基于MATLAB的A×B MIMO通信系统信道容量仿真

张钧鑫，姜 军,2*，张徐芳，习 彤

(1.西藏大学信息科学技术学院，西藏拉萨 850000；2.西藏大学信息技术国家级实验教学示范中心，西藏拉萨 850000）

随着无线通信技术的演进，5G 通信时代已经到来，A × B MIMO 作为多天线传输技术在不增加额外带宽的情况下大幅度的提高了无线通信系统的系统容量，被认为是新一代无线通信技术的革命，在无线通信系统智能天线领域起着至关重要的作用[1-3]。在A × B MIMO 中，A 表示发射端的天线数，B 表示接收端的天线数。因为A × B MIMO 涉及到多天线创造的多条路径传播，所以可以根据发送端和接收端天线个数的不同，将A × B MIMO 系统分为单入单出（SISO）、单入多出（SIMO）、多入单出（MISO）、多入多出（MIMO）4 种类型[4]。相比于传统的SISO、SIMO、MISO 来说，MIMO 具有了更多的空间资源，在无线通信系统中影响通信质量的主要因素是多径衰落，但是MIMO 系统却能够充分利用多径的影响来提高系统容量[5]。但是在实际操作上，MIMO 系统的容量并不一定能得到理论上的可观结果，会受到实际状况的影响。因此对实际状况中发送端的信道状态信息（CSI）已知和未知下的信道容量进行原理推导以及数学分析是十分重要的。

首先对A × B MIMO 系统中SISO、SIMO、MISO、MIMO 4 种类型信道进行了原理推导，利用Matlab 软件进行了信道容量分析，并对A × B MIMO系统已知和未知信道状态信息（CSI）[6]状态下的信道容量进行比较，仿真结果表明MIMO 系统不管是否已知CSI，相比于传统的信道来说信道容量都得到了提升，通信系统的性能也得到了提高。

1 SISO、SIMO、MISO信道容量

图1 为SISO、SIMO、MISO 3 种传统通信系统模型。假设发送端天线数目为NTx，接收端的天线数目为NRx，SISO 即为收发端NTx、NRx采用单根天线进行收发的系统，即单输入单输出；SIMO 即由NTx采用单根天线、接收端为NRx根天线组成的系统，即单输入多输出，相当于接收分集；MISO 即由发送端NTx根天线、NRx为单根天线组成的系统，即多输入单输出，相当于发射分集。SIMO和MISO系统都增加了收发端的路径，相比于SISO的单发单收来说，提高了传输的成功率，但是通信的最大容量没有发生改变，只能发送同样的数据。

图1 SISO、SIMO、MISO系统模型

从信息论的角度来看，信道的香农容量公式用式（1）表示：

其中：f(x)是x的概率密度函数；I(x,y)是随机变量x与随机变量y之间的互信息。

对于单入单出(SISO)，输出y用式（2）表示：

其中：h为信道增益系数，当h服从高斯分布时，单入单出(SISO)信道的信道容量可用式（3）表示：

其中：σ2表示噪声功率，是对带宽B做了归一化处理。P表示发送端发送总功率。

当h=1 时，单入单出(SISO)信道的归一化容量为式（4）：

对于发送端NTx=1 根天线，接收端为NRx根天线的单入多出（SIMO)系统的信道，信道可以认为是由NRx个不同系数的H组成，SIMO 系统的信道容量为式（5）：

其中：hj表示发射到接收端第j根天线的信道衰落系数表示接收端的信噪比；H由[h1,…hNRx]组成，由可以看出，与SISO 相比SIMO 获得了NRx倍的分集增益。

当信道衰落系数恒定时，对于多入单出（MISO)系统的信道，其信道容量为式（6）：

其中：hi表示发送到接收端第i根天线的信道衰落系数[7]表示接收端的信噪比；H是由[h1,…hNTx]组成，MISO 中与分母中的NTx相抵消后得到的信道容量与SISO 的信道容量相同，可以看出MISO 系统的信道容量不会随发送端天线数的增加而获得信道容量的提升，虽然最大容量没有改变，但是通信的成功率却提高了一倍。

图2 为SISO、SIMO、MISO 3 种信道的信道容量对比图，假设信道为瑞利（Rayleigh)信道[8]，收发天线选1× 1、1× 2、1× 3、2 × 1、3× 1五种天线构成，信噪比取20 dB，迭代次数取1 000。

