）

马尔科夫对称离散信道级联信道容量研究*

王睿甲，王 星，程嗣怡，周东青

（空军工程大学航空航天工程学院，西安 710038）

基于有限维的级联马尔科夫对称信道矩阵，其转移概率的极限一定存在，推导出当n足够大时，输出符号的概率分布不依赖于输入的概率分布，使得信道容量为零，信道阻塞。n为信道级联的上限。针对主对角元素概率值不同将信道矩阵划分为惰性信道和灵敏信道，并通过仿真分析得出信道的级联上限n与矩阵维数无关，与信道矩阵主对角元素呈正相关。

马尔科夫链，对称离散信道，信道容量，级联上限

引言

马尔科夫链［1］是通信系统中常见的一类离散信道模型，对于马尔科夫链的信道转移矩阵（状态转移矩阵），文献［1］中只讨论了一步转移的信道容量问题，对于二元对称信道，文中指出了其信道容量为零的问题。实际应用中，信道通常是级联的。对于有限维的实对称信道级联后由于极限分布的存在，使得输出符号熵H（Y）和噪声熵H（Y|X）相等，使得信道容量C=0［2］。

本文通过分析对称转移矩阵的极限分布，推出n步转移后的对称信道的极限分布为均匀分布且信道矩阵收敛到一常数，从而使得级联后的信道容量为零，即信道阻塞。所以，有限维实对称信道级联一定会导致信道容量的下降，那么有必要研究实对称信道理想条件下的级联上限。

1 对称离散信道模型

文献［1］中采用的离散信道数学模型，如下页图1所示。图中输入和输出信号都采用矢量表示。输入信号X=（X1X2… Xi… XN），输出信号Y=（Y1Y2… Yi… YN）其中i=1，2，…，N表示时间或空间的离散值，条件概率P（y|x）描述了输入和输出之间的统计关系。概率空间［X P（y|x） Y］描述了信道的统计特性。

传递概率可用矩阵形式表示：

图1 离散信道数学模型

称为信道的传递矩阵又称为信道矩阵，式（2）表示该矩阵行和为1。本文研究的信道矩阵为实对称信道矩阵如下所示：

根据信道矩阵的特点有：

2 对称离散信道阻塞分析

对于对称信道矩阵P，可以计算r（P）=N，即P是满秩矩阵，特征值为：

由于P满足式（2），且有一特征值为1，则λ1对应的特征向量为：

即下式成立：

文献［2］中讨论了马尔科夫链当n→∞时转移概率pij（n）的极限问题，即信道矩阵级联的极限问题，给出了遍历马尔科夫链转移概率的极限满足：

pj称为转移概率的极限分布。文献［2］中给出了有限维遍历平稳马尔科夫链极限分布的求法［3］，极限分布pj满足：

式中P为实对称信道矩阵［4］，PT=P推出：

根据式（7），可以得出：

信道级联模型如图2所示。

图2 信道级联图

文献［1］中给出的对称信道，信道容量计算公式为：

因此，信道容量［5-6］为：

由于级联后的信道P（Y）=PJ，输出符号一定是等概分布的，所以推出：

不难发现级联后H（Y）=H（Y|X）符号熵等于噪声熵，此时的信道容量［7］：

文献［1］中指出了二元强对称信道，信道容量为零，说明这种信道存在信道阻塞的问题，经过以上的推导，不难发现对于一般的实对称信道，当信道级联［8］时，会存在信道矩阵收敛到常数问题，从而使得信道容量为零，发生信道阻塞问题。因此，对于实对称信道矩阵而言可得出：实对称信道矩阵n步转移收敛后的信道容量为零。

该结论说明，对于一般的实对称信道在理想的条件下，信道的级联一定是存在一个上限的。

3 仿真与分析

通过分析，发现对称信道存在级联的上限，对于不同的主对角概率的对称信道而言，其级联上限有什么区别，呈现何种规律是我们所关心的。

仿真假设信道模型是实对称的转移矩阵，主对角概率a∈［0.1，0.9］，以步长0.2连续取值，矩阵维数从2维到100维，考察矩阵维数对转移矩阵级联上限是否存在影响，仿真结果如图3所示。

图3 矩阵维数影响图

从图中看出，随着矩阵维数的增加，级联上限趋于稳定，即转移矩阵级联上限与矩阵维数无关。随着转移矩阵P中主对角元a的增加，信道级联的上限增大，对于a值较大的惰性信道（a=0.9），级联上限相比a值较小的灵敏信道有明显的增加。

4 结 论

实对称信道矩阵的极限分布一定存在且为均匀分布，实对称转移矩阵级联后的信道容量为零，即存在级联上限。

通过仿真发现级联上限与信道矩阵维数无关，依赖于信道主对角元素的大小，主对角元素越大，级联上限值越大。

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Analysis on Channel Obstruct of Markov Syemmetry Disperse Channel Capacity

WANG Rui-jia，WANG Xing，CHENG Si-yi，ZHOU Dong-qing
（School of Aeronautics and Astronautics Engineering，Air Force Engineering University，Xi'an 710038，China）

Based on markov syemmetry disperse channel in series，the limit probability exists.When being infinite，output probability is independ of the input probability making the Channel Capacity be zero and channel obstruct.n is the upper limit of the cascade channel.The channel is classified as two types by the value of main diagonal，one is inertia channel，the other is delicacy channel.The simulated analysis shows that the upper limit of the cascade channel isn't related to the dimension of matrix but related to the the value of main diagonal.

markov chain，syemmetry disperse channel，channel capacity，upper limit

TN97

A

1002-0640（2014）11-0040-03

2013-08-20

2013-11-17

陕西省自然科学基金资助项目（2012JQ8019）

王睿甲（1990- ）男，陕西咸阳人，硕士研究生。研究方向：信息与信号处理。