M-矩阵Hadamard积最小特征值的下界

杨晓英，刘新

（四川信息职业技术学院基础教育部，四川 广元 628017）

M-矩阵Hadamard积最小特征值的下界

杨晓英，刘新

（四川信息职业技术学院基础教育部，四川 广元 628017）

对于非奇异M-矩阵A与B，首先给出A的逆矩阵元素的范围，进而利用Brauer定理，得到B◦A－1最小特征值下界的新估计式。理论分析和数值算例说明新估计式改进了现有的结果。

M-矩阵；Hadamard积；逆矩阵；下界

M-矩阵是重要的矩阵类，有着广泛应用，物理学和经济学中的许多问题都和M-矩阵有着密切的联系。这其中关于非奇异M-矩阵B和非奇异M-矩阵A的逆矩阵Hadamard积最小特征值的下界已经成为研究的热点，并获得了一系列估计式［1－8］，本文将继续这一问题的研究，给出B◦A－1最小特征值新的下界估计式。

设N＝｛1，2，…，n｝；Rm×n（Cm×n）表示m×n阶实（复）矩阵；Zn表示所有非对角元素都为非正实数的n×n阶矩阵。

设矩阵A＝（aij）∈Rn×n，则A可以表示为A＝λI－P，其中P≥0，当λ＞ρ（P）（ρ（P）为非负矩阵P的谱半径）时，称A为非奇异M-矩阵。并记Mn为所有n×n阶非奇异M-矩阵的集合。

设A∈Mn，记τ（A）＝min｛｜λ｜：λ∈σ（A）｝，其中σ（A）表示矩阵A的谱，τ（A）称为矩阵A的最小特征值。详见文献［9］。

定义1［9］设A∈Cn×n，当n≥2时，若存在n×n阶置换矩阵P，使得

其中A11是r×r阶子矩阵，A22是（n－r）×（n－r）阶子矩阵（1≤r＜n），则称矩阵A为可约矩阵。若置换矩阵P不存在，则称矩阵A为不可约矩阵。

定义2［9］设A＝（aij），B＝（bij）∈Cm×n，用A◦B表示A和B对应元素相乘而成的m×n阶矩阵，即A◦B＝（aijbij）∈Cm×n，则A◦B称为A和B的Hadamard积。

2008年，Huang［3］给出一个更为精确的估计式

其中ρ（JA），ρ（JB）分别表示矩阵A与B的迭代矩阵谱半径。

2013年，Zhou等［5］得到如下新结果：

本文将继续这一问题的研究，利用Brauer定理给出B◦A－1最小特征值的一些新的下界估计式，新估计式改进了文献［5］和其他文献中相应的结果。

1 符号与引理

为方便起见，首先给出如下符号。对于i，j，l∈N，记

引理1［10］设A＝（aij）∈Rn×n是行严格对角占优矩阵，A－1＝（βij），则

引理2［11］设A＝（aij）∈Rn×n是行严格对角占优M-矩阵，A－1＝（βij），则

引理3［2］设A，B∈Rn×n，若D∈Rn×n与E∈Rn×n是对角矩阵，则

引理4［12］设A＝（aij）n×n是任意复矩阵，则A的所有特征值都位于下列区域之中

2 主要结果

定理1设A＝（aij）∈Mn是行严格对角占优矩阵，A－1＝（βij），则

证明：由A∈Mn以及符号定义，可知0≤δji＜di＜1，0≤si≤1，j≠i，i，j∈N。令

由于A是严格对角占优M-矩阵，则存在ε＞0，使得

令Si（ε）＝diag（δ1i（ε）si（ε），…，δi－1，i（ε）si（ε），1，δi＋1，i（ε）si（ε），…，δni（ε）si（ε）），i∈N，则不难证明ASi（ε）也是严格对角占优M-矩阵，则由引理1可知

定理2设A＝（aij）∈Mn是行严格对角占优矩阵，A－1＝（βij），B＝（bij）∈Mn，则

那么，存在实数ηji（0≤ηji≤1），使得

令U＝diag（u1，u2，…，un）＞0，有σ（B◦A－1）＝σ（U－1（B◦A－1）U）＝σ（U（BT◦（A－1）T）U－1），因为τ（B◦A－1）是B◦A－1的一个特征值，则τ（B◦A－1）∈σ（U（BT◦（A－1）T）U－1。令τ（B◦A－1）＝λ，由引理4知，存在数对（i，j），i≠j（1≤i，j≤n），使得

若B◦A－1不可约。令G＝（gij）是n×n阶置换矩阵，且g12＝g23＝…＝gn－1，n＝gn1＝1，其余gij＝0。则对于任意正实数ε，当ε充分小时，使得A－εG，B－εG的所有顺序主子式为正，从而A－εG和B－εG都是不可约非奇异M-矩阵，若用A－εG，B－εG代替A，B，并令ε→0，则结论仍然成立。证毕。

定理3设A＝（aij）∈Mn是行严格对角占优矩阵，A－1＝（βij），B＝（bij）∈Mn，则

证明：不失一般性，假设

由（2.1）式与（2.3）式，得

由符号定义，可知δkisi≤ri，i≠j，（1≤i，j≤n），进而ui≤mi，i∈N，所以

故结论成立。证毕。

定理3说明，定理2改进了文献［5］中定理4.8的结果。

3 数值算例

例1设

易知，矩阵A与B都是非奇异M-矩阵。那么

由文献［2］中定理5.7.31得τ（B◦A－1）≥0.07，由文献［3］中定理9得τ（B◦A－1）≥0.052，由文献［5］中定理4.8得τ（B◦A－1）≥0.075。应用本文的定理2，可得τ（B◦A－1）≥0.141 1。事实上，τ（B◦A－1）＝0.214 8。

通过算例分析，可知定理2的结果有效地改进文献［5］中的定理4.8和其他现有的结果。

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［5］ZHOU D M，CHEN G L，WUG X，et al.On some new bounds for eigenvalues of the Hadamard productand the Fan product of matrices［J］.Linear Algebra Appl，2013，438（3）：1415－1426.

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［9］陈景良，陈向晖.特殊矩阵［M］.北京：清华大学出版社，2000.

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［12］BRAUER A.Limits for the characteristic roots of amatrix.II［J］.Duke Math J，1947，14（1）：21－26.

Lower bound ofm inimal eigenvalue for Hadam ard product of M-matrices

YANG Xiao-ying，LIU Xin
（Department of Basic Education，Sichuan Information Technology College，Guangyuan 628017，China）

We initially present the range of the elements of inverse matrix of A for two nonsingular M-matrices A and B．We further obtain a new estimation formula of the lower bound of the minimal eigenvalue ofB◦A－1with the theorem of Brauer．Theoretical analysis and numerical examples demonstrate that it improves the existing results．

M-matrix；Hadamard product；inverse matrix；lower bound

O151.21

A

1002-4026（2014）04-0104-05

10.3976／j.issn.1002－4026.2014.04.018

2013-07-10

四川省教育厅自然科学研究基金（13ZB0393；14ZB0442）；四川信息职业技术学院基金（2012C04）

杨晓英（1984－），女，讲师，硕士，研究方向为矩阵理论与应用。