图2 SISO、SIMO、MISO信道容量对比

通过对图2 的观察发现，当信噪比越大的时候，SISO、SIMO、MISO 3 种信道的信道容量也会越大。通过对比SIMO 中收发天线数为1× 2、1× 3 两种天线构成的仿真曲线，可以观测到SIMO 的信道容量获得了提升，但是提升的幅度相对不高，这是由于获得了分集增益带来了可靠性，降低了衰落的不利影响，但分集增益会趋于饱和导致提升有限。对比1×1、1× 2、1× 3 三种天线构成的仿真曲线，可以看到1× 2 的SIMO 信道的信道容量相比于1× 1 的SISO 信道的信道容量得到了显著提升，但与1× 3 的SIMO 信道相比时，信道容量增长的幅度就相对有限，所以当接收天线数继续增长达到一定程度时，对信道容量的影响将不会太大。对比1× 1、2 × 1 的仿真曲线，可以看出2 × 1 的MISO 信道的信道容量相比于1× 1 的SISO 信道的信道容量有小幅度的增长。对比1× 1、2 × 1、3× 1 的仿真曲线，从图中可以观察出2 × 1、3× 1 两种天线构成的仿真曲线几乎重合，所以当发送端天线数大于2 时，天线数是否增加对信道容量的提升几乎没有任何影响效果，这是由于MISO信道并没有受到分集增益的影响。

2 MIMO信道容量

如图3 所示为2 × 2 MIMO 系统模型，2 × 2 MIMO 系统即在接收和发送端两端相对于SISO 各自多采用一根天线，使得信息传输多条路径，多出口多汇入。

图3 2 × 2 MIMO系统模型

在非频率选择性衰落条件下，对于多入多出（MIMO），输出y可用式（7）表示：

其中：H是一个NTx×NRx的矩阵，输入x为NTx× 1 维的向量；n表示复高斯噪声。

根据信息论的知识，可知随机变量x与随机变量y相互间的信息I(x;y)可用式（8）表示：

其中：x和y是连续随机向量；H(y)是y的差分熵。

假设x和y相互独立，则H(|y x)=H(n)，由于H(n)是常数，当给定H(n)时求最大化互信息，即为最大化H(y)，I(x;y)可用式（9）表示：

当x服从高斯分布，y服从复高斯分布时，y才具有最大的差分熵，差分熵信号相关函数之间的关系可用式（10）、式（11）表示：

其中：Ry是接收信号y 的自相关矩阵，可用式（12）表示：

其中：L是发送信号的协方差矩阵。

将Ry代入H(y)中，此时I(x;y)可用式（13）表示：

则确定信道系数MIMO 的信道容量可用式（14）表示：

图4为MIMO系统的遍历信道容量仿真结果图。假设信道为瑞利（Rayleigh)信道，信噪比取20 dB，每间隔2 dB选取一点，蒙特卡洛仿真时的抽样数取1 000，收发天线分别选1×1、3×3、6×6、9×9、11×11五种天线构成。从图4中可以看出收发天线数越多遍历信道容量越大[9]，并且对于相同天线数的MIMO系统来说，信噪比越大遍历容量就越大。

图4 MIMO系统的遍历信道容量

图5 为MIMO 系统的互补累计概率分布函数仿真结果图，信噪比取20 dB，收发天线分别选1×1、3× 3、6 × 6、9 × 9、11× 11 五种天线构成。从容量的概率分布上可以看出，SISO 相比于MIMO 来说信道容量较低，但是随着收发天线数的同时增加，MIMO信道容量将大幅度提升。

图5 MIMO系统的互补累计概率分布函数

3 A×B MIMO 已知和未知CSI的信道容量分析

对于单入多出（SIMO)系统的信道，H由组成，不论发送端是否知道CSI，SIMO系统的信道容量都为式（15）：

从式（15）中可以看出，发送端只能传输一组信息流，对SIMO 系统来说发送端对CSI 的获取并不能增大信道容量。

对于多入单出（MISO)系统的信道，当发送端未知CSI时，MISO系统的信道容量为式（16）：

从式（16）中可以看出，当发送端未知CSI 时，对MISO 系统来说信道容量与SISO 系统的信道容量一样。

当发送端已知CSI 时，MISO 系统的信道容量为式（17）：

从式（16）、式（17）中可以进一步了解到，对MISO 系统来说如果不知道信道状态信息时，则可以进行平均发送，得到的结果与SISO 相同，称为分集；如果已知道信道状态信息时，则先进行预编码，这样提高了接收功率的信号，而总增益不变，这种方式称为波束赋形。

对于多入多出（MIMO）系统来说，当发送端已知CSI时，执行模态分解，发送端模态分解如图6：

图6 发送端已知CSI时模态分解图

根据图6 的示意图，接收端的输出信号可用式（18）表示：

利用式19 中的奇异值分解，式（18）可以进行改写，用式（20）重新表示为：

此时可以等价为r个虚拟的SISO 并行子信道，用式（21）表示为：

发送端已知CSI时，MIMO 信道模态分解得到的r个虚拟的SISO并行子信道示意图，如图7。

图7 r 个虚拟SISO子信道

此时，MIMO 信道的容量是r个虚拟的SISO 子信道的容量之和[10]，如式（22）：

其中：βi表示发送端第i其中βi表示发送端第i根天线的发送功率；Ci(βi)表示第i个虚拟SISO 信道容量。

功率分配合理时可得到MIMO 信道的最大容量，如式（23）：

由式（23）可以求得MIMO 信道最大容量时的最优解，可用式（24）表示：

其中：μ是常数。

图8 注水算法模型

对于MIMO 系统来说，当发送端未知CSI 时，发送端常采用平均分配功率算法，总功率平均分配给所有的发射天线。MIMO 系统的信道容量为式（25）：

进行特征值分解HHH=Q∧QH和恒等式det(I+AB)=det(I+BA)，式（25）中的MIMO 信道容量可如式（26）所示：

其中：r=Nmin≜min(NTx,NRx)是H的秩。

当信道正交时MIMO 信道的容量可以达到最大，此时可用式（27）表示：

图9为A × B MIMO已知CSI时的信道容量仿真图，图中选取 1× 1、2 × 1、1× 2、2 × 2、1×3、2 × 3、3× 3 七种收发天线构成情况，信噪比取40 dB，每间隔5 dB 选取一点。通过对比1× 1、1×2、1× 3 三种收发天线情况可以观察出，当已知CSI时接收天线的数目增加信道容量也有所增加。对比2 × 1、1× 2两种天线情况发现曲线几乎重合，MISO（2 × 1）信道的容量和SIMO（1× 2）信道的容量相同，这是因为对于MISO 信道来说，当发送端已知CSI时，可以把发送功率集中于当前信道的某个特定模式，而不是直接对信号进行发送，这样做可以将接收信号的功率提升NTx倍。对比1× 1、2 × 2、3× 3 三种情况，发现已知CSI时的MIMO系统的信道容量相对于SISO来说有很大的提高。

图9 A × B MIMO已知CSI时的信道容量

图10 为A × B MIMO 未知CSI 时的信道容量仿真图，图中所选取的收发天线数与已知CSI时的天线数一致，信噪比取40 dB。通过对比1× 1、1×2、1× 3 三种天线情况可以观察出未知CSI 时，SIMO 的信道容量随接收端天线数的增加而有所增大。对比2 × 1、1× 2 两种天线情况发现SIMO（1× 2）信道的容量相比与MISO（2 × 1）信道的容量有了NRx倍的提升。对比1× 3、2 × 3、3× 3 三种天线情况发现，在未知CSI 时三种天线的信道容量曲线几乎重合，信道的容量并未随发送端天线数的增加而增加。对比1× 1、2 × 2、3× 3 三种情况，处于未知CSI 时的MIMO 系统的信道容量有所增加，但是增长的幅度较小。

图10 A × B MIMO未知CSI时的信道容量

为了综合比较A × B MIMO 中CSI 对信道容量的影响，将已知和未知CSI 两种状态下的A ×B MIMO 进行了仿真对比实验。图11 为两种状态下的天线数目都选取2 × 1、1× 2、2 × 2、1× 3、2 ×3、3× 3六种情况，信噪比取40 dB。

图11 A × B MIMO 已知和未知CSI时的信道容量对比

通过对图11 的观察，可以发现对于SIMO 信道来说，接收天线数目越多则容量越大，对于是否已知CSI 作用并不是很大。对于MISO 信道来说，当不知道CSI 时，得到的信道容量结果和SISO 信道几乎是一样的。当已经知道CSI 时，MISO 信道得到的信道容量结果相比与SISO 信道有所提升，此时总增益虽然不变，但是接收信号的功率提升了NTx倍。对于MIMO 信道来说，不管是否知道CSI，信道容量都会随天线数的增加而增加。而且随着信噪比的增大，每根天线上的功率都得到了改善。

4 总结

A × B MIMO 的出现使得空间成为了一种可以提高系统性能的资源，在A × B MIMO 系统中MIMO技术与传统的SISO、SIMO、MISO 技术相比，通过在收发端同时采用多根天线实现多发多收，在未来移动通信网络中起着举足轻重的作用。通过仿真发现，MIMO 系统可以极大的增加系统的信道容量，且与收发天线的数目呈上升关系，在理想状态下收发天线数越多，信道容量越大。但在实际状况中也会受到发送端对CSI 是否知晓的影响，这密切关系到MIMO 系统的容量增益。当处于信噪比较低的情况下时，对于已知CSI 时的信道容量特性要优于未知CSI 时得到的信道容量特性。因此，在已知CSI 时增加收发天线数，可以更好的提高MIMO 系统的信道容量。